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1、2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 1 页 共 64 页统计与概率【知识点讲解】一、随机抽样1.样本、样本量我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本， 样本中包含的个体数称为样本容量， 简称样本量。 调查样本获得的变量值称为样本的观测数据， 简称样本数据。例 1下列调查中，调查方式选择合理的是（）A了解某市高一年级学生的身高情况，选择普查B了解长征运载火箭的设备零件质量情况，选择抽样调查C了解一批待售袋装牛奶的细菌数是否达标，选择普查D了解病人血液中血脂的含量，选择抽样调查【答案】D【详解】AC 的总量太大，不适合普查，AC 不正确；火箭的设备零件质量情况应该选择普查，B 不正确；病人血液
2、中血脂的含量应选择抽样调查，D 正确.2.简单随机抽样（1）定义一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1nN)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的， 且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样（2）常用方法：抽签法、随机数法。例 2对 50 件样品进行编号 01，02，50，在如下随机数表中，指定从 2 行第 3 组第一个数开始，从左往右抽取两个数字，抽
3、取 5 个编号，则抽到的第 3个编号是（）2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 2 页 共 64 页486285008938155698822776173903536660891248395326163490563640006207961329901923643865964526A48B24C26D49【答案】C【详解】按随机数表法，从随机数表从 2 行第 3 组第一个数开始，从左往右抽取两个数字，则编号依次为 48，39，26，16，34，则抽到的第 3 个编号是 26，故选：C3.分层随机抽样（1）定义一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在
4、每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层。在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配。（2）总体平均数比例分配的分层随机抽样中，总体平均数=+=+= 。例 3某区域大型城市中型城市小型城市的数量之比为2:1m，为了解该区域城市的空气质量情况，现用比例分配的分层抽样方法抽取一个容量为n的样本.在样本中，中型城市比大型城市多 4 个，比小型城市多 8 个，则n （）A24B28C32D36【答案】A【详解】根据分成抽样等比例关系可设抽取的大中小型城市的数量分别为
5、2 ,x mx x，则248mxxmxx，解得43xm，所以224nxmxx.2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 3 页 共 64 页二、常用统计图表1.频率分布直方图（1）画法第一步：求极差，决定组数和组距，组距=极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表。（2）特点纵轴表示频率组距，即小长方形的高频率组距；小长方形的面积组距频率组距频率；各小长方形的面积的总和等于 1例 4某品牌家电公司从其全部 200 名销售员工中随机抽出 50 名调查销售情况，销售额都在区间5,25（单位： 百万元） 内， 将其分成
6、5 组：5,9，9,13，13,17，17,21，21,25， 并整理得到如下的频率分布直方图， 下列说法正确的是 （）A频率分布直方图中 a 的值为 0.07B估计全部销售员工销售额的众数与中位数均为 15C估计全部销售员工中销售额在 17 百万元以上的有 12 人D估计全部销售员工销售额的第 20 百分位数约为 10.5【答案】D【详解】由频率分布直方图可知4 (0.020.090.030.03)1a，解得0.08a ，所以 A 错误，由频率分布直方图可知众数为 15，2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 4 页 共 64 页因为前 2 组的频率和为4 0.024 0.080.40.5
7、 ，前 3 组的频率和为4 0.024 0.084 0.090.760.5 ，所以中位数在第 3 组，设中位数为x，则0.40.09(13)0.5x，解得14.1x ，所以 B 错误，由频率分布直方图可知销售额在 17 百万元以上的频率为4 (0.030.03)0.24，所以全部销售员工中销售额在 17 百万元以上的约有0.24 20048人，所以 C 错误，因为第 1 组的频率为0.08， 前 2 组的频率和为0.4， 所以第 20 百分位数在第 2 组，设第 20 百分位数为y，则4 0.020.08(9)0.2y，解得10.5y ，所以全部销售员工销售额的第 20 百分位数约为 10.5
8、，所以 D 正确，2条形图建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量， 根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图；3.折线图建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量， 根据样本值和数量的多少描出相应各点， 然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图；例 5如图是民航部门统计的 2021 年春运期间 12 个城市售出的往返机票的平均价格以及相
9、比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 5 页 共 64 页A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升C平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门D平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州【答案】C【详解】从折线图看，深圳的涨幅最接近0%，从条形图看，北京的平均价格最高，故 A 正确；从折线图看，天津和重庆的的涨幅均为正值，故 B 正确；从折线图看，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，故 C 错误；从条形图看，平均价格从高到低居于前
10、三位的城市为北京、深圳、广州，故 D 正确.4.扇形图用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小， 这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图例 6南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale 1820-1910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是（）2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 6 页 共 64 页A2015 年至 2022 年，知识付费
