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1、立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角123(,)aa a a1.若，123( ,),bb b b则：数量积： a b 1 1223 3aba ba b夹角公式： cosa b 111222( ,),(,)A x y zB xyz2.若，则：212121(,)xx yy zzAB | |a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb| | cos,aba b异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D,CD AB 与 的关系？思考：思考：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB |题型一：线线角题型一：线线角例1：090 ,Rt A
2、BCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC (1,0,0),(0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF3010题
3、型一：线线角题型一：线线角【 练 习 1 】 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60，试确定此时动点E的位置.解以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, n BA 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos, n AB |题型二：线面角题型二：线面角例2：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCBM 为上的一点
4、,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyzADANM（2）求与平面所成的 角的正弦值.【练习2】 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与面所成的角的正弦值题型二：线面角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围题型三：二面角题型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0 0例例3 3如如图图所所示示，ABCDABC
5、D是是一一直直角角梯梯形形， ABC=90ABC=90S S平平面面求求面面与与面面所所成成二二面面角角的的余余弦弦值值ABCDSxyz方向1直接求二面角的余弦值,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例3如图所示， ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD
6、nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是zxy【练习3】zxy练习练习3: 2.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点的中点,当当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值的余弦值.111ABCA B C 11ABBC 1D BCC CADBC1B1A1题型三：二面角题型三：二面角小结：小结：1.异面直线所成角： coscos,CD AB |2.直线与平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DAB
7、On1n2n （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义义.（化为向量问题或向量的坐标问题）（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）