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1、数列专题22-1 最值分析（2套2页）知识点：作差法分析单调性： 有些函数很难画图像，但又必须分析其单调性，这时通常会用作差法。具体步骤：（1） 令；（2） 作差，整理式子，然后分析结果正负；（3） 如果，则函数单增；如果，则函数单减；（4） 也可能部分大于0，部分小于0，我们可以利用这个分析出的最大值或最小值；典型例题：1. 设 数列的前n项和为，已知，（1）设，求的通项公式；（2）若，求的取值范围。 （ ）2. （2011年浙江）若数列中的最大项是第K项，则K 4。3. （2018湖南文G63）设为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式； 答案：解：（1）等差数列中，解得，（2）w，随
2、着的增大而增大，递增，又，实数的最小值为5（2）令，若对一切成立，求实数的最小值随堂练习：1. 已知数列an满足：anan1，ann2n，nN*，则实数的最小值是_ 答案3；解析anan1n2n(n1)2(n1)(2n1)，nN*3._2. 已知等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前n项的和为，且 ().（1）求数列，的通项公式； （2） 记，求证：. 【答案 【解析】试题分析：解：（）是方程的两根，且数列的公差，公差 ( ) 4分又当n1时，有b1S11当数列bn是等比数列， ( )8分（）由（）知 10分 12分考点：数列的通项公式点评：解决的关键是能利用等差数列的概念和等比数列的
3、通项公式来求解，属于基础题。】3. 已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明：. 答案：解：(1)当时，有，解得，当时，有，则整理得数列是以为公比，以为首项的等比数列.（2）由（1）有，则易知数列为递增数列，即.4. 已知各项均为正数的数列满足：其中为数列的前 n 项和。等差数列满足：（1）求数列和的通项公式；（2）对于任意的，恒成立，试求实数k的取值范围。（ 答案：解: ）数列专题22-2 最值分析1. 设函数的定义域为，对任意的实数都有；当时，且.（1）判断并证明在上的单调性；【解析】试题分析：（1）在上单调递增，证明如下： 设任意，且，即，在上
4、单调递增. （2）在中，令，得.令，得，.令，得，即下面用数学归纳法证明： 当时，不等式成立；假设当时，不等式成立，即，则在上单调递增，即当时不等式也成立.综上，由数学归纳法原理可知对任意的，考点：数学归纳法；抽象函数及其应用；数列与函数的综合点评：本题考查函数的单调性，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题】2. 已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相等，且对任意的nN*都成立，数列bn1bn是等差数列.(1)求数列an与bn的通项公式； (2)是否存在kN*，使得(0，1)？请说明理由.（ 19解：(1) 已知， n2时，a12a222a32n2an18(n1)
5、(n). 得2n1an8，解得an24n，在中令n1，可得a18241，所以(n). 由题意b18，b24，b32，所以b2b14，b3b22，数列bn1bn的公差为2(4)2，bn1bn4(n1)22n6，bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(2n8)n27n14(n). (2) bkakk27k1424k，当k4时，f(k)(k)224k单调递增，且f(4)1，所以k4时，f(k)k27k1424k1.又f(1)f(2)f(3)0，所以，不存在k，使得bkak (0，1). )3. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2an（nN*）（1）证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；（2）若bnnann，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值 【解答】（1）证明：当n1时，a112a1，a11Snn2an，nN*，当n2时，Sn1n12an1，两式相减得：an12an2an1，即an2an11，an12（an11），数列an1为以2为首项，2为公比的等比数列，则，nN*；（2）解：，两式相减得：，由，得，设，0，数列cn为递增数列，满足不等式的n的最小值为11第 6 页 共 6 页学科网（北京）股份有限公司