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1、名师总结优秀知识点高一函数主要知识点和解决方法及典型例题一、函数的概念与表示1、函数构成函数概念的三要素定义域 ;对应法则 ;值域 . 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例 1、下列各对函数中，相同的是（）A、xxgxxflg2)(,lg)(2B、)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、vvvguuuf11)(,11)(D、f（ x）=x，2)(xxf例 2、30|,20|yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合 N 的函数关系的有（）A、 0 个B、 1 个C、 2 个D、3 个二、函数的定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（
2、2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例 1、 （05 江苏卷）函数20.5log(43 )yxx的定义域为. 2、抽象函数定义域问题的几种题型及求法(1) 、已知( )f x的定义域，求( )f g x的定义域其解法是： 若( )f x的定义域为axb，则在( )f g x中，( )ag xb，从中解得x的取值范围即为( )f g x的定义域已知函数( )f x的定义域为15，求(35)fx的定义域分析：该函数是由35ux和( )f u构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于( )f
3、x与( )f u是同一个函数， 因此这里是已知15u，即1355x，求xx x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师总结优秀知识点的取值范围解：( )f x的定义域为15，1355x，41033x故函数(35)fx的定义域为4 1033，(2)、已知( )f g x的定义域，求( )f x的定义域其解法是：若( )f g x的定义域为mxn，则由mxn确定的( )g x的范围即为( )f x的定义域例 2已知
4、函数2(22)fxx的定义域为0 3，求函数( )f x的定义域分析：令222uxx，则2(22)( )f xxf u，由于( )f u与( )f x是同一函数，因此u的取值范围即为( )f x的定义域解： 由03x，得21225xx令222uxx，则2(22)( )f xxf u，15u故( )f x的定义域为15，(3)、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是： 先求出各个函数的定义域，然后再求交集例若( )f x的定义域为3 5，求( )()(25)xfxfx的定义域解： 由( )fx的定义域为3 5，则( )x必有353255xx，解得40 x所以函数
5、( )x的定义域为4 0，例 2、( )x已知f的定义域是 -2,5,求f(2x+3) 的定义域 .例 3、(21)xx已知f 的定义域是 -1,3,求f() 的定义域 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结优秀知识点三、函数的值域求函数值域的方法：直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x) 的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数
6、必画草图求其值域. 例题、求下列函数的值域：1 （直接法） 2123yxx；2( )2242f xxx. 2 （换元法）12xxy3. (分离常数法 ) 1xxy31( 24)21xyxx. 4. (单调性 )3( 1,3)2yxxx; 5(图象法232( 12)yxxx. 函数解析式的求法（1）待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf解：设baxxf)()0(a，则babxabbaxabxafxff2)()()(342baba3212baba或32)(12)(xxfxxf或（2）配凑法：已知复合函数( )f g x的表
7、达式，求( )f x的解析式，( )f g x的表达式容易配成( )g x的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是( )g x的值域。例 2 已知221)1(xxxxf)0(x，求( )f x的解析式解：2)1()1(2xxxxf，21xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结优秀知识点2)(2xxf)2(x（3）换元法：已知复合函数( )f g x的表达式时， 还可以用换元法求( )f x的解析式。 与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知xxxf
8、2)1(，求)1(xf解：令1xt，则1t，2)1(tx（4）构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 4 设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf解例 5 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf求)()(xgxf和的解析式解（ 5）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 6 已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf解对于任意实数x、 y，等式)
9、12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令0 x，则有1) 1(1)1()0()(2yyyyyyfyf再令xy得函数解析式为：1)(2xxxf五 函数的奇偶性1定义 :设 y=f(x)，xA，如果 对于任意xA，都有()( )fxf x，则称 y=f(x) 为偶函数. 如果对于任意xA，都有()( )fxfx，则称 y=f(x) 为奇函数 . 2.性质：y=f(x) 是偶函数y=f(x) 的图象关于y轴对称 ,y=f(x) 是奇函数y=f(x) 的图象关于原点对称 , 若函数f(x) 的定义域关于原点对称，则f(0)=0 奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 奇=偶；偶 偶=偶；奇 偶=奇两函数的定义
10、域 D1，D2，D1D2要关于原点对称 3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看 f(x)与 f(-x)的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结优秀知识点例 1.已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数 . 当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf. 例 2、已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数 . （）求,a b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围 . 例3 、 若 奇 函 数)(Rxxf满 足1)2(f，)2()()2
11、(fxfxf， 则)5(f_. 六、函数的单调性1、函数单调性的定义：2、设xgfy是定义在 M 上的函数， 若 f(x)与 g(x)的单调性相反， 则xgfy在 M上是减函数；若f(x)与 g(x)的单调性相同，则xgfy在 M 上是增函数 . 例 1、判断函数)()(3Rxxxf的单调性 . 例 2、函数20.1log(62)yxx的单调增区间是_ 例 3、(高考真题 )已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）(0,1)（B）1(0,)3（C）1 1, )7 3（D）1,1)7精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页