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1、 -第六章第六章 排列组合与概率论初步排列组合与概率论初步内容内容:6.1排列组合排列组合6.2随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件6.3事件的概率事件的概率6.4条件概率条件概率6.5独立性独立性6.6贝努力贝努力(Bernoulli)实验模型实验模型返回上一页下一页退出 -6.1排列组合排列组合加法原理加法原理 如如果果完完成成一一件件事事情情有有n类类办办法法，在在第第一一类类办办法法中中有有m1种种方方法法，第第二二类类办办法法中中有有m2种种方方法法，第第n类类办办法法中中有有mn种种方方法法，那那么么完完成成这这件件事事总总共共有有m1m2mn 种不同的方法种不
2、同的方法 1.两个基本原理两个基本原理返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.1 从甲地到乙地从甲地到乙地,可以乘火车可以乘火车,也可以乘也可以乘汽车汽车,还可以乘轮船还可以乘轮船.一天中一天中,火车有火车有4班班,汽车有汽车有2班班,轮船有轮船有3班班.那么一天中乘坐这些交通工具那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同方法从甲地到乙地共有多少种不同方法?解解:从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类方法类方法:第一类第一类,乘火车乘火车,有有4种方法种方法;第二类第二类,乘汽车乘汽车,有有2种方法种方法;第三类第三类,乘轮船乘轮船,有有3种方法种方法.所以所以,共有共有
3、4+2+3=9种方法种方法.1.两个基本原理两个基本原理返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合乘法原理乘法原理 如果完成一件事情有如果完成一件事情有n个步骤，在第一个步骤个步骤，在第一个步骤中有中有m1种方法，第二个步骤中有种方法，第二个步骤中有m2种方种方法，法，在第，在第n个步骤中有个步骤中有mn种方法，那么完种方法，那么完成这件事总共有成这件事总共有m1m2mn 种不同的方法种不同的方法 1.两个基本原理两个基本原理返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.2 甲乙两个盒子分别装有甲乙两个盒子分别装有10只小球和只小球和8只小球只小球,小球的颜色互不相同小球的颜色
4、互不相同,求求:(1)从甲乙两个盒子中任取一个小球从甲乙两个盒子中任取一个小球,有多少种有多少种不同的取法不同的取法?(2)从甲乙两个盒子中各取一个小球从甲乙两个盒子中各取一个小球,有多少种有多少种不同的取法不同的取法?1.两个基本原理两个基本原理返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合解解:(1)从甲乙两个盒子中任取一个小球从甲乙两个盒子中任取一个小球,有两有两类方法类方法:第一类是从甲盒中任取一个第一类是从甲盒中任取一个,有有10种方种方法法;第二类是从乙盒中任取一个第二类是从乙盒中任取一个,有有8种方法种方法.根根据加法原理据加法原理,取法共有取法共有:10+8=18(种种).(2
5、)从甲乙两个盒子中各取一个小球从甲乙两个盒子中各取一个小球,可以分两可以分两步完成步完成:第一步第一步,从甲盒中任取一个从甲盒中任取一个,有有10种取种取法法;第二步第二步,从乙盒中任取一个从乙盒中任取一个,有有8种取法种取法.根据根据乘法原理乘法原理,取法种数有取法种数有:108=80(种种).1.两个基本原理两个基本原理返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合排列排列定义定义6.1.1从从n个不同的元素中，任取个不同的元素中，任取m(mn)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从称为从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的一个个元素
6、的一个排列排列 排列数排列数定义定义6.1.2 从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个个元素的所有不同的排列个数称为排列数元素的所有不同的排列个数称为排列数记作记作 .2.排列排列返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合排列数公式排列数公式特别地特别地,从从n个不同元素中任取个不同元素中任取n个元素个元素的排列称为全排列的排列称为全排列.2.排列排列返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合那么有那么有2.排列排列返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.3 解方程解方程2.排列排列解解:由已知得由已知得返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合2
