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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲_二次函数的代数综合知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数代数综合知识精讲一二次函数与一次函数综合一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程组的解的数目来确定：1方程组有两组不同的解时与有两个交点；2方程组只有一组解时与只有一个交点；3方程组无解时与没有交点二二次函数与不等式综合二次函数与不等式的联系如下表（以为例）：判别式:二次函数的图象不等式的解集或任意实数无解无解三二次函数与方程及代数式综合 二次函数与方程及代数式综合主要是二次函数与一元二次方程综合及二次函数与代数式的化简求值，与方程综合注意分类讨
2、论以及整数解问题，与代数式综合的解题思想是“消元降次，整体代入”三点剖析一考点：二次函数代数综合二重难点：二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式综合，二次函数与方程及代数式综合三易错点：1二次函数与一次函数综合中求解参数的取值范围时容易漏解或者是分不清取值范围的上限或者下限；2二次函数与不等式综合问题解题时不要直接硬算，要结合函数图像，利用函数的增减性来求解参数的取值范围；3二次函数与代数式综合除了极少数情况下可以直接计算之外，一般情况下都是通过“消元降次，整体代入”的方法来求解；4二次函数与方程综合注意二次项系数的分类讨论题模精讲题模一：与不等式综合例1.1.1根据下列要求，解答相关问题（
3、1）请补全以下求不等式2x24x0的解集的过程构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=2x24x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=2x24x的图象（只画出图象即可）求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程2x24x=0的解为_；并用锯齿线标示出函数y=2x24x图象中y0的部分借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式2x24x0的解集为2x0请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x22x+14的解集【答案】见解析【解析】图所示：方程2x24x=0即2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=2；则方程的解是x1=0，x2=2，图象如图1；函数y=x22x+1的图
4、象是：当y=4时，x22x+1=4，解得：x1=3，x2=1则不等式的解集是：x3或x1例1.1.2已知一次函数（k0）的图象经过，两点，二次函数（其中a2）（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：若，求当且0时，自变量x的取值范围；如果满足且0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围【答案】（1）；（2）；【解析】（1） 一次函数（k0）的图象经过，两点， ，解得 1分-2分 ， 二次函数图象的顶点坐标为 3分（2）当时， 4分如图10，因为且，由图象得 6分7分题模二：与一次函数综合例1.2.1在平面直角坐标
5、系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点的坐标为（1）求点坐标；（2）直线经过点求直线和抛物线的解析式；点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是_【答案】（1）（2）；（3）【解析】该题考查的是函数综合（1）依题意，可得抛物线的对称轴为1分抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点的坐标为2分（2）点B在直线上，点A在二次函数的图象上， 3分由，可得，4分抛物线的解析式为，直线的解析式为5分（3）7分例1.2.2在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直
6、线y=x1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围【答案】（1）A（3，2），B（1，2）（2）y=x22x1顶点坐标为（1，2）（3）【解析】（1）当y=2时，则2=x1，解得：x=3，A（3，2），点A关于直线x=1的对称点为B，B（1，2）（2）把（3，2），（1，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：y=x22x1顶点坐标为（1，2）（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A
7、（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（1，2），则a（1）2=2，解得：a=2，例1.2.3在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在这一段位于直线l的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式【答案】（1）（2）（3）【解析】该题考察的是一次函数和二次函数综合（1）当时， 点A的坐标为， 1分将配方，得， 抛物线的对称轴为直线， 点B的坐标为， 2分（2）由题意，点A关于直线对称点的坐标为3分设直线l的解析式为 点和点在直线l上， ， 解
8、得 直线l的解析式为4分（3）由题意可知，抛物线关于直线对称，直线AB和直线l也关于直线对称 抛物线在这一段位于直线AB的下方， 抛物线在这一段位于直线l的下方， 又 抛物线在这一段位于直线l的上方， 抛物线与直线l的一个交点横坐标为 ， 5分 由直线l的解析式 可得这个店的坐标为，6分 抛物线经过点， 所求抛物线的解析式为 7分题模三：与代数式综合例1.3.1已知关于的方程（1）求证：不论为任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P（，）与点Q（，）在（2）中抛物线上，（点P、Q不重合），且，求代数式的值【答案】（1）
9、见解析（2）（3）【解析】（1）当时，原方程化为 此时方程有实数根 x = -3.当时，原方程为一元二次方程. 此时方程有两个实数根综上，不论m为任何实数时，方程 总有实数根（2）令, 则 解得 ， 抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，. 抛物线的解析式为. （3）点与在抛物线上，.，.可得 ，即 点P, Q不重合， . 随堂练习随练1.1如图，二次函数的图象与x轴相交于点、，交y轴点C， C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B、D两点（1）求二次函数的解析式及点D的坐标； （2）根据图象写出时，x的取值范围【答案】（1）（2）或【解析】本题考查了一次函数和二次函数综合
10、应用（1）二次函数经过，设二次函数解析式为，代入，解得，二次函数解析式为C、D是二次函数图象上的一对对称点，二次函数对称轴为（2）两函数的交点为，所以当时，根据图象可得或随练1.2已知：抛物线过点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G点在图象G上，且求的取值范围；若点也在图象G上，且满足恒成立，则k的取值范围为_【答案】（1）（2）或或【解析】该题考查的是二次函数综合（1）抛物线过点， 解得抛物线的解析式为 -2分（2）当时，或2抛物线与x轴交于点， -3分当时， 或1抛物线与直线交于点，C，D关于直线的对称点，-4分根
