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1、专题专题 2828 基本不等式及其应用基本不等式及其应用1.了解基本不等式的证明过程。2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。热点题型一热点题型一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值例 1、(1)若x0，y0，且xy1，则 的最小值是_。xy答案：74 3热点题型二热点题型二基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用例 2、某厂家拟在 2015 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3km1(k为常数)。如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1 万件。已知 2015 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产 1 万件该产品
2、需要再投入16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。(1)将该厂家 2015 年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家 2015 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解析：(1)由题意知，当m0 时，x1(万件)，13kk2，x32，m1816x每件产品的销售价格为 1.5(元)，x2015 年的利润y1.5x816x816xmx216m129(m0)。m116(m1)2 168，m1(2)m0，y82921，当且仅当16m1m3(万元)时，ymax21(万元)。m1故该厂家 2015 年的促
3、销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为21 万元。【提分秘籍】【提分秘籍】利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。【举一反三】【举一反三】某化工企业 2014 年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2 万元，由于设备
4、老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元。设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)。(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需要重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。3热点题型三热点题型三基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用例 3(1)若点A(1,1)在直线mxny20 上，其中mn0，则11mn的最小值为_。(2)已知a0，b0，若不等式31maba3b恒成立，则m的最大值为()A9 B12C18 D24解析：(1)因为点A(1,1)在直线mxny20 上，所以mn20，即mn221，所以11nmn11mn
5、mn221212n2mm2n122mm2n2，当且仅当nm222m2n，即mn时取等号。所以1m1n的最小值为 2。(2)因为a0，b0，不等式3a1bma3b恒成立，所以ma3b31abmin。因为(a3b)3169ba629bababaab12，当且仅当a3b时取等号，所以m的最大值为 12。故选 B。【提分秘籍】【提分秘籍】基本不等式综合问题的解题策略4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解。(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解。(3)求参数的值域范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得
6、参数的值或范围。【举一反三】4122已知直线axbyc10(b，c0)经过圆xy2y50 的圆心，则 的最小值是()bcA9 B8C4 D21.【2017 山东，理 7】若a b 0，且ab 1，则下列不等式成立的是（A）a1bb1alog2ab（B）alog2ab ab22b1b1b log2aba（D）log2ab aab2b2（C）a【答案】B5x2 x 3,x 1,x2.【2017 天津，理 8】已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)|a|在 R22x,x 1.x上恒成立，则a的取值范围是（A）47,216（B）47 3939,（C）2 3,2（D）2 3,16 1616【答
7、案】A【解析】不等式fxxxa为 fx a fx(*)，22xx3 a x2 x3，x23 a x2x3，2222当x 1时，(*)式即为x x31x14747又x23 x，（x 时取等号）42416163333939，x x3x（x 时取等号）4241616222所以4739 a，16162x232x2 a x，x a，x2x2x2x当x 1时，(*)式为x又2 3322 3时取等号），x x 2 3（当x 32x2xx2x2 2 2（当x 2时取等号），2x2x所以2 3 a 2，综上47 a 2故选 A16x y 2 0,1.【2016 高考天津理数】设变量x，y满足约束条件2x 3y
8、6 0,则目标函数z 2x 5y的最小值为3x 2y 9 0.（）（A）4【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A(0,2),B(3,0),C(1,3)，直线z 2x 5y过点 B 时取（B）6（C）10（D）176最小值 6，选 B.xy2,2.【2016 高考山东理数】若变量x，y满足2x3y9,则x2x0,y2的最大值是（）（A）4（B）9（C）10【答案】C（D）121.【2015 高考四川，理 9】如果函数fx上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）【答案】B【解析】m 2时，抛物线的对称轴为x 11n 0在区间，2m2x2n8x1m
9、0，22812n8n8 2即.据题意，当m 2时，m2m22mn 12.2mn 2m n 6,mn 18.由2m n且2mn 12得m 3,n 6.当m 2时，2n81即m2n 18.m222nm 2n m81 9,mn.由2n m22抛物线开口向下，据题意得，且m2n 18得m 9 2，故应舍去.要使得mn取得最大值，应有m2n 18(m 2,n 8).所以mn (182n)n (1828)8 16，所以最大值为 18.选 B.2.【2015 高考陕西，理 9】设f(x)ln x,0 a b，若p f(ab)，q f(ab)，2r 1(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是（）2Aq r
10、p Bq r p Cp r q Dp r q【答案】Ca ba b11)ln，r(f(a)f(b)lnab lnab，2222a ba bab，所以f()f(ab)，所以q p r，函数f(x)ln x在0,上单调递增，因为22【解析】p f(ab)lnab，q f(故选 C34223（2014辽宁卷）对于c0，当非零实数a，b满足 4a2ab4bc0 且使|2ab|最大时，ab75c的最小值为_2b3224（2014山东卷）若ax的展开式中x项的系数为 20，则ab的最小值为_xbr6rr123r3633【答案】2【解析】Tr1C6(ax)C6ab x，令 123r3，得r3，所以 C6ab
