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1、二次函数一选择题（共3小题）1（2019山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）Ay=26675x2By=-26675x2Cy=131350x2Dy=-131350x2【解答】解：设抛物线的解析式为：yax2，将B（45，78）代入
2、得：78a452，解得：a=-26675，故此抛物线钢拱的函数表达式为：y=-26675x2故选：B2（2019南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分下列说法不正确的是（）A25min50min，王阿姨步行的路程为800mB线段CD的函数解析式为s32t+400（25t50）C5min20min，王阿姨步行速度由慢到快D 曲线段AB的函数解析式为s3（t20）2+1200（5t20）【解答】解：A、25min50min，王阿姨步行的路程为20001200800m，故A没错；B、设线段CD的函数解析式为skt+
3、b，把（25，1200），（50，2000）代入得，1200=25k+b2000=50k+b解得：k=32b=400，线段CD的函数解析式为s32t+400（25t50），故B没错；C、在A点的速度为5255=105m/min，在B点的速度为1200-52520-5=67515=45m/min，故C错误；D、当t20时，由图象可得s1200m，将t20代入s3（t20）2+1200（5t20）得s1200，故D没错故选：C3（2019临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示下列结论：小球在空中经过的路程是40m；小球抛出3秒后，
4、速度越来越快；小球抛出3秒时速度为0；小球的高度h30m时，t1.5s其中正确的是（）ABCD【解答】解：由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故错误；小球抛出3秒后，速度越来越快；故正确；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故正确；设函数解析式为：ha（t3）2+40，把O（0，0）代入得0a（03）2+40，解得a=-409，函数解析式为h=-409（t3）2+40，把h30代入解析式得，30=-409（t3）2+40，解得：t4.5或t1.5，小球的高度h30m时，t1.5s或4.5s，故错误；故选：D4（2019兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y（x+1）2+2上
5、，则下列结论正确的是（）A2y1y2B2y2y1Cy1y22Dy2y12【解答】解：当x1时，y1（x+1）2+2（1+1）2+22；当x2时，y1（x+1）2+2（2+1）2+27；所以2y1y2故选：A5（2019淄博）将二次函数yx24x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位若得到的函数图象与直线y2有两个交点，则a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca5Da5【解答】解：yx24x+a（x2）24+a，将二次函数yx24x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y（x2+1）24+a+1，即yx22x+a2，将y2代入，得2x22x+a2，即x22x+a40
6、，由题意，得44（a4）0，解得a5故选：D6（2019雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y（x2）2+1，下列说法中错误的是（）Ay的最小值为1B图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x2C当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小D它的图象可以由yx2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【解答】解：二次函数y（x2）2+1，a10，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x2，顶点为（2，1），当x2时，y有最小值1，当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，yx
7、2的图象向右平移2个单位长度得到y（x2）2，再向上平移1个单位长度得到y（x2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C7（2019陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线yx2+（2m1）x+2m4与yx2（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）Am=57，n=-187Bm5，n6Cm1，n6Dm1，n2【解答】解：抛物线yx2+（2m1）x+2m4与yx2（3m+n）x+n关于y轴对称，2m-1=3m+n2m-4=n，解之得m=1n=-2，故选：D8（2019遂宁）二次函数yx2ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x2，下列结论不正确的是（）Aa4B当b4时，顶点的坐标为（
8、2，8）C当x1时，b5D当x3时，y随x的增大而增大【解答】解：二次函数yx2ax+b对称轴为直线x=a2=2a4，故A选项正确；当b4时，yx24x4（x2）28顶点的坐标为（2，8），故B选项正确；当x1时，由图象知此时y0即1+4+b0b5，故C选项不正确；对称轴为直线x2且图象开口向上当x3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；故选：C9（2019温州）已知二次函数yx24x+2，关于该函数在1x3的取值范围内，下列说法正确的是（）A有最大值1，有最小值2B有最大值0，有最小值1C有最大值7，有最小值1D有最大值7，有最小值2【解答】解：yx24x+2（x2）22，在1x3的取值范围
