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1、线性代数方程组的高斯消元法第1页，本讲稿共30页其中其中未知量未知量第第i个方程第个方程第j个个未知量未知量xj的系数的系数常数项常数项全为全为0齐齐次次线线性性方方程程组组否则为非齐次否则为非齐次线性方程组线性方程组第2页，本讲稿共30页上述线性方程组表示成矩阵形式为上述线性方程组表示成矩阵形式为系数矩阵系数矩阵未知量列向量未知量列向量常数项列向量常数项列向量问题：问题：(1)方程组是否有解方程组是否有解?(2)如果有解如果有解,它有多少解它有多少解?如何求出如何求出 它的所有解它的所有解?为增广矩阵为增广矩阵 高斯消元法就是对方程组作初等变换高斯消元法就是对方程组作初等变换,将其将其 化成
2、同解的阶梯形方程组化成同解的阶梯形方程组.也就是对方程组的增也就是对方程组的增 广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵广矩阵作初等行变换化成行阶梯形矩阵,再化为再化为 最简形最简形,然后写出对应的解然后写出对应的解.第3页，本讲稿共30页例例1解线性方程组解线性方程组解解初等行变换第4页，本讲稿共30页原方程组与矩阵原方程组与矩阵A对应的方程组同解对应的方程组同解,于是可得于是可得例例2解线性方程组解线性方程组第5页，本讲稿共30页解解初等行变换以以A1的非零行为增广矩阵的线性方程组为的非零行为增广矩阵的线性方程组为可以看出可以看出,每给定每给定x2一个值一个值,唯一的求出唯一的求出x1,x3的一
3、的一组值组值,而而 x2可取任意实数可取任意实数,所以方程组有无数解所以方程组有无数解.自由未知量第6页，本讲稿共30页方程组的所有解可表示为方程组的所有解可表示为:自由未知量例例3解线性方程组解线性方程组第7页，本讲稿共30页解解初等行变换以以 为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为 0=1这是一个这是一个矛盾矛盾方程方程,因此原方程组因此原方程组无解无解.综上所述综上所述,线性方程组的解有三种可能的情线性方程组的解有三种可能的情况况:唯一解唯一解,无解无解,无穷多解无穷多解.第8页，本讲稿共30页 一般地，给出线性方程组一般地，给出线性方程组 Ax=b
4、，用初等行变，用初等行变换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.第9页，本讲稿共30页其中其中与之对应的阶梯与之对应的阶梯形方程组为形方程组为（3-21）第10页，本讲稿共30页方程组方程组（3-21）和原方程组和原方程组 Ax=b 同解同解.对于方程组（对于方程组（3-21）的解分几种情况进行讨论）的解分几种情况进行讨论.第一种：第一种：若若dr+1=0且且r=n时，去掉时，去掉“0=0”形式的形式的多余方程，方程组（多余方程，方程组（3-21）具有形式）具有形式（3-22）第11页，本讲稿共30页 由可莱姆法则，方程组由可莱姆法则，方程组（3-22）有有唯一解唯一解.即即
5、原方程组原方程组Ax=b有唯一解有唯一解.欲求此唯一解，可继续用初等行变换把阶梯欲求此唯一解，可继续用初等行变换把阶梯 形方程组（形方程组（3-22）的增广矩阵化为）的增广矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵.则则Ax=b 的唯一解为的唯一解为第12页，本讲稿共30页 在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩在这种情况下，方程组的系数矩阵和增广矩 阵都有阵都有n个非零行个非零行.矩阵矩阵A与矩阵与矩阵A有相同的秩有相同的秩n.总之，当总之，当R(A)=R(A)=n时，方程组时，方程组Ax=b有有唯一解，唯一解，反之亦然反之亦然.第二种情况第二种情况:若若dr+1=0,且且r n 时时,由由(3-20
6、),对应的阶梯形方程组为对应的阶梯形方程组为(3-23)第13页，本讲稿共30页 把方程组把方程组(2-23)的增广矩阵进一步化为行最简的增广矩阵进一步化为行最简形矩阵之后形矩阵之后,可以得到可以得到(3-24)其中其中是自由未知量是自由未知量,共有共有(n-r)个个,当这当这(n-r)个自由未知量取不同的值时个自由未知量取不同的值时,就得到方就得到方程组程组Ax=b 不同的解不同的解.若令若令第14页，本讲稿共30页其中其中为任意实数为任意实数,则方程组则方程组Ax=b 有无穷多解有无穷多解.并称并称(3-24)为原方程组的为原方程组的通解通解.此种情况此种情况,对于方程组对于方程组(3-2
