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1、专题7-2基本不等式归类 热点题型归纳【题型一】基础型【典例分析】在下列函数中,最小值是2的是A. B. C.D.【答案】D【解析】A.,当时,不符合题意;B.=,当时取等号,不符合题意;C.=,不符合题意;D.,当且仅当时取等号,符合题意.故选D【提分秘籍】基本规律1.基本公式2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。【变式演练】1.已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是_【答案】【详解】由于，故一元二次方程的判别式：，由韦达定理有：，则：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是.2.若都是正数，则的最小值为( ).A.5B.7C.9D.13【答案】C【详解】因为都是正数，所以，（当且仅
2、当时取等号），故本题选C.3.在区间2，4上随机地取一个数x，使 恒成立的概率是（）ABCD【答案】A【详解】恒成立，即，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，故选择A.【题型二】 “1”的代换型【典例分析】已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为_【详解】x，y均为正实数, 当时等号成立.故答案为：2.【提分秘籍】基本规律“1”代换是基本型，要注意1.一正二定三相等2.见分子想分母，见分子想分子。【变式演练】1.已知，则的最小值为（）A20B24C25D28【答案】C【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值【详解】由题
3、意，当且仅当，即时等号成立故选：C2.已知，则的最小值为（）A13B19C21D27【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.【详解】，当且仅当，即，b6时，等号成立，故的最小值为27。故选：D3.已知正实数，b满足b1，则的最小值为_【详解】因为，且都是正实数.所以当且仅当时，等号成立.所以的最小值为【题型三】 “和”与“积”互消型【典例分析】已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_【答案】18.【分析】根据基本不等式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到的范围，求出答案.【详解】因为，且，所以，（当且仅当时，取等号）即，解得，所以得，所以的最大值是.此时，.故答案为：18.
4、【提分秘籍】基本规律1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式12.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析3.有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2授课时，注意这类求和时，基本所求和与原式和系数“一致”，不一致，则可以用反解代入消参等方法【变式演练】1.已知，且，则的最小值为（）ABCD【答案】A【分析】由题意得，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A2.已知，且，则的最小值为_【答案】6【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等
5、式的解法，由求解.【详解】由，得，又，即，解得：或，又，当且仅当，即时取等号故答案为：63.已知，则（ 多选题 ）A的最大值为2B的最小值为4C的最小值为3D的最小值为【答案】ABD【详解】对于A选项：由均值不等式得，则，令，解得，即，当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得，又，解得，（舍），当且仅当，时，等号成立，故B正确；对于C，D选项：令，则，则可化为，整理，此方程一定有解，即，解得，（舍），故C错误，D正确.故选：ABD.【题型四】 以分母为主元构造型【典例分析】已知非负数满足，则的最小值是（ ）A3B4C10D16【答案】B【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙
6、用即可得解.【详解】由，可得，当且仅当取等号，故选：B【提分秘籍】基本规律构造分母型：1.以分母为主元构造，对于普通学生，也可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式23.变式3是三项构造，且无条件等式。【变式演练】1.已知，且，则的最小值为（ ）A9B10C11D【答案】A【详解】，又，且，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9故选：A2.已知正数、满足，则的最小值是（ ）ABCD【答案】C【分析】得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知正数、满足，则，当且仅当时，等号成立，因此