7、.排列排列解解:由题可得由题可得:返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.4 证明证明2.排列排列证明证明:返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合2.排列排列证明证明:返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合2.排列排列证明证明:由由(1)的结论得的结论得返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.5用五面不同颜色的旗，按不同的次序用五面不同颜色的旗，按不同的次序挂在旗杆上表示信号，可以单用一面、二面挂在旗杆上表示信号，可以单用一面、二面或三面或三面,一共可以得到几种不同的信号一共可以得到几种不同的信号?解解:用一面旗作信号有用一面旗作信号有 种，
8、用二面旗作信号种，用二面旗作信号有有 种，用三面旗作信号有种，用三面旗作信号有 种种.于是所求信于是所求信号总数是号总数是 2.排列排列返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.6 用用0,1,2,3,4,5,6组成满足下列条件的组成满足下列条件的数各有多少数各有多少?(1)无重复数字的四位数无重复数字的四位数;(2)无重复数字的四位数偶数无重复数字的四位数偶数;(3)无重复数字的四位数且能被无重复数字的四位数且能被5整除整除;(4)个位数字大于十位数字的四位数个位数字大于十位数字的四位数.解解(1)无重复数字的四位数无重复数字的四位数,0不能作首位不能作首位,所以所以首位选法
9、有首位选法有 种种,其它三位可以从剩下的其它三位可以从剩下的62.排列排列返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合个数中任选个数中任选,有有 种种.所以所以,总共有总共有 种种.(2)当首位为奇数时当首位为奇数时,有有 种种,末位有末位有 种种,所以所以,组成的四位偶数有组成的四位偶数有 种种;当首位为偶当首位为偶数时首位不为数时首位不为0,有有 种种,末位在其它三个偶数末位在其它三个偶数中选中选,有有 种种,所以所以,组成的四位偶数有组成的四位偶数有种种.因此因此,可选个数为可选个数为(3)无重复数字的四位数且能被无重复数字的四位数且能被5整除整除,0不能作不能作首位首位,末位只能从末
10、位只能从0,5中选中选.当首位为当首位为5时时,末位末位2.排列排列返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合只能为只能为0,所以所以,有有 种种;当首位不为当首位不为5时时,选选法为法为 种种.因此共有因此共有种种.(4)首位不为首位不为0,有有 种种,末两位数字从余下的数末两位数字从余下的数中选中选,对于选出的数个位大于十位的几率相等对于选出的数个位大于十位的几率相等,所以末两位的选法有所以末两位的选法有 种种.因此因此,共有共有 2.排列排列返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.7 4名女生和名女生和3名男生站成一排名男生站成一排,求求(1)甲站在中间的不同排法有
11、多少种甲站在中间的不同排法有多少种?(2)甲乙二人不能站在两端的排法有多少种甲乙二人不能站在两端的排法有多少种?(3)男生不相邻的排法有多少种男生不相邻的排法有多少种?解解(1)甲的位置确定甲的位置确定,排法有排法有 种种 (2)甲乙可以排在中间甲乙可以排在中间5个不同的位置个不同的位置,其余其余的人排在剩下的位置的人排在剩下的位置,排法共有排法共有 种种2.排列排列返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合(3)先排女生先排女生,有有 种种,然后在然后在4名女生的三个间名女生的三个间隔及两端共隔及两端共5个位置排男生个位置排男生,有有 种排法种排法.所以所以,共有共有 种种.2.排列排列
12、返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合组合组合定义定义6.1.3从n个不同的元素中,任取m(mn)个不同的元素,不管顺序并成一组,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数组合数定义定义6.1.4从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所个元素的所有不同的组合种数有不同的组合种数,称为组合数称为组合数,记作记作 3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合组合数公式组合数公式3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合组合数的性质组合数的性质性质性质1性质性质23.组合组合例例6.1.8 计算计算解解:返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排
