多元函数全微分ppt课件.ppt

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1、),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二元函数对二元函数对 x和对和对y的的偏微分偏微分 二二元元函函数数对对 x和和对对y的的偏偏改改变变量量 由一元函数微分学中由一元函数微分学中改变量改变量与与微分微分的关系的关系:.)()()(dxxfdyxfxxfy 得得 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差的任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P 对应于自变量改变量对

2、应于自变量改变量yx ,的的全全改变量（全增量）改变量（全增量），记为记为z 全改变量的概念全改变量的概念 即即 z =),(),(yxfyyxxf 0 x0yx y yx yxyxxyyxyyxxyxfyyxxfzyxxyyxfzyx 000000000000)(),(),(),(.),(,的改变量为的改变量为矩形面积在点矩形面积在点则面积为则面积为例如：设矩形边长例如：设矩形边长000000),(,),(xyxfyyxfyx 线性主要部分)()(22yxo可可表表示示为为的的全全改改变变量量在在点点如如果果函函数数),(),(),(),(000000yxfyyxxfzyxyxfz )( o

3、yBxAz ,有关有关而仅与而仅与不依赖于不依赖于其中其中yxyxBA 即即记为记为,dzyBxAdzyx ),(00 oxyx y ),(),(,),(),(0000yxyxfzyBxAyxyxfz在点在点称为函数称为函数可微分可微分在点在点则称函数则称函数 .全微分全微分22)()(yx 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在D内内可可微微分分.y=f(x)在某点处：在某点处： 可导可导 可微连续可微连续z=f(x,y)在某点处：在某点处：可偏导可偏导 可微分连续可微分连续连续连续 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx

4、可可微微分分, 则则函函数数在在该该点点连连续续.证：证： 事实上事实上),( oyBxAz , 0),(),(limlim0000000 yxfyyxxfzyx 即即),(lim0000yyxxfyx ),(00yxf 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(00yx处连续处连续.1定定理理 22yx . 0, 0, 0, 0)(limlim00 yxoyBxAz yyxfxyxfdzyxfyxfyxfzyxyxfzyxyxyx ),(),( ),( ),(),( ,),(20000),(00000000 存存在在，且且的的两两个个偏偏导导数数则则函函数数）可可微微分分，在在点点（：如如果

5、果函函数数定定理理),(),(0000yxfByxfAoyBxAzyx ，）即可微分定义中即可微分定义中 证：证：如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(00yxP可可微微分分, 220000 ),( ),(),(yxoyBxAyxfyyxxfz 当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时| x ,),(),(0000yxfyxxf |),(| xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim00000),(00yxfAx 同理可得同理可得).,(00yxfBy y=f(x)在某点处：在某点处： 可导可导 可微可微z=f(x,y)在某点处：在某点处： 可偏导可偏导 可微分可微分例如

6、，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则2222)()()()(yxyxyxyx),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证：证：),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf. ),( ,),(),( ),( ),(30000可可微微分分在在点点则则函函数数连连续续在在点点的的偏偏导导数数：如如果果函函数数定定理理yxfyx

7、yxfyxfyxfzyx ),(),(0000yyxfyyxxf xyyxxfx ),(010 )10(1 xxyxfx 100),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .同理同理),(),(0000yxfyyxf ,),(200yyyxfy ),(),(lim000000yxfyyxxfxxyx 100010),(),( yxfyyxxfxx且且当当0, 0 yx时时，02 .（无穷小）（无穷小）xxyxfx 100),( yyyxfy 200),( z 212121 yxyx, 00 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处可可微微 2

8、2yx . 0, 0, 0yx 全微分记为全微分记为注：习惯上记注：习惯上记,dyydxx yyxfxyxfdzyx),(),(上的全微分记为上的全微分记为在区域在区域上可微，函数上可微，函数在区域在区域则称函数则称函数）都可微，）都可微，上每一点（上每一点（在定义域在定义域如果函数如果函数DfDfyxDyxfz,),( dyyxfdxyxfdzyxyx),(),( 0000),(00 .dyyzdxxzdz 或或.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元函数全微分的定义可推广到三元函数:.),(dzzudyyudxxuduzyxfu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏通常我们把二

9、元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于叠加原理也适用于n元函数的情况元函数的情况:nxxxndxfdxfdxfduxxxfun 212121),(例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2

10、cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf 在点在点)0 , 0(1)连续连续; (2)偏导数存在偏导数存在; (3)偏导数在偏导数在点点)0 , 0(不连续不连续; (4)f在点在点)0 , 0(可微可微. 思路思路：按有关定义讨

11、论；对于偏导数需分：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论. 证证则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0 ),0 , 0(f 故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf 0211sin0,0,2222 yxyxxyyxxy(1)(2)当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0

12、(时时,),(lim)0 , 0(),(yxfxxx ,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.(3)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微 . 0)0,0( df(4)多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(00.),()

13、,(0000yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx ),(),(0000yxfyyxxfz yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(00000000 00,yyyxxx 令令.cm, 4 cm, 20 cm, 1 . 0 值值求容器外壳体积的近似求容器外壳体积的近似半径为半径为内内内高为内高为外壳厚度均为外壳厚度均为容器，容器的容器，容器的例：有一无盖的圆柱形例：有一无盖的圆柱形解：设圆柱形容器的半径为解：设圆柱形容器的半径为r,高为高为h，hrV2 外壳体积可看作容器体积外壳体积可

14、看作容器体积V在在r=4,h=20时，时，.1 . 0分分近近似似计计算算时时的的全全增增量量，可可用用全全微微 hr连连续续，2,2rhVrhrV hrrrhhhVrrVdVV 22 )cm(6 .171 . 041 . 0204232 则圆锥体的体积为则圆锥体的体积为例例4.)99. 1()02. 2(322的近似值的近似值计算计算 .01. 002. 0)2 , 2(),()99. 1()02. 2(,),(:322322时的函数值时的函数值、处、自变量有增量处、自变量有增量在点在点函数函数可看作可看作则则设设解解 yxyxfyxyxf,0)(32),(,)(32),(223222322

15、2上上处处处处连连续续在在 yxyxyyxfyxxyxfyx,31)2 , 2(,31)(32)2 , 2()2,2(3222 yxfyxxf)01. 0()2 , 2(02. 0)2 , 2()2 , 2()99. 1 ,02. 2( yxffff0033. 201. 03102. 0312 .0033. 2)99. 1()02. 2(322 即即例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1(

16、 xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 ).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx 多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）小小 结结思考题思考题练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_.

17、_.3 3、 若函数若函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm

18、20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .七、求函数七、求函数 ),(

19、yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ； 3 3、-0.119,-0.125-0.119,-0.125；4 4、yyxyy1,)1( . .二、二、dydx3231 . . 三、三、2.95. 2.95. 四、四、3cm3 .55. .五、五、%.30. 1 ,m6 .27,m212822七、七、),(),(yxfyxfyx 在在)0 , 0(处均不连续处均不连续, , ),(yxf在点在点(0,0)(0,0)处可微处可微. .练习题答案练习题答案