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1、第二节 极限的基本性质 第二二章 一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质 唯一性唯一性 有界性有界性 保号性、保序性保号性、保序性4. 收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系二、函数极限的性质二、函数极限的性质 唯一性唯一性 局部有界性局部有界性 局部保号性局部保号性 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 第二二章 一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质 1. 唯一性唯一性 定理定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性收敛数列极限的唯一性)即若即若bxaxnnnn limlim且且则必有则必有.ba 若极限若极限则极限唯一则极限唯一.存在，存在，nnx lim( 用反证法用反证法)及
2、及且且. ba 取取,2abaxn 因因 N1 N+, 使当使当 n N1 时时, 假设假设axnn limbxnn limaxnn lim,2ab 即当即当 n N1 时时, 22abaxabn 23ba,2baxn 从而从而 使当使当 n N1 时时, ,2baxn 证法证法1同理同理, 因因故故 N2 N+, 使当使当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使当 n N2 时时, 有有从而从而 使当使当 n N1 时时, ,2baxn bxnn lim,2abbxn 22abbxabn nxba 223ab 2baxn 则当则当 n N 时时, 取取12max,NNN 22baxbaxnn
3、 ，又又有有既既有有矛盾！矛盾！故假设不真故假设不真 !例例1 证明数列证明数列是发散的是发散的. 证证 用反证法用反证法.假设数列假设数列nx收敛收敛 , 则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在 .对于对于,21 则存在则存在 N ,21a21aa使当使当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .21 axn2121 axan)21,21( aaxn于是推得于是推得, 1122 NNxx122 NNxx211 )(矛盾！矛盾！区间长度为区间长度为1这与这与), 2 , 1()1(1 nxnn2. 有界性有界性定义定义 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数 M, 使得一切正整
4、使得一切正整数数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列 nx有界；有界； 否则否则, 称为称为nx无界无界. 例如例如:11 nnx）（数数列列nnx2 数数列列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上. 有界有界无界无界即若即若,limaxnn , 0 M常常数数则则Mxn 使使(n =1,2,).定理定理2.2 (收敛数列的有界性收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证 设设,limaxnn 取取,1 ,N 则则当当Nn 时时, 从而有从而有nxaaxn a 1取取 ,max21NxxxM a 1则有则有.
5、),2,1( nMxn即收敛数列必有界即收敛数列必有界.aaxn )(,1 axn有有注注有界性是数列收敛的必要条件，有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件但不是充分条件. 收敛收敛 有界有界nxnx关系：关系：例如例如,)1(1 n虽有界，但不收敛虽有界，但不收敛 .数列数列推论推论 无界数列必发散无界数列必发散.3. 保号性、保序性保号性、保序性定理定理2.3 (收敛数列的保号性收敛数列的保号性)(1) 若若,0,lim aaxnn且且则则， NN使当使当n N 时，时，. 0 nx()()(2) 若若),(00Nnxn ,limaxnn 则则 a 0.( 0 , 取取, a ,时时
6、当当Nn axn nx0 aa,N N则则证证 (1)a (2) 用反证法证明用反证法证明.注注axNnxnnn lim)(00，且且由由. 0 a如：如：, 01 nxn. 01limlim nxnnn但但推论推论2.3 (保序性保序性)，若若 N)1(N使当使当n N 时，恒有时，恒有 nnyx .babylim,axlimnnnn ，则且(2) 若若,limaxnn , ba 且且Nn 当当时时, 有有.nnyx ,limbynn ,N N则则 证证 ( 用反证法用反证法). ba 取取,2ba 因因,limaxnn 故存在故存在 N1 , ,2baaxn 22babaaxn 使当使当
7、n N1 时时, 假设假设从而从而,22baaxban 即即当当 n N1 时时,2baxn 从而从而同理同理, 因因,limbynn 故存在故存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有,2babyn 22bababyn 则当则当 n N 时时, ,max21NNN 取取便有便有,2nnybax 与已知矛盾与已知矛盾, 于是定理得证于是定理得证.当当 n N1 时时,2baxn 4. 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系(1) 子数列的概念子数列的概念.,.,21knnnxxx称为数列称为数列 xn 的一个子数列的一个子数列(或子列或子列)。：则则knx.121 knnn其其
8、中中nnxx按原来在按原来在中任意选取无穷多项，中任意选取无穷多项，在数列在数列中的次序排列中的次序排列例如例如, 从数列从数列1n中抽出所有的偶数项中抽出所有的偶数项 是其子数列是其子数列. 它的第它的第k 项是项是)3, 2, 1( 212， kkxxknk k21组成的数列：组成的数列：(2) 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系定理定理2.4的的任任意意子子数数列列则则若若,limnnnxax knx也收敛，且也收敛，且.limaxknk , axkn证证 设设knxnx是是的任一子数列的任一子数列 .若若,limaxnn 则则,0 ,N 当当 Nn 时时, 有有 axn取
9、正整数取正整数 K , 使使,NnK 于是当于是当Kk 时时, 有有 knKnN 从而有从而有.limaxknk 注注axnn lim.limlim122axxkkkk 定理定理1 某某knx收敛收敛例如，例如，1lim121 kknnxx，虽虽然然）（数数列列但但发散发散.nx收敛收敛nx2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散 .例如，例如， ),2, 1()1(1 nxnn发散发散 !1lim2 kkx1lim12 kkx 二、函数极限的性质二、函数极限的性质1. 唯一性唯一性定理定理2.1 ( 函数极限的唯一性函数极限的
10、唯一性).)(lim()(lim0存在，则极限唯一存在，则极限唯一如：如：若若xfxfxx2. 局部有界性局部有界性如：如：R,)(lim)1(0 AAxfxx若若.),()(0上上有有界界在在 xUxf存存在在，)(limxfx (2) 若若),(0 xU 则则则则 X 0,函数函数 f (x) 有界有界.使得当使得当Xx 时，时，3. 局部保号性局部保号性定理定理2.3 (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)(1) 如果如果,)(lim0Axfxx 且且 A 0 ,. 0)( xf)0)( xf则存在则存在( A 0,)(limBxgx Xx 当当(或或 0),时时, 恒有恒有f (
11、x) g(x),)(limAxfx 且且(或或,)(lim0Axfxx , )(lim0Bxgxx 推论推论2.3( (函数极限的局部保序性函数极限的局部保序性) ).BA 则则时时, 恒有恒有) 0 (0 xx或或BABxgAxfxxxx 且且设设,)(lim,)(lim)2(00).()(),(, 00 xgxfxUx 有有则则 问题问题: 若若 f (x) 0 时时, 有有 f (x) g (x),. 0)(lim)(lim xgxfxx但是但是)(lim)(lim00 xgxfxxxx 不能！不能！内容小结内容小结1. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 , 有界性有界性 ,
12、保号性保号性, 保序性保序性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限2. 函数极限的性质函数极限的性质:唯一性唯一性 , 局部有界性局部有界性 , 局部保号性局部保号性, 局部保序性局部保序性;思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1. 找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知已知),2, 1(21,111 nxxxnn, 求求nnx lim时时, 下述作法是否正确下述作法是否正确? 说明理由说明理由.设设,limaxnn 由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得aa21 1 a不对不对!此处此处 nnxlim