11、用户数量逐年增加B2016 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多C2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍D2016 年至 2022 年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增【答案】D【详解】对于 A，由图可知，2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加，故 A 正确；对于 BD，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016 年，0.960.480.48；2017 年，1.880.960.92；2018 年，2.95 1.881.07；2019 年，3.562.950.61；2020 年，4.153.560.59； 20
12、21 年，4.774.150.62；2022 年，5.274.770.5，可知知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多，故 B 正确，D 错误；对于 C，由5.270.48 10，即 2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍，故 C 正确；三、用样本的数字特征估计总体1.百分位数（1）一般地，一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有% 的数据小于或等于这个值，且至少有 100 % 的数据大于或等于这个值。例 7某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 10 名学生，统计他们的数学成绩如下：（满分：100 分）学生ABCDEFGHIJ成绩
13、（分）82816578687596908872由此可知，这 10 名学生期中考试数学成绩的75%分位数是（）分.A81B82C85D88【答案】D【详解】10 名学生期中考试数学成绩由小到大排列为65,68,72,75,78,81,82,88,90,96，因为10 75%=7.5，故这 10 名学生期中考试数学成绩的75%分位数为 88，2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 7 页 共 64 页（2）四分位数常用的分位数有第 25 百分位数，第 50 百分位数（即中位数），第 75 百分位数。 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。 其中第 25 百分位数也称
14、为第一四分位数或下四分位数，第 75 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数。例 8按从小到大顺序排列的 9 个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是 73，则 m 等于（）A40B48C50D57【答案】B【详解】对于已知9个数据：1016 253339,43,65 70m, , , ,，9 25%2.25，第一四分位数为25，9 75%6.75，第三四分位数为m，2573m，解得48m .2.总体集中趋势的估计（1）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数（2）
15、众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数（3）平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，xn的平均数x1n(x1x2xn)4.总体离散程度的估计（1）假设一组数据是1，2， ，用表示这组数据的平均数，则我们称1=1 2?为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便， 我们还把方差写成1=12? 2的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根1=1 2?，称为这组数据的标准差。（2）方差和标准差反映了数据波动程度的大小。方差：2=1 1 2+ 2 2+ + 2 。2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 8 页 共 64 页标准差： =1 1 2+ 2 2+ +
16、 2 。补充：若数据x1，x2，xn的平均数为x，则mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均数是mxa；若数据x1，x2，xn的方差为s2，则数据ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2四、变量的相关关系及回归模型1.变量的相关关系（1）定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系。（2）散点图每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来， 由这些点组成了统计图。我们把这样的统计图叫做散点图。（3）正相关、负相关、线性相关如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果
17、当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关。一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关。一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关。2.样本相关系数（1）定义： =1?=12?=12?，我们称 为变量 和变量 的样本相关系数。当 0 时，称成对样本数据正相关。这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大。2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 9 页 共 64 页当 0 ， 我们称 | = 为
18、在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率。（2）条件概率公式2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 19 页 共 64 页 | = 。 | = ， 表示事件 与 积事件的概率。（3）条件概率的性质0 | 1 ， | = 1 。如果 和 是两个互斥事件，则 | = | + |。设和 互为对立事件，则 | = 1 |。概率的乘法公式：对任意两个事件 与 ，若 0 ，则 = |例 14一个箱子中有大小形状完全相同的 3 个黑球和 5 个白球，从中取出 2 个球，下列几个命题中正确的是（）A若是不放回地抽取，则取出 2 个黑球和取出 2 个白球是对立事件B若是不放回地抽取，则第 2