9、内，当x2时，有最小值2，当x1时，有最大值为y927故选：D10（2019衢州）二次函数y（x1）2+3图象的顶点坐标是（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（1，3）【解答】解：y（x1）2+3，顶点坐标为（1，3），故选：A11（2019重庆）抛物线y3x2+6x+2的对称轴是（）A直线x2B直线x2C直线x1D直线x1【解答】解：y3x2+6x+23（x1）2+5，抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x1故选：C12（2019恩施州）抛物线yax2+bx+c的对称轴是直线x1，且过点（1，0）顶点位于第二象限，其部分图象如图4所示，给出以下判断：ab0且c0；4a2b+c0；8a+
10、c0；c3a3b；直线y2x+2与抛物线yax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x25其中正确的个数有（）A5个B4个C3个D2个【解答】解：抛物线对称轴x1，经过（1，0），-b2a=-1，a+b+c0，b2a，c3a，a0，b0，c0，ab0且c0，故错误，抛物线对称轴x1，经过（1，0），（2，0）和（0，0）关于对称轴对称，x2时，y0，4a2b+c0，故正确，抛物线与x轴交于（3，0），x4时，y0，16a4b+c0，b2a，16a8a+c0，即8a+c0，故错误，c3a3a6a，b2a，c3a3b，故正确，直线y2x+2与抛物线yax2+bx+c两个交
11、点的横坐标分别为x1，x2，方程ax2+（b2）x+c20的两个根分别为x1，x2，x1+x2=-b-2a，x1x2=c-2a，x1+x2+x1x2=-b-2a+c-2a=-2a-2a+-3a-2a=-5，故错误，故选：D13（2019南充）抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），a0，顶点坐标为（12，m），给出下列结论：若点（n，y1）与（32-2n，y2）在该抛物线上，当n12时，则y1y2；关于x的一元二次方程ax2bx+cm+10无实数解，那么（）A正确，正确B正确，错误C错误，正确D错误，错误【解答】解：顶点坐标为（12，m），n12，点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=12
12、的对称点为（1n，y1），点（1n，y1）与（32-2n，y2）在该抛物线上，（1n）（32-2n）n-120，1n32-2n，a0，当x12时，y随x的增大而增大，y1y2，故此小题结论正确；把（12，m）代入yax2+bx+c中，得m=14a+12b+c，一元二次方程ax2bx+cm+10中，b24ac+4am4ab24ac+4a（14a+12b+c）4a（a+b）24a0，一元二次方程ax2bx+cm+10无实数解，故此小题正确；故选：A14（2019潍坊）抛物线yx2+bx+3的对称轴为直线x1若关于x的一元二次方程x2+bx+3t0（t为实数）在1x4的范围内有实数根，则t的取值范围
13、是（）A2t11Bt2C6t11D2t6【解答】解：yx2+bx+3的对称轴为直线x1，b2，yx22x+3，一元二次方程x2+bx+3t0的实数根可以看做yx22x+3与函数yt的有交点，方程在1x4的范围内有实数根，当x1时，y6；当x4时，y11；函数yx22x+3在x1时有最小值2；2t11；故选：A二填空题（共5小题）15（2019贵港）我们定义一种新函数：形如y|ax2+bx+c|（a0，且b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3）；图象具有对称性，对称
14、轴是直线x1；当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大；当x1或x3时，函数的最小值是0；当x1时，函数的最大值是4其中正确结论的个数是 【解答】解：（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y|x22x3|，是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1或x3，因此也是正确的；从图象上看，当x1或x3，函数值要大于当x1时的y|x22x3|4，因此时不正确的；故答案是：416 （201
15、9武汉）抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x1）2+cbbx的解是 【解答】解：关于x的一元二次方程a（x1）2+cbbx变形为a（x1）2+b（x1）+c0，把抛物线yax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到ya（x1）2+b（x1）+c，因为抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（4，0），所以抛物线ya（x1）2+b（x1）+c与x轴的两交点坐标为（2，0），（5，0），所以一元二方程a（x1）2+b（x1）+c0的解为x12，x25故答案为x12，x2517（2019达州）如图，抛物线yx2+2x+m+1（m为常数）交y轴
16、于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B抛物线yx2+2x+m+1与直线ym+2有且只有一个交点；若点M（2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1y2y3；将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y（x+1）2+m；点A关于直线x1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m1时，四边形BCDE周长的最小值为34+2其中正确判断的序号是 【解答】解：把ym+2代入yx2+2x+m+1中，得x22x+10，440，此方程两个相等的实数根，则抛物线yx2+2x+m+1与直线ym+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；抛物线的对称轴为x