13、列组合3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.9 证明证明证明证明:3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.10 在在产产品品检验时检验时,常从常从产产品中抽出一品中抽出一部分部分进进行行检查检查.现现在从在从50件件产产品中任意抽出品中任意抽出3件件:(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)如如果果50件件产产品品中中有有2件件次次品品,抽抽出出的的3件件中中恰恰好好有有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)如果如果50件产品中有件产品中有2件次品件次品,抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品
14、的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合解解:(1)所求的不同抽法的种数所求的不同抽法的种数,就是从就是从50件产件产品中取出品中取出3件的组合数件的组合数即一共有即一共有19600种抽法种抽法.(2)从从2件次品中抽出件次品中抽出1件的抽法有件的抽法有 种种,从从48件件合格品中抽出合格品中抽出2件的抽法有件的抽法有 种种,因此抽出的因此抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法种数是件是次品的抽法种数是 3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合(3)从从50件产品抽出的件产品抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品件
15、是次品的抽法的抽法,就是包括就是包括1件是次品的和件是次品的和2件是次品的件是次品的抽法抽法.而而1件是次品的抽法有件是次品的抽法有 种种,2件是次件是次品的抽法有品的抽法有 种种,因此因此,至少有至少有1件是次品的件是次品的抽法的种数为抽法的种数为 3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.11由由13个人组成的课外活动小组个人组成的课外活动小组,其中其中5个只会跳舞个只会跳舞,5个只会唱歌个只会唱歌,3个人既会唱歌又会个人既会唱歌又会跳舞跳舞,若从中选出若从中选出4个会跳舞和个会跳舞和4个会唱歌的人个会唱歌的人去表演节目去表演节目,共有多少种不同的选法共有多少种
16、不同的选法?解解:此题从既会唱歌又会跳舞的此题从既会唱歌又会跳舞的3人进行分类人进行分类.第一类第一类:若若3人都不参加人都不参加,共有共有 种种;第二类第二类:若若3人都跳舞或都唱歌人都跳舞或都唱歌,共有共有 种种3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合第三类第三类:若若3人中有人中有2人跳舞或都唱歌人跳舞或都唱歌,共有共有种种第四类第四类:若若3人中有人中有1人跳舞或都唱歌人跳舞或都唱歌,共有共有种种第五类第五类:若若3人中有人中有2人跳舞第人跳舞第3人唱歌或有人唱歌或有2人人唱歌第唱歌第3人跳舞人跳舞,共有共有 种种3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列
17、组合第六类第六类:若若3人中有人中有1人跳舞人跳舞1人唱歌人唱歌,共有共有种种由分类计数原理得不同选法有由分类计数原理得不同选法有:所以所以,共有共有1875种不同选法种不同选法.3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合例例6.1.12 从从4个男同学和个男同学和5个女同学里选出个女同学里选出2个个男同学和男同学和2个女同学分别担任班长、团支书、个女同学分别担任班长、团支书、学习委员、组织委员学习委员、组织委员,一共有多少种不同的选一共有多少种不同的选法法?解解:从从4个男同学中选出个男同学中选出2个男同学的方法有个男同学的方法有 种种;从从5个女同学中选出个女同学中选出2个
18、女同学的方法有个女同学的方法有 种种;对所选出的对所选出的4个同学进行分工的方法有个同学进行分工的方法有 种种3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合因此不同的选法一共有因此不同的选法一共有例例6.1.13有有6本不同的本不同的书书：(1)分成分成3堆堆,一堆一堆3本本,一堆一堆2本本,一堆一堆1本本,有多少有多少种分法种分法?(2)等分成等分成3堆堆,有多少种分法有多少种分法?(3)把把(2)中的两堆中的两堆书书再分再分给给甲乙丙甲乙丙3人人,有多少有多少种分种分发发?3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合解解:(1)从从6本书中取本书中取3本书有本书有
19、 种方法种方法,从剩下从剩下的的3本书中取本书中取2本的方法是本的方法是 种种,最后最后,从从1 本中本中取取1本的分发有本的分发有 .即所求分法是即所求分法是(2)等分等分3堆堆,每堆每堆2本本,先取先取2本本,再取再取2本本,最后取最后取2本的分发有本的分发有 ;由于等分由于等分,不分顺序不分顺序,所所以有以有 种重复种重复.所以分发有所以分发有 3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.1排列组合排列组合(3)把把(2)中的中的3堆书分给堆书分给甲乙丙甲乙丙3人人,有有 种分种分发发.所以所以,分分发发有有3.组合组合返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样