19、次取出黑球的概率小于第 1 次取出黑球的概率C若是有放回地抽取，则取出 1 个黑球 1 个白球的概率为1532D若是有放回地抽取，则在至少取出 1 个白球的条件下，第 2 次取出白球的概率是811【答案】CD【详解】对于 A，不放回地抽取两个球，包括两个都是黑球、两个都是白球和一个黑球一个白球，共 3 种情况，所以取出两个黑球和取出两个白球不是对立事件，所以 A错误；对于 B，不放回地抽取，第 2 次取到黑球的概率为3253387878，第 1 次取得黑球的概率为38，所以第 2 次取到黑球的概率等于第 1 次取到黑球的概率，所以 B错误；对于 C， 有放回地抽取， 取出 1 个黑球 1 个白
20、球包括第 1 次为黑球第 2 次为白球、第 1 次为白球第 2 次为黑球，所以所求概率为533515888832，所以 C 正确，对于 D，有放回地抽取，至少取出一个白球的条件下，第 2 次取出白球包括第 12023 届高考数学一轮复习统计与概率第 20 页 共 64 页次黑球第2次白球、 第1次白球第2次白球， 所以所求概率为3555+88888=53355511+888888，4.全概率公式一般地， 设1， 2, ,是一组两两互斥的事件， 1 2 = ，且 0， = 1 ，2,则对任意的事件 ，有 =1? |。我们称其为全概率公式。八、离散型随机变量及其分布列1.随机变量（1）定义式：一般
21、地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ，都有唯一的实数 与之对应，我们称 为随机变量。（2）性质：取值依赖于样本点；所有可能取值是明确的。（3）离散型随机变量变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 我们称为离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量，例如 ， ， ；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 ， ， 。2.离散型随机变量的分布列（1）一般地，设离散型随机变量 的可能取值为1，2， ，我们称取每一个值的概率 = = ， = 1 ， 2 ， ， 为 的概率分布列，简称分布列。（2）表示方法：公式法；列表法；图形法。3.离散型随机变量的均值（1）随机变量的数字特征类似于研
22、究一组数据的均值和方差， 我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征。2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 21 页 共 64 页（2）随机变量的均值（期望）称 = 11+ 22+ + =1?为随机变量 的均值或数学期望，数学期望简称期望。一般地，如果随机变量 服从两点分布（0 1 分布），那么 = 。（3）均值的性质设 的分布列为 = = ， = 1 ，2 ， ， 。 + = + 。 = 。 + = + 。4.离散型随机变量的方差（1）方差、标准差 = 1 21+ 2 22+ + 2=1? 2为随机变量 的方差，有时也记为 ，并称 为随机变量 的标准差，记为
23、。公式： =12? 2。（2）方差的性质： + = 2 。例 15已知两组数据，第一组1x，2x，7x和第二组1y，2y，7y，8y，其中1,2,7iixy i，78117iiyx，第一组数据不全相同，则这两组数据相比，下列说法正确的是（）A平均数一定相等B中位数一定相等C极差一定相等D第一组数据的方差大于第二组数据的方差【答案】ACD【详解】对于 A，因为1,2,7iixy i，所以7711iiiixy，所以77111177iiiixy，所以7117iixx，777871111117887iiiiiiiiyyxxyx，所以xy，所以 A 正确，2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 22
24、页 共 64 页对于 B，因为第一组数的中位数为4x，第二组数的中位数为452yy，44xy，但4x不一定等于5y，所以两组数的中位数不一定相等，所以 B 错误，对于 C，由选项 A 的计算可知，8yy，所以第一组数据的最大值和最小值与第二组数据的最大值和最小值分别相等，所以两组数据有极差相等，所以 C 正确，对于 D，第一组数据的方差为222211271()()() 7Sxxxxxx，第二组数据的方差为22222212781()()()() 8Syyyyyyyy2221271()()() 8xxxxxx，所以2212SS，即第一组数据的方差大于第二组数据的方差，所以 D 正确九、二项分布、超
25、几何分布与正态分布1.二项分布（1） 重伯努利试验我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验。我们将一个伯努利试验独立地重复进行 次所组成的随机试验称为 重伯努利试验。显然， 重伯努利试验具有如下共同特征：同一个伯努利试验重复做 次；各次试验的结果相互独立。（2）二项分布一般地，在 重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为 0 0 为参数， 则称随机变量 服从正态分布， 记为 ,2。特别地，当 = 0 , = 1 时，称随机变量 服从标准正态分布。（2）正态曲线的特点曲线是单峰的，它关于直线 = 对称。曲线在 = 处达到峰值1 2。当 无限增大时，曲线无限接近 轴。（3）3 原则 +
26、0.6827 ； 2 + 2 0.9545 ； 3 + 3 0.9973 。（4）正态分布的均值与方差若 ,2，则 = ， = 2。例 16随机变量服从正态分布10,4N，则标准差为（）A2B4C10D14【答案】A【详解】因为服从正态分布10,4N可知:方差为 4，故标准差为 2，2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 24 页 共 64 页【对点训练】一、单选题一、单选题1中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于周礼春官大师.八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为
27、弹拨乐器.现从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为（）A25B35C14D342已知 1fxx， 2sinfxx， 3cosfxx， 41fxx，从以上四个函数中任意取两个函数相乘得到新函数，那么所得新函数为偶函数的概率为（）A14B13C12D233 孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年国际数学家大会的报告上第 8 个问题中提出的，其可以描述为：存在无穷多个素数 p 使得2p是素数，素数 p、2p称为孪生素数2013 年 5 月，华人数学家张益唐证明了这一猜想的一个弱化形式，在孪生素数猜想的证明道路上前进了一大步若从 20 以内的素数中任取两个，则其中能构成孪