11、xr26r6r20，即a b1，所以ab1，所以ab2ab2，当且仅当ab，且ab1 时，等号成立故ab的最小值是 2.5(2014福建卷)要制作一个容积为 4 m，高为 1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是()A80 元C160 元B120 元D240 元23332222【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab4(m)容器的总造价为 20ab2(ab)108020(ab)8040ab160(元)(当且仅当ab时等号成立)故选 C.【答案】C6(2014重庆卷)若 log4(3a4b)log2ab，则a
12、b的最小值是_8【答案】74 325（2014四川卷）已知F为抛物线yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()17 2A2 B3 C.D.10812222【答案】B【解析】由题意可知，F，0.设A(y1，y1)，B(y2，y2)，OAOBy1y2y1y22，4解得y1y21 或y1y22.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y20，即y1y22.当y1y2时，AB所在直线方程为yy122y1y2122(xy)(xy1)，122y1y2y1y2令y0，得xy1y22，即直线AB过定点C(2，0)111111于是SAB
13、OSAFOSACOSBCOSAFO 2|y1|2|y2|y1|(9|y1|8|y2|)2224882 9|y1|8|y2|3，当且仅当 9|y1|8|y2|且y1y22 时，等号成立当y1y2时，取y1 2，y211117 217 22，则AB所在直线的方程为x2，此时求得SABOSAFO2 2 2 2，而3，22488故选 B.6(2013 年高考山东卷)设正实数x，y，z满足x3xy4yz0，则当取得最小值时，x2y2222zxyz的最大值为()99A0 B.C2 D.84【解析】含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值zx23xy4y2(x，y，zR)，zx23xy4y2
14、x4yx4y 3231.xyxyyxyxx4y当且仅当，即x2y时“”成立，此时yx9zx23xy4y24y26y24y22y2，x2yz2y2y2y2y4y2(y1)2.当y1 时，x2yz取最大值 2.【答案】C7（2013重庆卷）（3a）（a6）(6a3)的最大值为()932A9 B.C3 D.22【答案】B【解析】因为6a3，所以（3a）（a6）33aa6，即 a 时等号成立，故选 B.2（3a）（a6）9，当且仅当22222xy1设x0，y0，且 2xy6，则 9 3 有()A最大值 27 B最小值 27C最大值 54 D最小值 54答案：D11x2已知a，b为正实数，函数y2aeb
15、的图象过点(0,1)，则 的最小值是()abA32 2 B32 2C4 D2112ab2abb2ax解析：因为函数y2aeb的图象过(0,1)点，所以 2ab1，所以 3 3abababb2a112 2，当且仅当，即b 2a时，取等号，所以 的最小值是 32 2。abab答案：A11193若正数a，b满足 1，则的最小值为()aba1b1A1 B6C9 D161011解析：方法一：因为 1，所以abab(a1)(b1)1，ab所以192a1b119236。a1b111方法二：因为 1，所以abab，ab所以19b19a911b9a10(b9a)1016106。a1b1abab1ab111方法三
16、：因为 1，所以a1，abb1所以199(b1)2 9236。a1b1b1答案：B4设a1，b0，若ab2，则A32 2 B6C4 2 D2 212 的最小值为()a1b答案：A145已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得aman4a1，则 的最mn小值为()35A.B.23925C.D.46解析：由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1qa1q2a1q，所以qq20，解得q2 或q1(舍去)。因为aman4a1，所以q所以 2mn246542mn216，2，所以mn6，14114所以 (mn)mn6mn111n4m135 (54)。mn66
17、2n4m当且仅当 时，等号成立，mn143故 的最小值等于。mn2答案：A1926正数a，b满足 1，若不等式abx4x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值ab范围是()A3，)B(，3C(，6 D6，)答案：D7已知x，y为正实数，3x2y10，3x 2y的最大值为_。解析：由ab2a2b223x2得 3x 2y2 23x2y2 5，2y255当且仅当x，y 时取等号。32答案：2 5a48若不等式(xy)16 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_。xya4解析：因为不等式(xy)16 对任意正实数x，y恒成立，所以 16xya4xymin。xy12a4令f(x)(xy)(a
18、0)，xy则f(x)a4当且仅当 ay4xa42xyay4xa44a，xyxya2时取等号，所以a4a416，解得a4，因此正实数a的最小值为 4。答案：49下列命题中正确的是_(填序号)。4y23x(x0)的最大值是 24 3；x42ysinx2的最小值是 4；sinx4y23x(x0)的最小值是 24 3。x答案：1110若a0，b0，且 ab。ab(1)求ab的最小值。(2)是否存在a，b，使得 2a3b6？并说明理由。11解析：(1)因为a0，b0，且 ab，33ab1311所以ab 21abab，所以ab2，当且仅当ab 2时取等号。因为ab23333ab32 2 4 2，当且仅当a
19、b 2时取等号，3所以ab的最小值为 4 2。(2)由(1)可知，2a3b2 2a3b2 6ab4 36，故不存在a，b，使得 2a3b6 成立。11已知f(x)2x。x62(1)若f(x)k的解集为x|x3 或x2，求k的值；(2)若对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范围。解析：(1)f(x)kkx2x6k0，由已知其解集为x|x3 或x2，得x13，x22 是方程kx2x6k0 的两根，所以2223，即k。k5(2)x0，f(x)2x26，x666x222x由已知f(x)t对任意x0 恒成立，故实数t的取值范围是6，。612为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1
20、 个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y168x1，0 x4，152x，4x10。若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。(1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4 天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到 0.1，参考数据：2取 1.4)。14(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，1616a16a11浓度g(x)25xa10 xa(14x)a4。14x14x28x6因为 14x4,8，而 1a4，所以 4a4,8，故当且仅当 14x4a时，y有最小值为 8aa4。令 8aa44，解得 2416 2a4，所以a的最小值为 2416 21.6。15