7、，的最小值是.故选：C.3.设，则的最小值为（ ）ABC4D【答案】A【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解【详解】，当且仅当，即时取等号故选：A【题型五】 构造分母：待定系数【典例分析】已知正实数，满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【分析】将4x+3y=4变形为含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再将式子换元,由基本不等式换“1”法求解即可【详解】由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.所求当且仅当时取等号，所以答案为.故选:A.【提分秘籍】基本规律特征：条件等式和所
8、求式子之间变量系数“不一致”方法：直观凑配或者分母换元【变式演练】1.知正实数、满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设，可得，解得，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.2.已知，则取到最小值为 【答案】【解析】试题分析：令，当且仅当时，等号成立，即的最小值是【题型六】 分子含参型：分离分子型【典例分析】若，则的最小值为_.【答案】【详解】因为，则，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【提分秘籍】基本规律1.分离分子原理题，如典例分析2.分子二次型换元分离，如变式2
9、3.分子二次型凑配构造分离，如变式3【变式演练】1.已知正实数满足，则的最小值是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.【详解】，因为，所以，因为，所以，因此，因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选：A2.若，且，则的最小值为_【答案】【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.【详解】令，则，则，即，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_【答案】【题型七】 反解代入型:消元法【典例分析】已知正数，满足，则的最大值为_【答
10、案】【详解】由，得，由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，、所以的最大值为.故答案为：.【提分秘籍】基本规律条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。【变式演练】1.已知，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时 ， .2.若正数，满足，则的最小值是_，此时_.【答案】2 2 【分析】先由求出，再根据基本不等式求解即可解：，因为、，所以，即，即，当且仅当，即时取等号，故答案为：2；23.若正实数满足，则的最小值为_
11、.【答案】【详解】由且知：，当且仅当时等号成立，即时等号成立.故答案为：【题型八】 因式分解型【典例分析】非负实数满足，则的最小值为_.【答案】【分析】根据题意化简得,结合基本不等式求得，即可求得的最小值.【详解】由题意，非负实数满足，可得,又由，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以或，所以，即时，的最小值为.故答案为：.【提分秘籍】基本规律特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理【变式演练】1.已知，且，则的最小值等于_【答案】【详解】，且，即有 ，即 ，可得 ，当且仅当 时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为：2.已知，且，则的最小值
12、是_【答案】【解析】原式可变形为，两边同时乘以2，得，所以，即x+2y，当且仅当时等号成立。填3.已知a,bR+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，则3a+4b的最小值等于_【答案】62-1【详解】a,bR+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，即有（a+b）（a+2b+1）=9 ，即（2a+2b）（a+2b+1）=18 ，可得3a+4b+1=（2a+2b）+（a+2b+1）22a+2ba+2b+1=62 ，当且仅当2a+2b=a+2b+1 时，上式取得等号，即有3a+4b的最小值为62-1.故答案为：62-1【题型九】 均值用两次【典例分析】是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）ABC
13、D【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且取等，即取等号，即则的最大值为，故选：A【提分秘籍】基本规律两次均值，逐次消去，取等条件一致【变式演练】1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）ABCD【详解】A设，则 所以 当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A2.已知，则的最小值为_.【答案】2【分析】由可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，所以最小值为2.故答案为：2.3.已知正实数，满足，则的最小值为_.【答案】【详解】因为，即，所以，上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以的最小值为.故
