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1、1 图 4GEFABCD图 5DGBFCAE立体几何专题1如图 4，在边长为 1 的等边三角形ABC中，,D E分别是,AB AC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图5 所示的三棱锥ABCF，其中22BC(1) 证明：DE/平面BCF；(2) 证明：CF平面ABF；(3) 当23AD时，求三棱锥FDEG的体积FDEGV【解析】（1）在等边三角形ABC中，ADAEADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，/ /DEBC,DEQ平面BCF，BC平面BCF，/ /DE平面BCF；（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC，12B
2、FCF. Q在三棱锥ABCF中，22BC，222BCBFCFCFBFBFCFFCFABFQ平面；（3）由（ 1）可知/ /GECF，结合（ 2）可得GEDFG平面. 1 11 1 113133 23 2 3323324FDEGEDFGVVDG FG GF【解析】 这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 2如图 5 所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB平面 PAD,ABCD,PD=AD,E是 PB 的中点， F是 DC 上的点且
3、DF=21AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高（1）证明： PH平面 ABCD ；（2）若 PH=1， AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明： EF平面 PAB解： (1) ABCDPHPADPADABPAD平面所以平面，面又中的高为AADABABPHPHADPHPH(2):过 B 点做 BG GCDBG，垂足为；连接 HB,取 HB 中点 M，连接 EM，则 EM 是BPH的中位线ABCD)1(平面知：由PHABCD平面EMBCF平面即 EM 为三棱锥BCF-E底面上的高BGFC ?21SBCF=2221212121PH12221223131?EMSVBCFBCFE
4、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 （3） ：取 AB 中点 N， PA 中点 Q，连接 EN，FN，EQ，DQ NFNENFNABNADFAB21DF/ENPABENPADPADABPAD,/是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面ENABPAPAABPACDCDAB3、如图， 已知三棱锥ABPC 中，AP PC， ACBC ，M 为 AB 中点， D 为 PB 中点，且 PMB 为正三角形。（）求证： DM 平面 APC ；（）求证：平面ABC 平面 APC ；（）若BC4，AB20，求三棱锥DBCM 的体积
5、4、已知正方体ABCD A1B1C1D1，其棱长为2，O 是底 ABCD 对角线的交点。求证： （1）C1O面 AB1D1；（2）A1C面 AB1D1。NEFABNNENFNFABNADFABEFNEFEFNEFAB平面是距形四边形平面又平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 （3）若 M 是 CC1的中点，求证：平面AB1D1平面 MB1D15.如图， P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，ADPA2，CD2 2，E、F 分别是 AB、PD的中点 . (1)求证： AF平面 PCE；(2)求证：平面PCE平面
6、 PCD；(3)求四面体PEFC 的体积 . D1ODBAC1B1A1CM 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 6.如图，已知在三棱柱ABCA1B1C1中， AA1平面ABC，ACBC，M、N、P、Q 分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点 . (1)求证：平面PCC1平面 MNQ ；(2)求证： PC1平面 MNQ. 7.如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别为1DD、DB的中点 . （1）求证：EF/平面11DABC；（2）求证：EFCB1精选学习资料 - - - - - - -
7、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 8. 右图为一简单集合体，其底面ABCD 为正方形，PD平面ABCD，/ECPD，且2PDADEC=2 . （1）画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥BCEPD 的体积；（3）求证：/BE平面PDA9. 如 图 所 示 ， 四 棱 锥PABCD中 ， 底 面ABCD为 正 方 形 ，PD平 面ABCD，2PDAB，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点（1）求证：EFPGC面；（2）求证：；EFGPA面/；（3）求三棱锥PEFG的体积PABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