20、本空间和随机事件概率论中讨论具有如下特点的试验概率论中讨论具有如下特点的试验:(1)在相同条件下可重复进行在相同条件下可重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事先并且能事先明确试验的所有结果明确试验的所有结果;(3)进行一次试验之前不能确定会出现哪一个进行一次试验之前不能确定会出现哪一个结果结果.具有上述具有上述3个特点的试验称之为随机试验个特点的试验称之为随机试验,常常用用E表示表示.1.随机实验随机实验返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件抛一枚硬币抛一枚硬币,观察正面观察正面H,反面反面T出现的情况出
21、现的情况.将一枚硬币抛将一枚硬币抛3次次,观察正面观察正面H,反面反面T出现的情况出现的情况.将一枚硬币抛将一枚硬币抛3次次,观察出现正面的次数观察出现正面的次数.抛一颗骰子抛一颗骰子,观察出现的点数观察出现的点数.记录某寻呼台一昼夜接到的寻呼次数记录某寻呼台一昼夜接到的寻呼次数.从一批电脑中从一批电脑中,任取一台观察无故障运行时间任取一台观察无故障运行时间.1.随机实验随机实验返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件我们把随机试验我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合称为称为E的样本空间的样本空间,记为记为 ,中的元素
22、即中的元素即E的的每个结果每个结果.称为样本点称为样本点,记为记为例例6.2.1给出给出6.2.1中的随机试验中的随机试验 的样本的样本空间空间.解解:2.样本空间样本空间返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件2.样本空间样本空间注意注意:样本空间的元素有试验的目的所决定样本空间的元素有试验的目的所决定.返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件我们称试验我们称试验E的样本空间的样本空间 的子集为的子集为E的随机的随机事件事件,简称事件简称事件.一般用大写字母一般用大写字母A,B,C等表示等表示.随
23、机事件的两个极端随机事件的两个极端:(1)必然事件必然事件:每次试验中它总是发生每次试验中它总是发生.(2)不可能事件不可能事件:每次试验中它总不发生每次试验中它总不发生.3.随机事件随机事件返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件事件是一集合事件是一集合,因此因此,事件间的关系与运算可以事件间的关系与运算可以按集合之间的关系与运算来处理按集合之间的关系与运算来处理.事件间的关系事件间的关系4.事件间的关系与运算事件间的关系与运算返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件4.事件间的关系与运算事件间的
24、关系与运算(2)事件的和事件的和返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件(3)事件的积事件的积4.事件间的关系与运算事件间的关系与运算返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件(4)事件的差事件的差(5)互不相容事件互不相容事件(6)对立事件对立事件4.事件间的关系与运算事件间的关系与运算返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件4.事件间的关系与运算事件间的关系与运算事件的运算事件的运算设设A,B,C为事件为事件,则有则有:返回上一页下一页习题 -6.2
25、 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件4.事件间的关系与运算事件间的关系与运算返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件例例6.2.24.事件间的关系与运算事件间的关系与运算返回上一页下一页习题 -6.2 随机实验、样本空间和随机事件随机实验、样本空间和随机事件例例6.2.34.事件间的关系与运算事件间的关系与运算解解:返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率定义定义6.3.1 1.频率的定义频率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率定义定义6.3.2 我们把事件我们把事件A的频率的稳定值定义的频
26、率的稳定值定义为为A的概率的概率,记为记为P(A),这一定义称为概率的统这一定义称为概率的统计定义计定义.性质性质:2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)一类随机试验的特点一类随机试验的特点:(1)试验的样本空间中只有有限个元素试验的样本空间中只有有限个元素.(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.这类随机试验我们称为等可能概型古典也称这类随机试验我们称为等可能概型古典也称概型概型定义定义6.3.32.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率例例6.