17、1，点P（2，y3）关于x1的对称点为P（0，y3），a10，当x1时，y随x增大而增大，又2012，点M（2，y1）、点N（12，y2）、点P（0，y3）在该函数图象上，y2y3y1，故此小题结论错误；将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y（x+2）2+2（x+2）x+m+12，即y（x+1）2+m，故此小题结论正确；当m1时，抛物线的解析式为：yx2+2x+2，A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B（1，3），作C点关于x轴的对称点C（2，2），连接BC，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BCBE+ED+CD+
18、BCBC+BC，根据两点之间线段最短，知BC最短，而BC的长度一定，此时，四边形BCDE周长BC+BC最小，为：BM2+CM2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2，故此小题结论正确；故答案为：18.（2019泰安）若二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，则关于x的方程x2+bx52x13的解为 【解答】解：二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，-b2=2，得b4，则x2+bx52x13可化为：x24x52x13，解得，x12，x24故答案为：x12，x2419（2019济宁）如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+
19、cn的解集是 【解答】解：抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，m+np，3m+nq，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于P（1，p），Q（3，q）两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，直线ymx+n在抛物线yax2+c的下方，不等式ax2+mx+cn的解集为x3或x1故答案为：x3或x120.（2019广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y=-112x2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米【解答】解：当y0时，y=-112x2+23x+53=0，解
20、得，x2（舍去），x10故答案为：10三、解答题21（2019达州）如图1，已知抛物线yx2+bx+c过点A（1，0），B（3，0）（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（CAO+CDO）4时，求点D的坐标；（3）如图2抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，BMP和EMN的面积分别为m、n，求mn的最大值【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（3，0）代入yx2+bx+c，得，-1+b+c=0-9-3b+c=0，解得b2，c3，yx22x+3（x+1）2+4，此抛物线解析式为：yx22x+3，顶点C的坐
21、标为（1，4）；（2）抛物线顶点C（1，4），抛物线对称轴为直线x1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H（1，0），在RtCHO中，CH4，OH1，tanCOH=CHOH=4，COHCAO+ACO，当ACOCDO时，tan（CAO+CDO）tanCOH4，如图1，当点D在对称轴左侧时，ACOCDO，CAOCAO，AOCACD，ACAD=AOAC，AC=CH2+AH2=25，AO1，25AD=125，AD20，OD19，D（19，0）；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x1的对称点D的坐标为（17，0），点D的坐标为（19，0）或（17，0）；（3）设P（a，a22a+3），将P（a，a22a+
22、3），A（1，0）代入ykx+b，得，ak+b=-a2-2a+3k+b=0，解得，ka3，ba+3，yPA（a3）x+a+3，当x0时，ya+3，N（0，a+3），如图2，SBPMSBPAS四边形BMNOSAON，SEMNSEBOS四边形BMNO，SBPMSEMNSBPASEBOSAON=124（a22a+3）-1233-121（a+3）2a2-92a2（a+98）2+8132，由二次函数的性质知，当a=-98时，SBPMSEMN有最大值8132，BMP和EMN的面积分别为m、n，mn的最大值为813222（2019天津）已知抛物线yx2bx+c（b，c为常数，b0）经过点A（1，0），点M（
23、m，0）是x轴正半轴上的动点（）当b2时，求抛物线的顶点坐标；（）点D（b，yD）在抛物线上，当AMAD，m5时，求b的值；（）点Q（b+12，yQ）在抛物线上，当2AM+2QM的最小值为3324时，求b的值【解答】解：（）抛物线yx2bx+c经过点A（1，0），1+b+c0，即cb1，当b2时，yx22x3（x1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）；（）由（）知，抛物线的解析式为yx2bxb1，点D（b，yD）在抛物线yx2bxb1上，yDb2bbb1b1，由b0，得bb20，b10，点D（b，b1）在第四象限，且在抛物线对称轴x=b2的右侧，如图1，过点D作DEx轴，垂足为E，则点E（b，
