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1、空间向量与空间角、距离空间向量与空间角、距离1空间角及向量求法空间角及向量求法角的分类角的分类向量求法向量求法范围范围异面直线所异面直线所成的角成的角设两异面直线所成的角为设两异面直线所成的角为，它，它们的方向向量为们的方向向量为a，b，则，则cos |cos|=角的角的分类分类向量求法向量求法范围范围直线与直线与平面所平面所成的角成的角设直线设直线l与平面与平面所成的角为所成的角为，l的方向向量的方向向量为为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，则，则sin 二面角二面角设二面角设二面角l的平面角为的平面角为，平面，平面，的的法向量为法向量为n1，n2，则，则|cos | |cosa，n|c
2、os|0，2空间距离的向量求法空间距离的向量求法分类分类向量求法向量求法两点距两点距设设A，B为空间中任意两点，则为空间中任意两点，则d 点面距点面距设平面设平面的法向量为的法向量为n，B ，A，则，则B点到平点到平面面的距离的距离d|AB|答案：答案：A 思路点拨思路点拨可考虑以下两种思路：一是由定义作出可考虑以下两种思路：一是由定义作出线面角，取线面角，取A1B1的中点的中点M，连结，连结C1M，证明，证明C1AM是是AC1与平面与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法的法向量向量n(，x，y)求解求解 一点通一点通求直线与平面的夹角的方法与步
3、骤求直线与平面的夹角的方法与步骤 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值或夹角的某一三角函数值) 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：式或法向量利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：3.如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中， 底面为直角梯形，底面为直角梯形，ADBC， BAD90，PA底面底面 ABCD，且，且PAADAB 2BC，
4、M、N分别为分别为PC，PB 的中点求的中点求BD与平面与平面ADMN 所成的角所成的角.4在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别为分别为AA1，AB的的 中点，求中点，求EF和平面和平面ACC1A1夹角的大小夹角的大小 思路点拨思路点拨解答本题可建立适当的空间直角坐标系，解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解 (2)设设n1，n2分别是平面分别是平面，的法向量，则向量的法向量，则向量n1与与n2的
5、夹角的夹角(或其补角或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图就是两个平面夹角的大小，如图. 此方法的解题步骤如下：此方法的解题步骤如下：5.正方体正方体ABEFDCEF中，中，M，N 分别为分别为AC，BF的中点的中点(如图如图)，求，求 平面平面MNA与平面与平面MNB所成锐二面所成锐二面 角的余弦值角的余弦值 例例4正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，E,F,G分别分别是是C1C,D1A1,AB的中点，求点的中点，求点A到平面到平面EFG的距离的距离 思路点拨思路点拨结合图形建立适当的空间直角坐标系，然结合图形建立适当的空间直角坐标系，然后利用公式求解后利用公式求解精解详
6、析精解详析如图如图,建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，一点通一点通用向量法求点面距离的方法与步骤：用向量法求点面距离的方法与步骤：7.如图，在如图，在60的二面角的二面角AB内，内， AC，BD，ACAB于于A，BD AB于于B，且，且ACABBD1，则，则CD 的长为的长为_8四棱锥四棱锥PABCD中，四边形中，四边形ABCD为正方形，为正方形，PD平平 面面ABCD，PDDA2，F，E分别为分别为AD，PC的中点的中点 (1)证明：证明：DE平面平面PFB； (2)求点求点E到平面到平面PFB的距离的距离 1两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而两条异面直线所成角的余弦值一定为非
7、负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角对应的方向向量的夹角可能为钝角 2直线的方向向量为直线的方向向量为u，平面的法向量为，平面的法向量为n，直线与，直线与平面所成角为平面所成角为，则，则sin |cosu，n|，不要漏了绝对，不要漏了绝对值符号值符号 3利用两平面的法向量利用两平面的法向量n1，n2求出求出cosn1，n2后，后，要根据图形判断二面角是锐角还是钝角要根据图形判断二面角是锐角还是钝角 4求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后通过公式代入求角坐标系，求出平面的一个法向量，然后通过公式代入求解求点到面的距离，还可用等积法求解解求点到面的距离，还可用等积法求解