27、3.12.概率的定义概率的定义解解:返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率例例6.3.2 在在100件产品中件产品中,有有65件合格品件合格品,5件次件次品品,从中任取从中任取2件件,计算计算:(1)2件都是合格品的概率件都是合格品的概率;(2)2件都是次品的概率件都是次品的概率;(3)1件是合格品件是合格品1件是次品的概率件是次品的概率.解解:2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率例例6.3.3 一只袋中装有一只袋中装有8只球只球,其中其中5只白球只白球,3只红球只
28、红球,从袋中取球从袋中取球,每次随机的取一只每次随机的取一只.考虑考虑两种取球方式两种取球方式(1)一次取一只球一次取一只球,观察其颜色后观察其颜色后放回放回,搅匀后再取一球搅匀后再取一球,这种取球方式叫放回抽这种取球方式叫放回抽样样.(2)一次取一只球不放回袋中一次取一只球不放回袋中,下一次从剩下一次从剩余的球中再取一球余的球中再取一球.这种取球方式叫不放回抽这种取球方式叫不放回抽样样.分别考虑上面两种情况求分别考虑上面两种情况求:(1)取到的三只球都是白球的概率取到的三只球都是白球的概率.(2)取到的三只球有两白球一红球的概率取到的三只球有两白球一红球的概率.2.概率的定义概率的定义返回上
29、一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率解解:令令A,B分别表示事件分别表示事件“取到的三只球都是取到的三只球都是白白球球”，“取到的三只球有两白球一红球取到的三只球有两白球一红球”.(1)放回抽样的情况放回抽样的情况:在袋中取在袋中取3球球,每次都有每次都有8只球可抽取只球可抽取.共有共有种取法种取法,即样本空间中样本点总数有即样本空间中样本点总数有 .A中样中样本点的个数有本点的个数有 ,B中样本点的个数为中样本点的个数为2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率(2)不放回抽样不放回抽样样本空间中样本点总数样本空间中样本点总数 ,A中样本点个中样本
30、点个数为数为 ,B中样本点个数为中样本点个数为2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率例例6.3.4 设有设有N件产品件产品,其中有其中有D件次品件次品,现从现从中任取中任取n件件,问其中恰有问其中恰有 件次品的概率件次品的概率是多少是多少?解解:令令A为为“从从N件产品中取件产品中取k件次品件次品”,从从N件件产产品中取品中取n件件,样本空间中样本点总数为样本空间中样本点总数为 ,A中中样本点个数为样本点个数为 ,于是于是2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率例例6.3.5解解:2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页
31、习题 -6.3 事件的概率事件的概率2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率例例6.3.6 从从0,1,2,9十个数字中任取十个数字中任取3个不同个不同数字数字,求求3个数字中不含个数字中不含0或或5的概率的概率.解解:2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率对立事件的概率对立事件的概率如果两个互不相容事件如果两个互不相容事件A,B中必有一个发生中必有一个发生,且只有一个发生且只有一个发生,则称则称A与与B互为对立事件互为对立事件.有有以下等式成立以下等式成立:例例6/3/7 在在30件产品中件产品中,有有15件一级品件一
32、级品,15件二件二级品级品.从中任取从中任取3件件,其中至少有其中至少有1件为二级品的件为二级品的概率是多少概率是多少?2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.3 事件的概率事件的概率解解:2.概率的定义概率的定义返回上一页下一页习题 -6.4 条件概率条件概率在在“已知事件已知事件B发生发生”的条件下的条件下,事件事件A发生的发生的概概率率.记为记为P(A|B).例例6.4.1 将一枚硬币抛两次将一枚硬币抛两次,设事件设事件A为为“两次两次出现同一面出现同一面”,事件事件B为为“至少有一次为反面至少有一次为反面T”,求已知事件求已知事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的概