14、答案为：【题型十】 换元型【典例分析】已知实数x,y满足方程x2+y2+2x-2y=0，则|x|+|y|的最大值为A.2B.4C.D.【答案】B详解：将化为，令，则，又，所以，即【提分秘籍】基本规律1.二次配方型，可以三角换元2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，如变式13.齐次分式同除型，可以代数换元，如变式3【变式演练】1.若a,bR，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为_【详解】5+14由a2+2ab3b21得（a+3b）（ab）1，令xa+3b，yab，则xy1且a=x+3y4，b=x-y4，所以a2+b2（x+3y4）2+（x-y4）2=x2+5y2+2825x2
15、y2+28=5+14，当且仅当x2=5，y2=55时取等故答案为5+142.已知x2-23xy+5y2=1，x,yR，则x2+y2的最小值为_.【答案】3-72【详解】因为x2-23xy+5y2=(x-3y)2+(2y)2=1，所以令x-3y=cos,2y=sin，解得x=62sin+cos,y=22sin，所以x2+y2=(62sin+cos)2+(22sin)2=1+sin2+6sincos=32+62sin2-12cos2=32+72sin(2-).因为-1sin(2-)1，所以x2+y2的最小值为3-72.3.已知为正实数，则的最小值为_.【答案】【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当
16、时等号成立，故最小值为.【题型十一】 “和”与所求和系数不一致型【典例分析】1、已知，且，则的最小值为ABC5D9【详解】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.【提分秘籍】基本规律1.可以简单的反解代入消去，如典例分析2.可以整体配凑构造（换元），如变式13.可以“无中生有”构造消去，如变式24.也可以因式分解，参考专题八【变式演练】1.若正实数，满足，则的最小值是_【答案】【解析】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.2.3.【题型十二】 “均值裂项”凑配型【典例分析】已知实数，不全为，则的最小值是_，最大值是_【答案】 【分析】根
17、据不等式求最值.【详解】由，当且仅当时取等号，得，当且仅当时取等号；又，当且仅当，时等号成立.故答案为：，.【提分秘籍】基本规律利用轮换和对称特征，适当的裂项构造均值。【变式演练】1.不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是_【答案】1【分析】由条件转化为求的最大值，再解不等式，即可求解.【详解】因为，当时取等号，所以的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1故答案为：2.已知实数满足，则实数的取值范围是_【答案】【分析】由题设条件，化简得，再利用，得到不等式，即可求解【详解】由题意，实数满足，可得，由，可得，所以，又由，得，即，解得故答案为：3.已知，且，则的最小值为_【答案】由，先将
18、变形为，运用基本不等式可得最小值，再求的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.【详解】解：因为，且，所以因为，所以，当且仅当时，取等号，所以。令，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以所以则所求最小值为故答案为： 【题型十三】 整体化同乘方程型【典例分析】已知实数，满足，且.则的最大值为_【答案】9【分析】将已知等式变形为 ，对等式两边同乘，构造关于所求式子的不等式，进行求解即可.【详解】由，得 ，则 ，当且仅当，即时成立，令，则有，解得，故的最大值为.故答案为9.【提分秘籍】基本规律求谁设谁，构造方程用均值【变式演练】1.已知正数满足，则的最大值为_【答案】【详解】试题分析：由已知得，变形为
19、，因为，由基本不等式得，故，解得.2.已知为正数，且，则的最大值为 【答案】试题分析：因为，所以，所以，即，令，则，而，所以，即，故应填【题型十四】 三元最值型【典例分析】已知实数满足，则的取值范围是ABCD【答案】C【详解】试题分析：即，由，所以，即，当且仅当时取等号，综上所述，的取值范围是.故答案选【变式演练】1.若实数、，且，则的最小值为ABCD【答案】D【详解】因为，所以 ，所以=，当且仅当时，等号成立. 故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为.2.已知，且，则的最大值是_，的最大值是_【答案】 10 【分析】直接利用均值不等式得到答案；变换得到，代入数
20、据计算得到答案.【详解】根据均值不等式：，故，当且仅当时取等号；又因为，令，即，故此时有，即，当且仅当时取等号故答案为：10；.3.若正实数满足，则的最大值为_.【答案】由题设，由结合基本不等式可得，从而可得的最大值.【详解】因为，所以，而，故，所以，当且仅当等号成立，故的最大值为.故答案为：.【题型十五】 恒成立求参数型【典例分析】对任意正实数不等式恒成立，则（）A实数有最小值1B实数有最大值1C实数有最小值D实数有最大值【答案】C【分析】化简得到，考虑和两种情况得到，根据均值不等式得到最值得到答案.【详解】，故，当时，不等式恒成立；当时，时等号成立，故，故.故选：C.【变式演练】1.设正实
