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1、精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除用高斯消元法求解线性代数方程组 (X*是方程组的精确解)1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯(Gauss)消去法是解线性方程组最常用的方法之一,它的基本思想是通过逐步消元,把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组,然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。为便于叙述,先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。把方程(I)乘()后加到方程(II)上去,把方程(I)乘()后加到方程(III)上去,即可消去方程(II)、(III)中的x1,得同解方程组将方程(II)乘()后加于方程(III),得同解方程组:由回代公式(3.5)
2、得x3 = 2,x2 = 8,x1 = -13。下面考察一般形式的线性方程组的解法,为叙述问题方便,将bi写成ai, n+1,i = 1, 2,n。 (1-1)如果a11 0,将第一个方程中x1的系数化为1,得其中, j = 1, , n + 1(记,i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n + 1)从其它n 1个方程中消x1,使它变成如下形式 (1-2)其中, 由方程(1-1)到(1-2)的过程中,元素起着重要的作用,特别地,把称为主元素。如果(1-2)中,则以为主元素,又可以把方程组(1-2)化为: (1-3)针对(1-3) 继续消元,重复同样的手段,第k步所要加工的方程组
3、是:设,第k步先使上述方程组中第k个方程中xk的系数化为1:然后再从其它(n - k)个方程中消xk,消元公式为: (1-4)按照上述步骤进行n次后,将原方程组加工成下列形式:回代公式为: (1-5)综上所述,高斯消去法分为消元过程与回代过程,消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组,再经回代过程求解。由于计算时不涉及xi, i = 1, 2, , n,所以在存贮时可将方程组AX = b,写成增广矩阵(A, b)存贮。下面,我们统计一下高斯消去法的工作量;在(1-4)第一个式子中,每执行一次需要次除法,在(1-5)第二个式子中,每执行一次需要次除法。因此在消元过程中,共需要次乘作法。此外,回代
4、过程共有次乘法。汇总在一起,高斯消去法的计算量为:次乘除法。1.2 基于VC的C语言程序#include#define n 4 /*n为方程组系数矩阵的阶数*/int Gauss(float ann,float bn) int i,j,k,flag=1; float t; for(i=0;in-1;i+) if(aii=0) flag=0; break; else for(j=i+1;jn;j+) /*消元过程*/ t=-aji/aii; bj=bj+t*bi; for(k=i;kn;k+) ajk=ajk+t*aik; return(flag);void zg_matric(float ann,float bn) /*输出增广矩阵*/ int i,j; for(i=0;in;i+) for(j=0;j=0;i-) xi=bi; for(j=i+1;jn;j+) xi=xi-aij*xj; xi=xi/aii; for(i=0;in;i+) /*输出方程组的解*/ printf(x%d=%11.7fn,i+1,xi);1.3 运行结果图【精品文档】第 4 页