33、率发生的概率.解解:1.条件概率的定义条件概率的定义返回上一页下一页习题 -6.4 条件概率条件概率定义定义6.4.1例例6.4.2 一盒中混有一盒中混有100只新旧乒乓球只新旧乒乓球,各有红各有红白两色白两色,分类如下表示分类如下表示,随机抽取一只随机抽取一只,取得的取得的若是红球若是红球,求该球为新球的概率求该球为新球的概率?1.条件概率的定义条件概率的定义红红白白新新4030旧旧2010返回上一页下一页习题 -6.4 条件概率条件概率解解:设事件设事件A为为“从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球”,B为为“从盒中随机取到一只红球从盒中随机取到一只红球”例例6.4.3 甲乙两市位于
34、长江下游甲乙两市位于长江下游,根据根据100多年多年的记录知的记录知,一年中雨天的比例一年中雨天的比例,甲市为甲市为20%,乙乙市为市为18%,两市同时下雨为两市同时下雨为12%.求求1.条件概率的定义条件概率的定义返回上一页下一页习题 -6.4 条件概率条件概率(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率乙市下雨时甲市也下雨的概率;(2)甲乙两市至少一市下雨的概率甲乙两市至少一市下雨的概率.解解:分别用分别用A,B表示事件表示事件“甲市下雨甲市下雨”和和“乙乙市下市下雨雨”,由题可得由题可得1.条件概率的定义条件概率的定义返回上一页下一页习题 -6.4 条件概率条件概率概率的乘法公式概率的乘法公式:推广
35、推广:2.乘法公式乘法公式返回上一页下一页习题 -6.4 条件概率条件概率例例6.4.4 n张彩票中有一张中奖票张彩票中有一张中奖票,(1)已知前已知前面面k-1个人没摸到中奖票个人没摸到中奖票,求第求第k个人摸到的概个人摸到的概率率;(2)求第求第k个人摸到的概率个人摸到的概率.解解(1)是在条件是在条件“前面前面k-1个人没摸到个人没摸到”下的条下的条件件概率概率,(2)是无条件概率是无条件概率,设设2.乘法公式乘法公式返回上一页下一页习题 -6.4 条件概率条件概率2.乘法公式乘法公式返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性定义定义6.5.1 设设A,B是两事件是两事件,如果满足等式
36、如果满足等式则称事件则称事件A,B相互独立相互独立.定理定理6.5.1 设设A,B是两事件是两事件,且且P(B)0.若若A,B相相互独立互独立,则则P(A|B)=P(A),反之亦然反之亦然.定理定理6.5.2 若事件若事件A,B相互独立相互独立,则下列事件也则下列事件也相互独立相互独立:返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性证明证明:只证明第一个只证明第一个.返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性推广推广:返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性例例6.5.1 同时抛两个均匀的正四面体一次同时抛两个均匀的正四面体一次,每每一个四面体的面分别标有一个四面体的面分别标有1,2,3,
37、4.令令A为事件为事件“第一个四面体出现偶数第一个四面体出现偶数”,B为事件为事件“第二第二个四个四面体出现奇数面体出现奇数”,C为事件为事件“两个四面体同时两个四面体同时出出现偶数或同时出现奇数现偶数或同时出现奇数”,验证验证A,B,C的独立的独立性性.解解:由已知得由已知得,这是古典概型这是古典概型,有有返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性例例6.5.2 甲乙两人各进行一次射击甲乙两人各进行一次射击,如果两人如果两人击中目标的概率都是击中目标的概率都是0.4,求两人都击中目标的求两人都击中目标的概率概率.解解:设设A表示事件表示事件“甲射
