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1、二、函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性 3.局部保号性4.函数极限与数列极限的关系 第二章 第1页/共26页一、收敛数列的性质 1.唯一性 定理1.1(收敛数列极限的唯一性)即若则必有若极限则极限唯一.第2页/共26页(用反证法)及且取因 N1 N+,使当 n N1 时,假设即当 n N1 时,从而使当 n N1 时,证法1第3页/共26页同理,因故 N2 N+,使当 n N2 时,有从而使当 n N2 时,有从而使当 n N1 时,则当 n N 时,矛盾！故假设不真!第4页/共26页例1 证明数列证明数列是发散的.证 用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.对于则存在 N,使当
2、n N 时,有因此该数列发散.于是推得矛盾！区间长度为1这与第5页/共26页2.有界性例如:有界无界第6页/共26页即若使(n=1,2,).定理2.2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.第7页/共26页证 设取则当时,从而有取 则有即收敛数列必有界.有第8页/共26页注有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.收敛 有界关系：例如,虽有界，但不收敛.数列推论 无界数列必发散.第9页/共26页3.保号性、保序性定理2.3(收敛数列的保号性)(1)若则使当n N 时，()()(2)若则 a 0.(0,取证(1)(2)用反证法证明.注如：第11页/共26页推论2.3(保序性保序
3、性)使当n N 时，恒有(2)若时,有第12页/共26页证(用反证法)取因故存在 N1,使当 n N1 时,假设从而当 n N1 时,第13页/共26页从而同理,因故存在 N2,使当 n N2 时,有则当 n N 时,便有与已知矛盾,于是定理得证.当 n N1 时,第14页/共26页4.收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念称为数列 xn 的一个子数列(或子列)。第15页/共26页例如,从数列中抽出所有的偶数项 是其子数列.它的第k 项是组成的数列：第16页/共26页(2)收敛数列与其子数列的关系定理2.4也收敛，且证 设的任一子数列.若则当 时,有取正整数 K,使于是当时,有从而有第17
4、页/共26页注定理1 某收敛例如，但发散.2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，发散!第18页/共26页二、函数极限的性质1.唯一性定理2.1(函数极限的唯一性)2.局部有界性第19页/共26页如：(2)若则 X 0,函数 f(x)有界.使得当时，第20页/共26页3.局部保号性定理2.3(函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)(1)如果且 A 0,则存在(A 0(或 0),时,恒有f(x)g(x)(或推论2.3(函数极限的局部保序性)时,恒有第22页/共26页问题:若f(x)0 时,有 f(x)g(x),但是不能！第23页/共26页内容小结1.收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,保序性;任一子数列收敛于同一极限2.函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,局部保序性;第24页/共26页思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处第25页/共26页感谢您的观看。第26页/共26页