28、生素数的概率为（）A13B15C17D194某兴趣小组有男生 20 人，女生 10 人，从中抽取一个容量为 5 的样本，恰好抽到 2 名男生和 3 名女生，则该抽样可能是系统抽样；该抽样可能是随机抽样：该抽样一定不是分层抽样；本次抽样中每个人被抽到的概率都是15其中说法正确的为ABCD5某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如表关系，y与x的线性回归方程为6.517.5yx，当广告支出 5 万元时，随机误差的效应（残差）为2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 25 页 共 64 页x24568y3040605070A10B20C30D406某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科
29、考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）A甲学科总体的均值最小B乙学科总体的方差及均值都居中C丙学科总体的方差最大D甲、乙、丙的总体的均值不相同7甲、乙两人玩说“数字游戏”如果甲说的数字记为a，乙说的数字记为b，且,0,1,2,3,4,5,6a b，若a，b差的绝对值不超过 1，则称甲、乙“心有灵犀”那么甲、乙“心有灵犀”的概率是（）A27B37C2049D19498从集合1,2中随机选取一个元素a，1,2,3中随机选取一个元素b，则事件“ab”的概率是（）A16B13C12D239现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认
30、可度， 某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了 20 名市民，得到如下22列联表：AB总计认可13518不认可71522总计202040附：22(),()()()()n adbcKnabcdab cd ac bd .2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 26 页 共 64 页2P Kk0.10.050.0100.005k2.7063.8416.6357.879根据表中的数据，下列说法中正确的是（）A没有 95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B有 99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为
31、“是否认可与城市的拥堵情况有关”D可以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”10甲袋里有 5 只白球，7 只红球，乙袋里有 4 只白球，2 只红球，从两个袋中任取一袋， 然后从所取到的袋中任取一球， 则取到的球是白球的概率为 （）A12B712C1324D1311某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个， 至少有2个轮胎的宽度在1953内， 则称这批轮胎基本合格已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（）A25B35C45D71012设离散型随机变量的概率分布列
32、如下，则下列各式中成立的是-10123P0.10a0.100.200.40A(1.5)0.4PB(1)1P C(3)1PD(0)0P13 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率A14B13C34D71614某班男女生各 10 名同学最近一周平均每天的锻炼时间（单位：分钟）用茎2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 27 页 共 64 页叶图记录如下：假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的.男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；男生平均每
33、天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；从 10 个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过 65 分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过 65 分钟的概率大.其中符合茎叶图所给数据的结论是（）ABCD二、多选题二、多选题15下列说法中正确的有（）A将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；B设有一个线性回归方程35yx，变量x增加 1 个单位时，y平均增加 5 个单位；C设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则r越接近于 0，x和y之间的线性相关程度越弱；D 在一个22列联表中， 由计算得2K的值， 在22.706K 的前提下，2K的值越大，判断两个变量间
34、有关联的把握就越大.16某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩， 将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图，下面结论正确的是（）2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 28 页 共 64 页A甲从第二次到第三次成绩的上升速率要小于乙从第六次到第七次的上升速率B乙的成绩的极差为 8C甲的成绩的中位数为 7D甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差17如图是某市 5 月 1 日至 10 日 PM2.5的日均值（单位：g/m3）变化的折线图，关于 PM2.5日均值说法错误的是（）A这 10 天日均值的 83%分位数为 78；B这 10
35、天的日均值的中位数为 41；C前 5 天的日均值的方差大于后 5 天的日均值的方差；D前 5 天的日均值的极差小于后 5 天的日均值的极差18下列说法错误的是（）A设有一个回归方程35yx，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位B在某项测量中，测量结果21,(0)N，若(01)0.4P，则(2)0.1P2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 29 页 共 64 页C对分类变量 X 与 Y 的随机变量2K的观测值 k 来说，k 越小，判断“X 与 Y 有关系”的把握程度越大D若计算得23.918K ，经查临界值表知23.8410.05P K ，则在 100 个生活不规律的人中大
36、约有 95 人患胃病19某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从 2012 年到 2020 年共 9 年“年货节”期间的销售额 （单位： 亿元） 并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2012 年作为第 1 年）的函数.运用 excel 软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法正确的是（ ）A销售额y与年份序号x呈正相关关系B销售额y与年份序号x线性相关不显著C三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D根据三次函数回归曲线可以预测 2021 年“年货节”期间的销售额约为 8454 亿元20已知随机变量X服从正态分布2,9
