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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa其中其中nxxx,21未知量未知量ija第第i个方程第个方程第j个个未知量未知量xj的系数的系数常数项常数项全为全为0齐次线性方程组齐次线性方程组否则为非齐次否则为非齐次线性方程组线性方程组我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物上述线性方程组表示成矩阵形式为
2、上述线性方程组表示成矩阵形式为bAx 系数矩阵系数矩阵未知量列向量未知量列向量常数项列向量常数项列向量问题：问题：(1) 方程组是否有解方程组是否有解?(2) 如果有解如果有解,它有多少解它有多少解? 如何求出如何求出 它的所有解它的所有解? bAA 为增广矩阵为增广矩阵 高斯消元法就是对方程组作初等变换高斯消元法就是对方程组作初等变换,将其将其 化成同解的阶梯形方程组化成同解的阶梯形方程组.也就是对方程组的增也就是对方程组的增 广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵,再化为再化为 最简形最简形,然后写出对应的解然后写出对应的解.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的
3、东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1解线性方程组解线性方程组 222132232121321xxxxxxxx解解 212120111322A初等行变换1310030101001A 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物原方程组与矩阵原方程组与矩阵A对应的方程组同解对应的方程组同解,于是可得于是可得 .331321xxx，例例2解线性方程组解线性方程组 .115361424524132321321321321xxxxxxxxxx
4、xx，我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 11536141245241312A初等行变换1000000002100250211A 以以A1的非零行为增广矩阵的线性方程组为的非零行为增广矩阵的线性方程组为 22521321xxx可以看出可以看出,每给定每给定x2一个值一个值,唯一的求出唯一的求出x1 , x3的一的一组值组值,而而 x2可取任意实数可取任意实数,所以方程组有无数解所以方程组有无数解.自由未知量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我
5、也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方程组的所有解可表示为方程组的所有解可表示为:2252132221 xxxxx自由未知量例例3解线性方程组解线性方程组 48364524132321321321xxxxxxxxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 483645241312A1100021001312A 初等行变换以以 为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为 1A0 = 1这是一个这是一个矛盾矛盾方程方程,因此原方程组因此原方程组无解无
6、解. 综上所述综上所述, 线性方程组的解有三种可能的情线性方程组的解有三种可能的情况况:唯一解唯一解, 无解无解, 无穷多解无穷多解.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 一般地，给出线性方程组一般地，给出线性方程组 Ax = b，用初等行变，用初等行变换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵. 0000000000000000012222211112111rrrnrrnrnrddaadaaadaaaaA我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢
7、？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物其中其中 , 2, 10riaii 与之对应的阶梯与之对应的阶梯形方程组为形方程组为 000001222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxaxadxaxaxadxaxaxaxa（3-21）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方程组方程组（3-21）和原方程组和原方程组 Ax = b 同解同解.对于方程组（对于方程组（3-21）的解分几种情况进行讨论）的解分几种情况进行讨论.第一种：第一种：若若dr+1=0且且
8、r = n时，去掉时，去掉“0=0”形式的形式的多余方程，方程组（多余方程，方程组（3-21）具有形式）具有形式 nnnnnnnndxadxaxadxaxaxa2222211212111（3-22）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 由可莱姆法则，方程组由可莱姆法则，方程组（3-22）有有唯一解唯一解. 即即原方程组原方程组Ax = b有唯一解有唯一解. 欲求此唯一解，可继续用初等行变换把阶梯欲求此唯一解，可继续用初等行变换把阶梯 形方程组（形方程组（3-22）的增广矩阵化为）的增广矩阵化为行
9、最简形矩阵行最简形矩阵. nnnnnnkkkdadaadaaa100000100001212222111211则则Ax = b 的唯一解为的唯一解为 .,21Tnkkkx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩 阵都有阵都有n个非零行个非零行. 矩阵矩阵A与矩阵与矩阵A有相同的秩有相同的秩n. 总之，当总之，当R(A) = R(A) = n时，方程组时，方程组Ax = b有有唯一解，唯一解，反之亦然反之亦然.第二种情况第
10、二种情况:若若dr+1= 0, 且且r n 时时, 由由(3-20), 对应的阶梯形方程组为对应的阶梯形方程组为 rnrnrrrnnrrnnrrdxaxadxaxaxadxaxaxaxa222222111212111(3-23)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 把方程组把方程组(2-23)的增广矩阵进一步化为行最简的增广矩阵进一步化为行最简形矩阵之后形矩阵之后,可以得到可以得到 nrnrrrrrnnrrnnrrxkxkkxxkxkkxxkxkkx11,211,222111, 111(3-24
11、) 其中其中nrrxxx,21 是自由未知量是自由未知量,共有共有(n-r)个个,当这当这(n-r)个自由未知量取不同的值时个自由未知量取不同的值时,就得到方就得到方程组程组Ax = b 不同的解不同的解.若令若令我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,2211rnnrrcxcxcx 其中其中rnccc ,21为任意实数为任意实数, 则方程组则方程组Ax = b 有无穷多解有无穷多解.并称并称(3-24)为原方程组的为原方程组的通解通解.此种情况此种情况,对于方程组对于方程组(3-22)显然有显
