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1、2010 高考数学热点考点题型探析基本不等式热 点 考 点 题 型 探 析考点 1 利用基本不等式求最值(或取值范围 ) 题型 1. 当积ab为定值时 , 求和ab最小值例 1 .已知0,0 xy且满足281xy, 求xy的最小值 . 【解题思路】利用281xy，构造均值不等式解析：2828() 1() ()28yxxyxyxyxyxy,0,0 xy, 280,0yxxy102 1618xy, 当且 仅当28yxxy时 等号 成立 , 即224yx, 2yx, 又281xy, 6,12xy当6,12xy时,xy有最小值18. 【名师指引】 利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即 1)要
2、求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件题型 2. 当和ab为定值时 , 求积ab最大值例 2. 已知 x0，y0，且 3x+4y=12 ，求 lgx+lgy 的最大值及此时x、y 的值【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy转化成 lgxy 考虑解析 x0，y0，3x+4y=12 ，yxxy4312132431212yx，lgx+lgy=lgxy lg3 由yxyxyx4312430,0解得232yx当 x=2， y=23时， lgx+lgy 取得最大值lg3 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考
3、中最常考的方法之一基本不等式求取值范围例 3. 假设正数a，b 满足 ab=a+b+3，则 ab 的取值范围是_ 【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解解法一由 a、bR+，由重要不等式得a+b2ab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页则 ab=a+b+32ab+3，即32 abab)1)(3(0ababab0 3， ab9 解法二a、b 为正数，ab=a+b+3333ab0，两边立方得a3b334aba2b234， ab0， ab9 解法三原条件式变为ab-3=a+b， a、b 均为正
4、数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab，a2b2-6ab+94ab，即 a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab3，ab9 解法四把 a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0 ，则 =(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20 成立，ab9 解法五由已知得 a(b-1)=b+3 ，显然 a1，13bba，514114)1(5)1(132bbbbbbbbab9542，即 ab9 【名师指引】此题用了转化思想等式转化为
5、不等式、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法【新题导练】1. 假设1x，则x=_时,11xx有最小值，最小值为_. 解析 : 1x, 01x, 011x, 11xx=1111xx12 (1)11xx211，当且仅当111xx即0 x时1)11(minxx. 2. .(2008 华附 )已知,*41x yRxy, 且,则11xy的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页解析 : 9454411*,yxxyyyxxyxyxRyx，当且仅当61,31yx时取等号 . 3. 已知一动直线l与两坐标轴的正半
6、轴围成的三角形的面积的数值比直线l的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值解析：设直线l的方程1byaxa0， b0，则121baab， a+b2ab，ab2112 ab，即24)(2abab0，解得ab62，ab212)62(21，当 a=b=2+6时，三角形面积的最小值为5+26考点 2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1.已知, ,a b cR, 求证 :222abcabbcca. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 2222222,2,2abab bcbc acac, 相加整理得222abcabbcca. 当且仅当abc时等号成立 .【名师
7、指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形. 例 2. 已知 a，b 为正数，求证：abbaba【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明. 解析 1：a0，b0，bbaabba22，aabbaab22，两式相加，得aabbbaba22，abbaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页解析 2. abbbaababaabba)(abba22)(baabbaba解析 3. a0，b0，0ba， 欲证abbaba，即证babbaaba，只要证bbaaa
8、bba，只要证2)(bbaa2)(abba，即证ababba233222abababba，只要证a3+b3ab(a+b)，只要证a2+b2-abab，即证(a-b)20 (a-b)20 成立，原不等式成立【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法【新题导练】,a bR, 求证 :221ababab解析：222()20ababab222abab又212aa212bb由得22222222ababab221ababab, 又
9、不等式、中等号成立的条件分别为ab,1,1ab, 故不能同时成立, 从而221ababab. 5.设 x0,y0 且 xy,求证21223133yxyx证明：由x0,y0 且 xy,要证明21223133yxyx只需322233yxyx即22223332yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页只需222yxxy由条件 , 显然成立 . 原不等式成立考点 3 基本不等式在实际中的应用例 1. (2008 中山 )假设, x yR, 且xyaxy恒成立 , 则a的最小值是 _ 【解题思路】别离系数得xyaxy令(
10、 , )xyf x yxy求最大值即可解析 : 事实上求函数( , )xyf x yxy的最大值 , 即2()2( , )1xyxyf x yxyxy的最大值 , 运用基本不等式不难得到2a. 【名师指引】别离系数法是处理参数取值范围的常用方法. .例 2.(2008梅县某厂生产某种产品的年固定成本为250 万元 ,每生产x千件 ,需另投入成本为( )C x.当年产量不足80 千件时 ,21( )103C xxx(万元 );当年产量不小于80 千件时 ,10000( )511450C xxx(万元).每件商品售价为0.05 万元 .通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(
11、万元 )关于年产量x(千件 )的函数解析式 ; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【解题思路】凑出基本不等式的形式.解析 : (1)当080 x时,2211( )0.05 1000102504025033L xxxxxx当80 x时,1000010000( )0.05 10005114502501200()L xxxxxx2140250,0803( )100001200(),80 xxxL xxxx(2)当080 x时,21( )(60)9503L xx,此时 ,当60 x时,( )L x取得最大值(60)950L(万元 ); 当80 x时,1000010000(