21、数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （）ABCD【答案】A【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设，则 所以 当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A2.正数满足若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【详解】当且仅当时取等号因此不等式对恒成立，即对恒成立，令，则，即， 故选：C3.设都是正数，且使，求实数的最大值.【答案】.【详解】由题意得，当且仅当时，k的最大值为.【题型十六】 超难压轴小题【典例分析】设为正实数，若则的取值范围是_【答案】【分析】根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解，【详解】因为，所以，所以，所以
22、，所以，令，所以，当时，当时，所以当时，取得最大值，又，所以取值范围是，故答案为：【变式演练】1.若，均为正实数，则的最小值为_.【答案】【分析】将所求式子变为，利用基本不等式可求得，则可知当时，可求得最小值.【详解】当，即时取得最小值为：本题正确结果：成立的条件.2.已知a,b0,1，则S(a,b)=a1+b+b1+a+(1-a)(1-b)的最小值为_【答案】13-552【详解】试题分析：a,b0,1，S(a,b)=a1+b+b1+a+(1-a)(1-b)=1+a+b+a2b2(1+a)(1+b)=1-ab(1-ab)(1+a)(1+b)，令T=ab(1-ab)(1+a)(1+b),x=ab
23、，则T=ab(1-ab)1+a+b+abab(1-ab)1+2ab+ab=x2(1-x2)(1+x)2=x2(1-x)x+1，令f(x)=x2(1-x)x+1,x0,1，可得f(x)=-2x(x2+x-1)(x+1)2,x0,1，所以f(x)在0,5-12)上单调递增，在(5-12,1上单调递增减；所以f(x)max=f(5-12)=55-112，所以S(a,b)得最小值为1-f(x)max=1-55-112=13-5523.已知，则的最小值为_【答案】【详解】设，则原式，以上两个等号当且仅当且，即时同时成立所以所求的最小值为6答案：6最新模考题组练1.已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A4
24、B6C9D10【详解】，当且仅当时，即时取“”.2.已知，且，则的最小值为（）ABCD 【答案】B【分析】将变形为，再用基本不等式和解不等式即可.【详解】因为，且，所以，所以，所以，即当且仅当，即，时等号成立，故的最小值故选：B.3.已知，且，则的最小值为（）A4B8C7D6 【答案】D【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，解二次不等式即可求解.【详解】,当且仅当，即时等号成立，解得或（舍去），的最小值为6故选：D4.、设，且，则的最小值是（ ）A1B2C3D4【详解】D因为，又由，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是，故选D.5.若实数x，y满足xy0，且1，则xy的最小值为_
25、 【答案】25/36.已知的最小值为 。 【答案】3【解析】试题分析：根据题意，由于则根据均值不等式可知，故可知答案为.7.已知正数满足，则的最大值是（ ）ABC1D 【答案】B【分析】已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.【详解】，因为，所以，因此，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），所以.故选：B.8.若实数x，y满足，且，则的最小值是_. 【答案】4解：，满足，且，则，当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值4故答案为：49.已知x0,y0,z0,x-y+2z=0，则的 ()A 最大值为18 B 最小值为18 C 最大值为8 D 最小值为8 【答
26、案】A【详解】由题意知x0,y0,z0,x-y+2z=0，则y=x+2z，又由xzy2=xz(x+2z)2=xzx2+4xz+4z2=1xz+4zx+412xz4zx+4=18，当且仅当xz=4zx，即x=2z时等号成立，所以xzy2最大值为18，故选A.10.知，则的最小值为_ 【答案】【分析】将原等式化为，从而可得，利用换元法和基本不等式可求最值.【详解】可化为，因为，故，故，所以.设，故且，故 又，因为，故即，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，故的最小值为.故答案为：.11.若，则的最小值为_ 【答案】【详解】，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.12.已知实数x,y满足，则的取值范围是_ _答案：13.已知，且满足，则的最小值为 【答案】试题分析：，且满足，=，当且仅当时，的最小值为。14.已如，则的最小值为_. 【答案】7【分析】根据条件换元与放缩，再根据基本不等式求最值.【详解】设，则，所以当且仅当时取等号，即的最小值为15.若实数满足，则的最大值为_. 【答案】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.【详解】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.