37、N（参考数据：若2,XN ，则0.6826PX），则（）AX的方差为3B20.5P X C3445PXPXD10.1587P X 21下列说法正确的是（）A某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本，已知该校高一、 高二，2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 30 页 共 64 页高三年级学生之比为6:5:4，则应从高二年级中抽取 20 名学生B线性回归方程ybxa对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点C命题“0 x ，2lg10 x ”的否定是“0 x ，2lg10 x D方差描述了一组数据围绕平均数波动的大
38、小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小22下列关于说法正确的是（）A抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布C小赵.小钱.小孙.小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A “4 个人去的景点不相同”，事件B “小赵独自去一个景点”，则29P A B D已知随机变量X服从两点分布，且00.6P X ，10.4P X ，令32YX，则20.6P Y 23有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为“一种报纸也不订”.下列命题
39、正确的是（）AE与G是互斥事件BF与I是互斥事件，且是对立事件CF与G不是互斥事件DG与I是互斥事件24近年，随着人工智能，AIoT，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加.国际数据公司 IDC 统计了 20162020 年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是（）2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 31 页 共 64 页A20162020 年，全球每年产生的数据量在持续增加B20162020 年，全球数据量的年平均增长率持续下降C20162020 年，全球每年产生的数据量的平均数为 33.7D2015 年，全球产生的数据量超过 15
40、ZB25下列结论正确的是（）A若 0P A ， 0P B ， P B AP B，则 P A BP AB抛掷一枚质地均匀的骰子，X表示“朝上面的点数”，则3.5E X C将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，X表示“正面朝上”出现的次数，则5D X D若115,3XB，则当5k 时，P Xk取得最大值三、填空题三、填空题26若将()()xa xb逐项展开得2xaxbxab，则2x出现的概率为14，x 出现的概率为12，如果将()()()()()xa xb xc xdxe逐项展开，那么3x出现的概率为27为了考查某种小麦的长势，从中抽取 10 株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，1
41、2，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是_28将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和大于 10 的概率为_29甲、乙、丙三名同学竞选班长、团支书、学习委员三个职位，每人只竞选一个职位，设事件 A 为“三人竞选职位都不同”，B 为“甲独自竞选一个职位”，则 P（A|B）_30从 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数 a，另一个作为对数的真数 b.则log0,1ab的概率为_.31已知随机事件A，B有概率 0.7P A ， 0.6P B ，条件概率0.6P B A ，则P AB
42、 _.2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 32 页 共 64 页32欧阳修在卖油翁中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径26mm，中间有边长为 8mm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入正方形小孔中的概率是_.33若随机变量2 5,2N，且P 0.9，则_（1.2820.9（）.34已知一组数据为5，6，6，7，8，10，则该组数据的方差是_.35已知定义在区间1,6上的单调函数( )f x满足：对任意的1,6x，都有2( )log3ff xx，则在1,6上随机取一个实数
43、x，使得的( )f x值不小于 4 的概率为_36某年级共有 210 名同学参加数学期中考试，随机抽取 10 名同学成绩如下：则总体标准差的估计值为（结果精确到 0.01）.37 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素， 比如利率的变化 现假设人们经分析估计利率下调的概率为 50%，利率不变的概率为 40%,利率上调时股票不会上涨.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为 70%而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为 40%，则该支股票将上涨的概率为_38将标有1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，每个信封均放2
44、张，则其中标号为1，2的卡片恰好放入同一信封的概率为_.39排球比赛采用 5 局 3 胜制，现有甲乙两队进行排球比赛甲队赢得每局比赛的概率均为23，则甲队赢得比赛的概率为_2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 33 页 共 64 页四、双空题四、双空题40 某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是12，两人和棋的概率是16，则乙战胜甲的概率是_；甲乙两人比赛 2 局，每局胜方记 3 分，负方记 0 分，和棋双方各记 1 分，则甲得分不少于2 分的概率是_.41在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，己测出其平均
45、数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1 未污损，即 9，10，11，1，设前后两个污损的数字分别为 a，b，则ab_，当这组数据的方差最大时，a_.42田忌赛马的故事出自司马迁的史记，话说齐王，田忌分别有上、中、下等马各一匹，赛马规则是：一场比赛需要比赛三局，每匹马都要参赛，且只能参赛一局， 最后以获胜局数多者为胜 记齐王、 田忌的马匹分别为123,A A A和123,B B B，每局比赛之间都是相互独立的而且不会出现平局用,1,2,3ijA BPi j 表示马匹iA与jB比赛时齐王获胜的概率，若1 10.8A BP，120.9A BP，1 30.95A BP；2 10.