12、 )1200 ()1200 212002001000L xxxxx此时 ,当10000 xx时,即100 x时,( )L x取得最大值1000 万元 . 所以 ,当产量为100 千件时 ,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000 万元 . 【名师指引】 形如函数(0)pyxpx的形式求最值时可考虑用基本不等式，但要注意条件的限制,可借助函数的图像解题，必要时借助于导数. 例 3. 某乡为提高当地群众的生活水平, 由政府投资兴建了甲、乙两个企业, 2007 年该乡从甲企业获得利润320 万元 , 从乙企业获得利润720 万元 . 以后每年上交的利润是：甲企业以倍的速度递增, 而乙企业则为
13、上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页一年利润的32.根据测算 , 该乡从两个企业获得的利润到达2000 万元可以解决温饱问题, 到达 8100 万元可以到达小康水平.1假设以2007 年为第一年 ,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年, 该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？2试估算2015 年底该乡能否到达小康水平？为什么？【解题思路】经审题抽象出数列模型 解析 假设以2007 年为第一年 , 则第 n 年该乡从这两家企业获得的利润为) 1(,)32(720)23(32011nynnn=1111)32
14、(9)23(4802)32(9)23(480nnnn=9606802当且仅当11)32(9)23(4nn, 即 n=2 时, 等号成立，所以第二年2008 年上交利润最少，利润为960 万元 .由 2000 960=1040万元知：还需另筹资金1040 万元可解决温饱问题. 2015 年为第 9 年,该年可从两个企业获得利润889)32(720)23(320y1681812016168181320)23(3208810058120所以该乡到2015 年底可以到达小康水平. 【名师指引】此题重点考查数列的相关知识,基本不等式起到了工具性的作用. 【新题导练】12( )f xax，假设02xxf)
15、(在 0，+上恒成立，求a的取值范围。解析：因为02xxf)(在 0，+上恒成立，即0221xxa)(xxa121)(xx12的最小值为4 41a解得410aa或7. 广东省潮州金中08-09 学年高三上学期期中考试某种汽车的购车费用是10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？解析：设使用()x xN年的年平均费用为y万元则使用x年的维修总费用为0.20.20.10.12xxx万元依题得211100.9(0.0.1)(100.1)yxxxxxx10101213101
16、0 xxxx- 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页当且仅当1010 xx即10 x时取等号10 x时y取得最小值3 万元答：这种汽车使用10 年时，它的年平均费用最小，最小值是3 万元 . 抢 分 频 道 基础稳固训练1.设 x0，则函数 y= (x+1x)2-1 在 x=_时， y 有最小值 _解： y= (x+1x)2-13 =x2+1x2+12+1=3答案为：_ 1_；3 2.设实数 x,y 满足 x2+2xy-1=0 ，则 x+y 的取值范围是_解析： x2+2xy+y2=y2+11 ,即(x+y )21所
17、以 x+y 1 或 x+y -1 答案为 (-, -11, +)_ 3.广东省梅州、揭阳两市四校2008 届高三第三次联考设x，y 均为正实数，且312121yx，则 xy 的最小值为解析：由312121yx可化为 xy =8+x+y,x，y 均为正实数xy =8+x+yxy28当且仅当x=y 等号成立即xy-2xy-80可解得xy4,即 xy16 故 xy 的最小值为16。4.半径为 4 的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则ABC、ACD、ADB面积之和ABCACDADBSSS的最大值为C A8 B16 C 32 D 64 解析：由AB，AC，AD两两互相垂直，将
18、之补成长方体知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64111222ABCACDADBSSSABACACADADAB222222444ABACACADADAB=222322ABACAD等号当且仅当ABACAD取得，所以ABCACDADBSSS的最大值为32 ，选 C5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10 公里处建仓库，这两项费用y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处? 解析：由已知y1=x20；y2x(x 为仓库与车站距离)费用之和y=y1+y2x+
19、x202xx208.0 x=x20即 x=5时“ =”成立答： 5 公里处精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页综合拔高训练6.某建筑的金属支架如下图，根据要求AB至少长 2.8m， C 为AB的中点，B到D的距离比 CD 的长小 0.5m，060BCD，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD的长，可使建造这个支架的成本最低？解析：设(1,4),.BCam aCDbm连结 BD. 则在CDB 中，2221()2cos60.2bbaab214.1aba21422 .1abaaa设2.81,10.4,2t
20、at则21(1)3422(1)347,4tbatttt等号成立时0.50.4,1.5,4.tab答：当3,4ABm CDm时，建造这个支架的成本最低. 7.已知).1(1)(xxxxf)()1(xf求的单调区间；2假设.43)()(:,)(1,0cfafbbacba求证讲解: 1 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得111)(xxf, .), 1()1,()(上分别单调递增和在区间xf2首先证明任意).()()(, 0yfxfyxfyx有B A C D 地面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页事
21、实上 ,)(1111)()(yxxyfyxxyyxxyyxxyyxxyxyyyxxyfxf而),() 1(,yxfyxxyfyxyxxy知由)()()(yxfyfxf, 04)2(1)(122abbabbac.34222aaaca43)3()()()(fcafcfaf. 8. 广东省六校2009 届高三第二次联考试卷一辆邮政车自A 城驶往 B 城，沿途有n 个车站包括起点站 A 和终点站B，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ka，（k=1,2,3,n ）试求： 11a ，23,aa2邮政车
22、从第k 站出发时，车内共有邮袋数是多少个？3求数列ka的前k 项和KS并证明：316KSn解：总分值 14 分 1由题意得：1231,(1)(2)1,(1)(2)(3)12.3anannannn分 2 在第 k 站出发时，前面放上的邮袋共：)()2()1(knnn个而从第二站起，每站放下的邮袋共：123 k 1个 -5分故)1(21 )()2() 1(kknnnak),2, 1()1(21) 1(212nkkknkkkkkn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页即邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋数),2, 1(2nkkkn个-10分 32222,(2)(12)1(1)(21)()1226kkaknkSnnknkk kkk nkn分333(1)(321)113211()663611146Kk knkkknknkkSn等号不成立。分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页