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1、 综合问题排列问题(在排列应用问题给合应用问题(含与不含)与不在，邻与有限制条件的组合问题不邻)相互独立事件同时发生的概率互斥事件有一个发生的概率随机事件的概率系数性质概率有限制条件的选排列公式排列数公式排列数公式通项公式二项式定理组合排列全排列公式组合数性质加法原理乘法原理应用第十章 排列、组合和概率问题一： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？10.1分类计数原理与分步计算原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同
2、的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.对于分类计数原理，注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.问题二： 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的
3、方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.对于分步计数原理，应注意以下几点.（1）分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤完成了，这件事才算完成；分步计数原理又叫乘法原理。（2）分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；（3）分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.例题讲解例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 1）从中任取一本，有多少种不同的取法？ 2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法
4、是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法根据加法原理，得到不同的取法的种数是 6十5=11 答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法 （2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N6X530 答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法例题讲解 例2 由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一
5、个数字，共有5种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复， 这仍有5种选法， 第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法 根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125 答：可以组成125个三位数例3电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？ 解：分两大类：（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有：302920=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理
6、有201930=11400种结果，因此共有不同结果17400+11400=28800种 大家在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步.例44张卡片的正、反面分别有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：分三个步骤：第一步：首位可放81=7个数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数.根据分步计数原理，可以组成N=764=168个数.这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类要做到“不重不漏”，应用分步计数原理的关键在于分步，要正确设计
7、分步程序.课堂练习：课堂练习： 1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走 （1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ （2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 2一名儿童做加法游戏在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数这名儿童一共可以列出多少个加法式子？ 3由09这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？例5四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己送出的贺卡，共有多少种
8、不同的方法？我们可排出所有的分配方案：（1）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；（2）甲取得丙卡，方案为：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，方案为：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分类计数原理，共有3+3+3=9种. 另外，此题也可分步解决：第一步：甲取一张，有3种取法；第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法；第四步：最后一人取，只有一种取法.由分步计数原理得不同取法有3311=9种. 要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法， 分步时用乘法，其次要
9、注意怎样分类和分步，以后会进一步学习1. 在计算完成事件的方法种数时，何时用加法原理？何时用乘法原理？2. 这两个原理分别是怎样叙述的？它们的根本区别是什么？3.（口答）一件工作可以用两种方法完成有 5人会用第一种方法完成， 另有4人会用第二种方法完成选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？4. 在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？5. 从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？6.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有
10、这些小球的颜色互不相同 （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？练习题：练习题： 1。有两个口袋，分别装有5个小球和4个小球，所有这些小球的颜色互不相 同， （1）从两口袋中任取一个，有多少种不同的取法。 （2）从两口袋中各取一个，有多少种不同的取法。 2。从3名男生和2名女生中选出优秀学生3人，要求其中至少有1名女生，那 么有多少中不同的选法？ 3。有大小两个正方体，在它们的6个表面上分别标有1，2，3，4，5，6。将 两个正方体掷在桌面上，向上一面的两个数的和为偶数的情形有多少种？ 4。 三面不同颜色的旗帜，可以升一面、两面，页可以三面一起升，那么可 以表示多少种不同的信号？5。平面上有10个点，无三点共线，每三点连一个三角形，可以画出多少个三角形？6。从1到100的自然数中，每次取出两个，要它们的和大于100，有多少种不同的取法？7。从8男5女中选4人参加比赛，其中至少要有两名女生，有多少中选法？8。从9名学生中选三名参赛，有多少中选法？ 9。完全相同的7个球，放入三个同样的盒子，允许有的盒子空，有多少种不 同的放法？