46、1A BP，220.6A BP，230.9A BP；3 10.09A BP，320.1A BP，330.6A BP则一场比赛共有_种不向的比赛方案；在上述所有的方案中，有一种方案田忌获胜的概率最大，此概率的值为_43一个口袋里有形状一样仅颜色不同的 4 个小球，其中白色球 2 个，黑色球 2个.若从中随机取球，每次只取 1 个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为_；若从中一次取 2 个球，只取一次，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_.44某人从甲地到乙地，乘火车轮船飞机的概率分别为 0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为 0.5，乘
47、轮船迟到的概率为 0.2，乘飞机不会迟到，则这个人迟到的概率是_；如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是_.45林锋家所在小区原本是开放式小区，停车难问题一直困扰着该小区居民.今年当地政府积极进行老小区改造， 通过竭力协调将闲置的空间改造成了绿色车位，受到居民的广泛称赞， 如今林锋家楼下原本堆满废墟的地方已经改造成了 7 个绿2023 届高考数学一轮复习统计与概率第 34 页 共 64 页色车位.某天中午林锋家来了四位客人，这四位客人各自驾驶一辆车，其中三辆黑色， 一辆白色.此时这 7 个车位恰好均未使用，于是这四辆车随机规范停入这 7个车位.则恰好三辆黑色车相邻停放的概率为_；记剩余的 3
48、个空车位中相邻的车位数最大者为（若 3 个空车位均相邻则3，若 3 个空车位有且仅有两个相邻则2，若 3 个空车位均不相邻则1），则的数学期望为_.五、解答题五、解答题46共享单车的投放，方便了市民短途出行，被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度， 随机调查了 100 位成人市民， 统计数据如下：不小于 40 岁小于 40 岁合计单车用户12ym非单车用户x3270合计n50100（1）求出列联表中字母 x、y、m、n 的值；（2）从此样本中，对单车用户按年龄采取分层抽样的方法抽出 5 人进行深入调研，其中不小于 40 岁的人应抽多少人？从独立性检验角度分析，能否有9
49、0%以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于 40 岁有关.下面临界值表供参考：P（2Kk）0.150.100.050.250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282023 届高考数学一轮复习统计与概率第 35 页 共 64 页47“天宫”空间站、“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”探月从远古神话梦想到新中国成立后的航天事业飞速发展， 中国人正一步一个脚印地触摸更高更远的太空奥妙，其中，飞行器及其动力装置、附件、仪表所用到的各类材料是航天工程技术发展的决定性因素之一 某公司负责生产的A型航天材料是飞行器的重要零件，该
50、材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型航天材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：x（亿元）23461011y（亿元）122226415365经研究表明，改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）具有线性相关关系(1)根据统计表中数据，求出直接收益y（亿元）关于改造投入x（亿元）的回归直线方程ybxa$；(2)为了鼓励科技创新，当应用改造投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴5亿元，若公司收益（直接收益国家补贴）达到90亿元，估计改造投入至少达到多少亿元（精确到0.01亿元）？参考公式：1221niiiniix ynxybxn