11、据图象可得或-5分的取值范围为或-7分随练1.3已知抛物线与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数，点是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式【答案】（1）;（2）（3）【解析】该题考查的是二次函数综合（1）令，有 ，点B在点A的右侧，2分（2）点B在原点的右侧且在点A的右侧，点C在原点的下方，抛物线开口向下，令，有BOC是
12、等腰三角形，且，即，（舍去）抛物线的解析式为4分（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，由此可得交点坐标为和将交点坐标分别代入一次函数解析式中，得解得一次函数的解析式为7分随练1.4已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）当k取最小的整数时，求抛物线的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象请你画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时m的值yxO123412345【答案】（1）（2）或（3）或【解析】该题考查抛物线的
13、性质与几何变换（1） 由题意，得，k的取值范围为2分（2），且k取最小的整数，则抛物线的顶点坐标为3分的图象与轴相交，抛物线与轴相交于,4分（3）翻折后所得新图象如图所示.5分平移直线知: 直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点当直线位于时，此时过点1. ，即6分当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点，方程，即有两个相等实根，即7分当时，满足由知或随练1.5若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的顶点P在直线l上，则称该抛物线L与直线l具有“”一带一路关系，此时，抛物线L叫做直线l的“带线”，直线l叫做抛物线L的“路线”（1）求“带线”L：y=x22mx+m2+m1
14、（m是常数）的“路线”l的解析式；（2）若某“带线”L：y=x2+bx+c的顶点在二次函数y=x2+4x+1的图象上，它的“路线”l的解析式为y=2x+4求此“带线”L的解析式；设“带线”L与“路线”l的另一个交点为Q，点R在PQ之间的“带线”L上，当点R到“路线”l的距离最大时，求点R的坐标【答案】（1）y=x1（2）（3，8）或（1，0）【解析】（1）y=x22mx+m2+m1=（xm）2+m1，“带线”L的顶点为（m，m1），“路线”l的解析式为y=x1；（2）设“带线”L：y=x2+bx+c的顶点为（x，2x+4）把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解得
15、x1=1，x2=3“带线”L：y=x2+bx+c的顶点为（1，6）或（3，2）“带线”L的解析式为y=（x1）2+6或y=（x+3）22，即y=x2x+或y=x2+3x+；若“带线”L解析式为y=x2x+时，解方程组得或，则带线”L与“路线”l的另一个交点Q的坐标为（5，14），要使点R到线段PQ的距离最大，只要SRPQ最大，作PHy轴交PQ于H，设R（x，x2x+），则H（x，2x+4）SRPQ=（2x+4x2+x）（51）=x2+6x+3=（x3）2+13当x=3时，SRPQ有最大值，此时点R的坐标为（3，8）；若“带线”L解析式为y=x2+3x+时，同理可得点R的坐标为（1，0）点R的坐
16、标为（3，8）或（1，0）随练1.6已知关于的一元二次方程（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线求抛物线的解析式；（3）点和都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式的值【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】该题考查的是二次函数的综合（1）证明：，而，即无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根（2）解：当时，即，抛物线的解析式为抛物线的顶点为抛物线的顶点为抛物线的解析式为（3）解：点和都在抛物线上，且A、B两点不重合，即，自我总结 课后作业作业1已知抛物线的图象
17、向上平移个单位得到的新抛物线过点（1）求的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；（2）将平移后的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象 请写出这个图象对应的函数的解析式，同时写出该函数在时对应的函数值的取值范围；（3）设一次函数，问是否存在正整数使得（2）中函数的函数值时，对应的的值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）；当时，（3）不存在【解析】该题考查的是二次函数的综合（1）由题意可得又点在图象上，1分 2分（2） 3分当时， 4分（3）不存在 5分理由：当且对应的时， 6分且 得不存在正整数满足条件 7分作业2已知二次
18、函数的图象经过，两点（1）求对应的函数表达式；（2）将先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；（3）设，在（2）的条件下，如果在xa内存在某一个x的值，使得成立，利用函数图象直接写出a的取值范围 【答案】（1）（2）（3）a【解析】（1） 二次函数的图象经过，两点，1分解得 2分 抛物线的函数表达式为 3分（2） ， 抛物线的顶点为 4分 平移后抛物线的顶点为，它对应的函数表达式为 5分（3）a（见图7）7分作业3抛物线，（1）求证：；（2）抛物线经过点，判断的符号；若抛物线与x轴的两个交点分别为点、点（点A在点B左侧），请说明，【答案】
19、见解析【解析】（1）证明： ， ， ， （2）解： 抛物线经过点，点， ， ， 由知抛物线开口向上 ， 点，点分别位于轴下方和轴上方 点，的坐标分别为，（点在点左侧）， 由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点的横坐标满足 抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知， ，即作业4已知关于的方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M，求的值【答案】（1）见解析（2）（3）或【解析】（1），所以方程总有两个实数根.（2）由（1），根据求根公式可知,方程的两根为：，即：，
20、,由题意，有，即. （3）易知，抛物线与y轴交点为M（0，）,由（2）可知抛物线与x轴的交点为（1,0）和（,0），它们关于直线的对称点分别为（0,）和（0, ），由题意，可得：或，即或作业5在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A（0,3），与轴交于点B，C（点B在点C左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；（2）抛物线的对称轴与轴交于点D，若直线经过点D和点E，求直线DE的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P（，0），过点P作垂直于轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在轴下方，直接写出的取值范围【答案】（1），（2）（3）或【解析】（1）抛物线与轴交于点A（0,3），抛物线的表达式为1分抛物线与轴交于点B，C，令，即解得，又点B在点C左侧，点B的坐标为，点C的坐标为.3分（2），抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴与轴交于点D，点D的坐标为.4分直线经过点D和点E，解得直线DE的表达式为. 5分（3）或7分