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1、多元函数的全微分第一页，讲稿共二十五页哦),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系，在二元函数由一元函数微分学中增量与微分的关系，在二元函数中分别令中分别令y,x为常数可得：为常数可得：一、全微分的定义一、全微分的定义 (,)dxfx yx(,)dyfx yy第二页，讲稿共二十五页哦 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的
2、的任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点 P 对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z，即即 ),(),(yxfyyxxfz 全增量的概念全增量的概念第三页，讲稿共二十五页哦全微分的定义全微分的定义第四页，讲稿共二十五页哦注注：由由定定义义知知，若若函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微,则则函函数数在在该该点点连连续续.（函函数数连连续续是是可可微微的的必必要要条条件件）事实上事实上),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),
3、(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.从而从而第五页，讲稿共二十五页哦二、函数可微的条件二、函数可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 第六页，讲稿共二十五页哦证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分,任任取取 ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)(oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时时，|22
4、xyx ,),(),(yxfyxxfz|),(|xoxA Axzx 0lim,xz 同理可得同理可得.yzB yyzxxzdz 第七页，讲稿共二十五页哦一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如例如:.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0,0(处有处有0)0,0()0,0(yxff0lim00 yBxAzyx研究研究?第八页，讲稿共二十五页哦)0,0()0,0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0,0(
5、，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0,0()0,0(oyfxfzyx 函函数数在在点点)0,0(处处不不可可微微.函数的各偏导数存在函数的各偏导数存在,函数未必可求全微分。函数未必可求全微分。第九页，讲稿共二十五页哦定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf xyyxxfx ),(
6、1 yyyxfy ),(2)2,1,10(ii),(),(:11yxfyyxxfxx 令令),(),(22yxfyyxfyy 第十页，讲稿共二十五页哦xxyxfx 1),(yyyxfy 2),(z 2121 yx,00 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微.当当0,0 yx时时，.2,1,0 ii其其中中1,2 为为yx ,的的函函数数,（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）第十一页，讲稿共二十五页哦习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为ddd.zzzxyxy全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 有时也
7、称二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和有时也称二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和（从而叠加原理也适用于二元以上函数的情况从而叠加原理也适用于二元以上函数的情况第十二页，讲稿共二十五页哦例例 1 1 计计算算函函数数xyez 在在点点)1,2(处处的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2(exz ,22)1,2(eyz 22dd2 d.zexey所求全微分所求全微分第十三页，讲稿共二十五页哦解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz (,)4(,)(,)44dddzzzxyxy).74(82 第十四页，讲稿共二十五页哦例例 3 3 计
8、计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解,1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分1dd(cos)dd.22yzyzyuxzeyyez第十五页，讲稿共二十五页哦思思路路：按按有有关关定定义义讨讨论论；对对于于偏偏导导数数需需分分 )0,0(),(yx，)0,0(),(yx讨讨论论.第十六页，讲稿共二十五页哦证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0),0,0(f 故故函函数数在在点点)0,0(连连续续,)0,0(xfxfxfx )0,0()0,(lim0,000lim
9、0 xx同理同理.0)0,0(yf第十七页，讲稿共二十五页哦当当)0,0(),(yx时时，),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0,0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在(0,0)xf第十八页，讲稿共二十五页哦所所以以),(yxfx在在)0,0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0,0(不连续不连续.)0,0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0,0(可微可
10、微(0,0)d0.f第十九页，讲稿共二十五页哦多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第二十页，讲稿共二十五页哦全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 第二十一页，讲稿共二十五页哦例例 5 5 计算计算02.2)
11、04.1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02.0,04.0,2,1 yxyx取取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得02.0004.021)04.1(02.2 .08.1 第二十二页，讲稿共二十五页哦 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(，当当0)()(
12、22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx ,当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题第二十三页，讲稿共二十五页哦 2、二元函数二元函数f(x，y)在点（在点（x0，y0)处两个偏导数处两个偏导数),(),(0000yxfyxfyx 存在，是存在，是f(x，y)在该点连续的在该点连续的（A）充分条件而非必要条件）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件）既非充分条件又非必要条件.),(lim),(lim),(lim),(),(),)
13、,(),(300000000存存在在）存存在在；及及）点点可可微微；在在）点点连连续续；在在都都存存在在，则则的的两两个个偏偏导导数数在在、yxfDyxfyxfCPyxfBPyxfAffyxPyxfyyxxyyxxyx.),(),(),(4）必必不不可可微微）偏偏导导数数必必不不存存在在；）极极限限必必不不存存在在；必必无无定定义义；在在该该点点处处处处不不连连续续，则则在在、设设DCBAyxfyxyxfZ 第二十四页，讲稿共二十五页哦5、二元函数、二元函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf在点在点(0,0)处处(A)连续、偏导数存在连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在）连续、偏导数不存在(C)不连续、偏导数存在不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在）不连续、偏导数不存在,0)0,0()0,0(lim)0,0(0 xfxffxx,0)0,0(yf偏导数存在，又当（偏导数存在，又当（x，y）沿）沿y=kx趋向于（趋向于（0，0）时）时22220001)(lim),(limkkkxxkxyxfxkxyx 随着随着k的不同，该极限值也不同，所以极限的不同，该极限值也不同，所以极限 不存在，不存在，f(x，y)在（在（0，0）不连续。）不连续。),(lim00yxfyx第二十五页，讲稿共二十五页哦