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1、平面向量的平行与垂直平面向量的平行与垂直衡东县第五中学衡东县第五中学 罗江英基础知识回顾：基础知识回顾：1平行平行(共线共线)向量定义向量定义： 方向 或 的非零向量叫平行向量。记作 ； 2. 垂直向量定义：垂直向量定义： 若 两个非零向量所成角为 ，则称这两个向量垂直。记作 ab、 90 相同 相反ab向量关系式向量关系式 坐标关系式坐标关系式/ba)0(b0ba01221 yxyx02121 yyxx)0, 0(ba baab3.平面向量的平行与垂直的判定一、基础训练一、基础训练1.已知平面向量 等于_ (3,1),( , 3),/ ,abxabx则2.已知平面向量 =（1,3）， =（4
2、,2）， 与 垂直，则 是_ aba ba3.若 三点共线，则 k=_.12,e e 是两个不共线的向量122,ABeke 已知12123 ,2, ,CB ee CDeeA B D 若-9-1-8(3,1)a (1,3)b( ,2)ck()a cbk()acbk4已知向量， ，若 则= ;若则= (1,2)a(2, 3) bc()/c ab() ca bc5. 已知向量，若向量满足，则_ ,baABba是不共线的向量，已知三点共线的充要条件是则CBARbaAC,),(是_.16.0310)37,97(7.设A（4，1），B（-2，3），C（k，-6），若ABC为直角三角形且B= ，求k的值。
3、90. 50)9)(2()2(6,90)9, 2(),2, 6(90kkBCBABCBABkBCBAB，解：当8.如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线， A、P、C三点共线。 (5,2),(10,4)2BPBDBP (2, 1),(8, 4)4APACAP 又 共起点B ， 共起点A，则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。 BP BD 、AP AC 、解：(5,2),(10,4)2BPBDBP 解：(2, 1),(8, 4)4APACAP (5,2),(10,4)2BPBDBP 解：BP BD 、(2, 1)
4、,(8, 4)4APACAP (5,2),(10,4)2BPBDBP 解：又 共起点B ， 共起点A，则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。 BP BD 、(2, 1),(8, 4)4APACAP (5,2),(10,4)2BPBDBP 解：又 共起点B ， 共起点A，则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。 BP BD 、(2, 1),(8, 4)4APACAP (5,2),(10,4)2BPBDBP 解：又 共起点B ， 共起点A，则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。 BP BD 、(2, 1),(8, 4)4APACAP (5,2),(10,4)2BPBDBP 解
5、：又 共起点B ， 共起点A，则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。 BP BD 、(2, 1),(8, 4)4APACAP (5,2),(10,4)2BPBDBP 解：又 共起点B ， 共起点A，则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。 BP BD 、(2, 1),(8, 4)4APACAP (5,2),(10,4)2BPBDBP 解：又 共起点B ， 共起点A，则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。 BP BD 、(2, 1),(8, 4)4APACAP (5,2),(10,4)2BPBDBP 解： a b 、OMma ONnbOPab m n 、 、R0mn M P
6、 N、 、mn是不共线的两个非零向量， ，其中，且，若三点共线，则= . 1)(bac4. 平面上三个向量 的模均为1，它们相互 之间的夹角均为120，求证：cba,OABC22OABC 22OBCA 22OCAB OABC已知为所在平面内一点，满足，则点是的 _心 。 垂),sin,cos4(4a：设向量例),cos4 ,(sinb)sin4,(cosc./,16tantan2)tan(2) 1 (bacba求证：）若（的值；垂直，求与若2(2 )20,4sin()8cos()0,tan()2;abca bca ba c 由 与垂直 ，即 tantan16sinsin16coscos,cos4cossinsin0/ /ab由得即4(1)(2)5. 已知 , 存在实数k和t,使得 且 若不等式 恒成立，求a的取值范)23,21(),1,3(babtakybtax,)3(2yxattk2ba0bayx433ttk解 ， 有得47) 2(41) 34(41222tttttkttk24747a故当t=-2时，有最小值，2小结1.向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或 ，两向量垂直即向量的夹角为还是坐标语言，它们都可以通过向量的数量积来刻画。2.证明将三点共线转化为过共起点的向量共线。，无论是符号语言