8、 - - - -第 6 页，共 11 页7 3、解：（）由已知得，MD是ABP 的中位线APMD 2 分APCAPAPCMD面面,APCMD面4分（）PMB为正三角形，D 为 PB 的中点，PBMD，5 分PBAP6 分又PPCPBPCAP,PBCAP面7 分PBCBC面BCAP又AAPACACBC,APCBC面 9 分ABCBC面平面 ABC 平面 APC 10 分（）PBCMD面，MD是三棱锥M DBC 的高，且MD 5 311 分又在直角三角形PCB 中，由 PB10， BC4，可得 PC2 21 12 分于是12BCDBCPSS2 21，13 分DBCMV71031ShVDBCM14
9、分4、证明：（1）连结11AC，设11111ACB DOI连结1AO，Q1111ABCDA B C D是正方体11A ACC是平行四边形11ACACP且11ACAC又1,O O分别是11,ACAC的中点，11O CAOP且11O CAO11AOC O是平行四边形111,C OAOAOP面11AB D，1C O面11AB D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 1C O P面11ABD5 分（2）1CCQ面1111A B C D11!CCB D又1111A CB DQ，1111B DAC C面111ACB D即同理可
10、证11ACAB，又1111D BABBI1AC面11AB D9 分（3）设 B1D1的中点为N,则 AN B1D1,MN B1D1,则363MNANAM，222,ANMNAMAMNRT，是11,ANMNANB D面M1111,AB DB D面面M（也可以通过定义证明二面角是直二面角）14 分5、.解： (1)证明：设G 为 PC 的中点，连结FG ，EG，F 为 PD 的中点， E 为 AB 的中点，FG12CD，AE12CDFG AE， AFGEGE? 平面 PEC，AF平面 PCE；(2)证明： PAAD 2， AFPD又 P A平面 ABCD，CD? 平面 ABCD，P ACD， ADC
11、D，PA ADA，CD平面 PAD，AF? 平面 PAD， AFCD. PD CDD， AF平面 PCD，GE平面 PCD，GE? 平面 PEC，平面 PCE平面 PCD ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 (3)由(2)知， GE平面 PCD，所以 EG 为四面体PEFC 的高，又 GFCD，所以 GFPD，EGAF2，GF12CD2，SPCF12PD GF 2. 得四面体 PEFC 的体积 V13SPCF EG223. 6、证明： (1)ACBC，P 为 AB 的中点， AB PC，又 CC1AA1，AA1
12、平面 ABC，CC1平面 ABC，CC1AB，又 CC1 PCC，AB平面 PCC1，由题意知 MNAB，故 MN平面 PCC1，MN 在平面 MNQ 内，平面 PCC1平面 MNQ. (2)连接 AC1、 BC1， BC1 NQ，ABMN，又 BC1ABB，平面 ABC1平面 MNQ，PC1在平面 ABC1内，PC1平面 MNQ . 解： (1)证明：连接AF，则 AF 2 2，DF22，又 AD4， DF2 AF2 AD2，DFAF.又 PA平面 ABCD，DFPA，又 PAAFA，.DFPAFDFPFPFPAF平面平面(2)过点 E 作 EHFD 交 AD 于点 H，则 EH平面 PFD
13、 且 AH14AD. 再过点 H 作 HGDP 交 PA 于点 G，则 HG平面 PFD 且 AG14AP，平面 EHG平面 PFD . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页1 0正视图侧视图俯视图EG平面 PFD . 从而满足 AG14AP 的点 G 为所求 . 7、证明 : （ 1）连接1BDE、F分别为1DD、DB的中点，则EF/1BD，又1BD平面11DABC，EF平面11DABC，EF/ 平面11DABC（2）正方体1111DCBAABCD中，AB平面11BBCC，则ABCB1正方形11BBCC中，11BC
14、CB，又1BCAB=B，AB 、1BC平面11DABC, 则CB1平面11DABC，1BD平面11DABC，所以CB11BD又EF/1BD, 所以CB1EF.8、解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-3 分(2) PD平面ABCD，PD平面PDCE平面PDCE平面 ABCD BCCDBC平面PDCE-5 分11()32322SPDECDC梯形 PDCE-6 分四棱锥BCEPD 的体积1132233B CEPDPDCEVSBC梯形.-8 分(3) 证明：/ECPD，PD平面PDA，EC平面PDAEC/平面PDA,-10分同理可得BC/平面PDA-11分EC平面 EBC,BC平面 EBC 且ECBCCI平面BEC/平面PDA-13分又 BE平面 EBC BE/平面 PDA-14分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页1 1面PCD三棱锥以GC为高，三角形PEF为底 10 分112PFPD，112EFCD，1122PEFSEFPF 12 分112GCBC，111113326PEFGGPEFPEFVVSGC 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页