7、2)显然有显然有n于是我们得出结论于是我们得出结论:n,若若方程组方程组Ax=b有无穷多解有无穷多解.第三种情况第三种情况:若若dr+10,方程组方程组(3-21)中出现矛中出现矛盾方程盾方程 0=dr+1,此时方程组此时方程组(3-21)无解无解.对于方程组对于方程组(3-21),这时有这时有第15页，本讲稿共30页 所以所以,有结论有结论:若若方程组方程组Ax=b无解无解,反之亦然反之亦然.总上总上,可得如下定理可得如下定理定理定理(线性方程组有解的判定定理线性方程组有解的判定定理)线性方程组线性方程组Ax=b有解的充要条件是有解的充要条件是当当n 时时,方程组方程组有有无穷多无穷多解解;
8、当当n时时,方程组有方程组有唯唯一解一解;当当无解无解.第16页，本讲稿共30页推论推论1 齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 一定一定有有零零解解;如果如果R(A)=n,则则只有零只有零解解;它有它有非零非零解的充分必解的充分必要条件是要条件是R(A)n.推论推论2 若齐次线性方程组若齐次线性方程组Ax=0中方程的个中方程的个数小于未知量的个数数小于未知量的个数,即即mn,则它则它必有非零解必有非零解;若若m=n,则它有非零解的充要条件是则它有非零解的充要条件是|A|=0.例例4解齐次线性方程组解齐次线性方程组第17页，本讲稿共30页解解 对系数矩阵施行初等行变换化为最简形对系数矩阵施行
9、初等行变换化为最简形:r2-2r1r3-r1 r3-r2r2(-3)r1-2r2第18页，本讲稿共30页由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为由此可得由此可得x3,x4 为自由为自由未知量未知量,可取任可取任意实数意实数.第19页，本讲稿共30页令令x3=c1,x4=c2,写成向量形式为写成向量形式为第20页，本讲稿共30页例例5解齐次线性方程组解齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵A施行初等行变换施行初等行变换r2-3r1r3-2r1第21页，本讲稿共30页r3-r2 R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解故方程组无解.例例6设有线性方程组设有线性方程组
10、问问取何值时取何值时,此方程组此方程组(1)有唯一解有唯一解;(2)无解无解;第22页，本讲稿共30页(3)有无穷多解有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解并在有无穷多解时求其通解.解解第23页，本讲稿共30页(1)当当0且且3时时,R(A)=R(B)=3,有唯一解有唯一解.(2)当当=0时时,R(A)=1,R(B)=2,方程组无解方程组无解.(3)当当=-3时时,R(A)=R(B)=23,有无穷多解有无穷多解.当当=-3时时第24页，本讲稿共30页由此可得通解由此可得通解(x3为自由未知量为自由未知量)第25页，本讲稿共30页注注本例中矩阵本例中矩阵A是一个含参数的矩阵是一个含参数的矩阵,由于
11、由于+1,+3 等因子等因子可以等于可以等于0,故不宜做诸如故不宜做诸如 这样的这样的变换变换.如果作了这种变换如果作了这种变换,则需对则需对+1=0(或或+3=0)的情形另作讨论的情形另作讨论.令令 x3=c(c为任意实数为任意实数),得通解的向量形式为得通解的向量形式为第26页，本讲稿共30页小结小结高高斯斯消消元元法法 对线性方程组对线性方程组的增广矩阵的增广矩阵作初等行变换，化为阶梯作初等行变换，化为阶梯形矩阵，然后判断：形矩阵，然后判断：（1）若）若方程组方程组有唯一解，继续把阶梯形矩阵化为有唯一解，继续把阶梯形矩阵化为 最简形求出其解；最简形求出其解；（2）若）若n 方程组方程组有
12、无穷多解，把阶梯形化为有无穷多解，把阶梯形化为 最简形，最简形，(有有n-r 个自由未知量）求出其通解；个自由未知量）求出其通解；1、非齐次线性方程组、非齐次线性方程组第27页，本讲稿共30页（3）若）若方程组无解方程组无解.2、齐次线性方程组、齐次线性方程组（1）一定有零解；若一定有零解；若R(A)=n,只有零解只有零解;（2）有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R(A)n;（3）方程的个数小于未知量的个数，必方程的个数小于未知量的个数，必 有非零解；若方程个数等于未知量的个有非零解；若方程个数等于未知量的个 数，它有非零解的充要条件是数，它有非零解的充要条件是|A|=0.第28页，本讲稿共30页思考题思考题已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一四元齐次方程组四元齐次方程组的通解为的通解为第29页，本讲稿共30页思考题解答思考题解答解解第30页，本讲稿共30页