38、击一次甲射击一次,击中目标击中目标”,B表示事件表示事件“乙射击一次乙射击一次,击中目标击中目标”.所以所以,所求事件是所求事件是AB,根据题意根据题意,A与与B相互独立相互独立.返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性例例6.5.3 有一名射手有一名射手,平均每射平均每射5发子弹能命中发子弹能命中4发子弹发子弹,求求:(1)连射连射n发子弹都未命中的概率发子弹都未命中的概率;(2)要使至少能命中要使至少能命中1发子弹的概率达到发子弹的概率达到0.99以以上上,需要射多少发子弹需要射多少发子弹.解解返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性(2)设要使至少能命中设要使至少能命中1发子弹的
39、概率达到发子弹的概率达到0.99以以上上,需要射需要射n发子弹发子弹返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性例例6.5.4 在一个系统中元件能正常工作的概率在一个系统中元件能正常工作的概率称为元件的可靠度称为元件的可靠度.如图如图,有有4个独立工作的元个独立工作的元件构成一个串并联系统件构成一个串并联系统,且每个元件的可靠度且每个元件的可靠度为为s,求此系统的可靠度求此系统的可靠度.解解:1234返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性返回上一页下一页习题 -6.5 独立性独立性例例6.5.5 3个人独立破译一组密码个人独立破译一组密码,他们能译出他们能译出的概率分别是的概率分别是1/
40、2,1/3,1/6.求将此密码译出的求将此密码译出的概率概率.解解:返回上一页下一页习题 -6.6贝努里贝努里(Bernoulli)实验模型实验模型我们把只出现两种结果我们把只出现两种结果 的随机试验称为的随机试验称为贝努里实验或贝努里模型贝努里实验或贝努里模型.将一贝努里实验将一贝努里实验E在相同条件下独立重复在相同条件下独立重复n次次,每次结果每次结果A出现的概率出现的概率P保持不变保持不变,我们把这样我们把这样的的n次独立重复试验称为次独立重复试验称为n重贝努里实验重贝努里实验.例例6.6.1 某射击手射击一次击中目标的概率是某射击手射击一次击中目标的概率是0.6,问射击问射击4次击中次
41、击中3次的概率次的概率.返回上一页下一页习题 -6.6贝努里贝努里(Bernoulli)实验模型实验模型解解:返回上一页下一页习题 -6.6贝努里贝努里(Bernoulli)实验模型实验模型定理定理6.6.1 在在n重重贝努里实验中贝努里实验中,事件事件A在在n次试次试验中发生验中发生k次的概率为次的概率为返回上一页下一页习题 -6.6贝努里贝努里(Bernoulli)实验模型实验模型例例6.6.2 一批产品的废品率为一批产品的废品率为0.2,有放回的取有放回的取4件件,求恰好取的求恰好取的2件废品的概率件废品的概率.解解:每次的结果是相互独立的每次的结果是相互独立的,有放回的取有放回的取4件
42、件,相当于相当于4重贝努里实验重贝努里实验,返回上一页下一页习题 -6.6贝努里贝努里(Bernoulli)实验模型实验模型例例6.6.3 一部自动化机器一部自动化机器,在一个周期内生产在一个周期内生产10个零件个零件,任意一个零件成为废品的概率为任意一个零件成为废品的概率为0.02,要至少产生出一件废品的概率不小于要至少产生出一件废品的概率不小于0.6,需要几个周期需要几个周期?解解:设要设要n个周期个周期,在在n个周期生产个周期生产10n个零件是个零件是相互独立的相互独立的.用用A表示表示“在在10n个零件中至少有个零件中至少有一件废品一件废品”,用用 表示表示“在在10n个零件中全部个零件中全部合合格格”返回上一页下一页习题 -6.6贝努里贝努里(Bernoulli)实验模型实验模型即至少需要即至少需要46个周期个周期返回上一页下一页习题 -第六章第六章 排列组合与概率论初步排列组合与概率论初步习题习题6.1(P145)1、2、3、4习题习题6.2(P149)1、2、3习题习题6.3(P154)1、2、3、4、5、6、7习题习题6.4(P156)1、2、3、4、5习题习题6.5(P159)1、2、3、4、5、6习题习题6.6(P160)1、2、3、4、5习题习题:6.1-6.6返回上一页下一页退出 -