12、然有 rARAR n于是我们得出结论于是我们得出结论: rARAR n ,若若方程组方程组Ax=b有无穷多解有无穷多解.第三种情况第三种情况:若若dr+10, 方程组方程组(3-21)中出现矛中出现矛盾方程盾方程 0 = dr+1, 此时方程组此时方程组(3-21)无解无解.对于方程组对于方程组(3-21), 这时有这时有 , 1rARrAR 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 所以所以, 有结论有结论:若若 ,ARAR 方程组方程组Ax = b无解无解,反之亦然反之亦然. 总上总上,可得如下
13、定理可得如下定理定理定理 (线性方程组有解的判定定理线性方程组有解的判定定理)线性方程组线性方程组Ax = b有解的充要条件是有解的充要条件是 ,ARAR 当当 ARAR n 时时,方程组方程组有有无穷多无穷多解解;当当 ARAR n时时,方程组有方程组有唯唯一解一解;当当 时时，ARAR 无解无解.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物推论推论1 齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 一定一定有有零零解解;如果如果R(A) = n ,则则只有零只有零解解;它有它有非零非零解的充分必解的充分
14、必要条件是要条件是R(A) n . 推论推论2 若齐次线性方程组若齐次线性方程组Ax = 0中方程的个中方程的个数小于未知量的个数数小于未知量的个数,即即mn , 则它则它必有非零解必有非零解;若若m = n ,则它有非零解的充要条件是则它有非零解的充要条件是 |A| = 0 .例例4解齐次线性方程组解齐次线性方程组 0340222032432143214321xxxxxxxxxxxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 对系数矩阵施行初等行变换化为最简形对系数矩阵施行初等行变换化为最简形:
15、r2-2r1r3-r1 341122121221A r3-r2r2 (-3) r1-2r2 0000342101221 463046301221 00003421035201我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为 03420352432431xxxxxx由此可得由此可得 4433432431342352xxxxxxxxxxx3 , x4 为自由为自由未知量未知量,可取任可取任意实数意实数.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西
16、，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物令令x3=c1 , x4=c2 , 写成向量形式为写成向量形式为 1034350122342352212121214321ccccccccxxxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例5解齐次线性方程组解齐次线性方程组 32222353132432143214321xxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵A施行初等行变换施行初等行变换 322122351311321Ar2-3r1r3-2r1
17、 104501045011321我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 200001045011321r3-r2 R(A) = 2 , R(B) = 3 ,故方程组无解故方程组无解.例例6设有线性方程组设有线性方程组 321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx问问取何值时取何值时,此方程组此方程组(1)有唯一解有唯一解;(2)无解无解;我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(3)有无穷
18、多解有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解并在有无穷多解时求其通解.解解 11131110111A 0111311111131 rr )1()2(030111 12rr 13)1(rr 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 )3)(1()3(003011123 rr(1)当当0且且3时时,R(A)=R(B)=3,有唯一解有唯一解.(2)当当= 0时时,R(A)=1, R(B)=2, 方程组无解方程组无解.(3)当当= -3时时,R(A)=R(B)=23,有无穷多解有无穷多解.当当= -3时时 00
19、0063303211初等行变换初等行变换A我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 21rr 000021101101由此可得通解由此可得通解 33323121xxxxxx(x3为自由未知量为自由未知量) 000021103211)31(2r我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注注本例中矩阵本例中矩阵A是一个含参数的矩阵是一个含参数的矩阵,由于由于+ 1 , + 3 等因子等因子可以等于可以等于0 ,
20、 故不宜做诸如故不宜做诸如 ）（）、（、31113212 rrrr这样的这样的变换变换. 如果作了这种变换如果作了这种变换,则需对则需对+ 1= 0(或或+ 3 = 0)的情形另作讨论的情形另作讨论.令令 x3= c(c为任意实数为任意实数),得通解的向量形式为得通解的向量形式为 021111321cxxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物高斯消元法高斯消元法 对线性方程组对线性方程组bAx 的增广矩阵的增广矩阵)(bAA 作初等行变换，化为阶梯作初等行变换，化为阶梯形矩阵，然后判断：形矩阵，
21、然后判断：（1）若）若nARAR )()(方程组方程组有唯一解，继续把阶梯形矩阵化为有唯一解，继续把阶梯形矩阵化为 最简形求出其解；最简形求出其解；（2）若）若)()(ARAR n 方程组方程组有无穷多解，把阶梯形化为有无穷多解，把阶梯形化为 最简形，最简形，(有有n-r 个自由未知量）求出其通解；个自由未知量）求出其通解；1、非齐次线性方程组、非齐次线性方程组我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（3）若）若)()(ARAR 方程组无解方程组无解.2、齐次线性方程组、齐次线性方程组0 Ax（1）
22、一定有零解；若一定有零解；若R(A)= n , 只有零解只有零解;（2）有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R (A) n ; （3）方程的个数小于未知量的个数，必方程的个数小于未知量的个数，必 有非零解；若方程个数等于未知量的个有非零解；若方程个数等于未知量的个 数，它有非零解的充要条件是数，它有非零解的充要条件是|A|=0 .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一四元齐次方程组四元齐次方程组 .,1 , 2 , 2 , 10 , 1 ,
23、1 , 02121RkkkkTT .,;,?说说明明理理由由有有若若没没求求出出来来若若有有是是否否有有非非零零公公共共解解与与问问III 00:4221xxxxI II的通解为的通解为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 得得的的通通解解代代入入将将III 0202221212kkkkkk.21kk 的的公公共共解解为为与与故故III TTTkkk1 , 1 , 1 , 11 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 0221 所所有有非非零零公公共共解解为为 .01 , 1 , 1 , 1 kkT