24、0），AEb+1，DEb+1，得AEDE，在RtADE中，ADEDAE45，AD=2AE，由已知AMAD，m5，5（1）=2（b+1），b32-1；（）点Q（b+12，yQ）在抛物线yx2bxb1上，yQ（b+12）2b（b+12）b1=-b2-34，可知点Q（b+12，-b2-34）在第四象限，且在直线xb的右侧，2AM+2QM2（22AM+QM），可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由GAM45，得22AMGM，则此时点M满足题意，过点Q作QHx轴于点H，则点H（b+12，0），在RtMQH中，可知QMHMQH45，QHMH，QM=2MH，点
25、M（m，0），0（-b2-34）（b+12）m，解得，m=b2-14，2AM+2QM=3324，2（b2-14）（1）+22（b+12）（b2-14）=3324，b423（2019金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点点P为抛物线y（xm）2+m+2的顶点（1）当m0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数（2）当m3时，求该抛物线上的好点坐标（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围【解答】解：（1）如图1中，当m0时，二次函
26、数的表达式yx2+2，函数图象如图1所示当x0时，y2，当x1时，y1，抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个（2）如图2中，当m3时，二次函数解析式为y（x3）2+5如图2当x1时，y1，当x2时，y4，当x4时，y4，抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），抛物线的顶点P在直线yx+2上，点P在正方形内部，则0m2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方
27、形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E时，（2m）2+m+21，解得m=5-132或5+132（舍弃），当抛物线经过点F时，（2m）2+m+22，解得m1或4（舍弃），当5-132m1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点24（2019枣庄）已知抛物线yax2+32x+4的对称轴是直线x3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBO
28、C的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求点M的坐标【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线x3，-322a=3，解得a=-14，抛物线的解析式为：y=-14x2+32x+4当y0时，-14x2+32x+40，解得x12，x28，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0）答：抛物线的解析式为：y=-14x2+32x+4；点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（8，0）（2）当x0时，y=-14x2+32x+44，点C的坐标为（0，4）设直线BC的解析式为yk
29、x+b（k0），将B（8，0），C（0，4）代入ykx+b得8k+b=0b=4，解得k=-12b=4，直线BC的解析式为y=-12x+4假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，设点P的坐标为（x，-14x2+32x+4），如图所示，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，-12x+4），则PD=-14x2+32x+4（-12x+4）=-14x2+2x，S四边形PBOCSBOC+SPBC=1284+12PDOB16+128（-14x2+2x）x2+8x+16（x4）2+32当x4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是320x8，存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大答
30、：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32（3）设点M的坐标为（m，-14m2+32m+4）则点N的坐标为（m，-12m+4），MN|-14m2+32m+4（-12m+4）|-14m2+2m|，又MN3，|-14m2+2m|3，当0m8时，-14m2+2m30，解得m12，m26，点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m0或m8时，-14m2+2m+30，解得m3427，m44+27，点M的坐标为（427，7-1）或（4+27，-7-1）答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（427，7-1）或（4+27，-7-1）25（2019南充）如
31、图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），且OBOC（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且POBACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E求DE的最大值；点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）设交点式ya（x+1）（x+3）OCOB3，点C在y轴负半轴C（0，3）把点C代入抛物线解析式得：3a3a1抛物线解析式为y（x+1）（x+3）x24x3（2）如图1，过点A作
32、AGBC于点G，过点P作PHx轴于点HAGBAGCPHO90ACBPOBACGPOHAGPH=CGOHAGCG=PHOHOBOC3，BOC90ABC45，BC=OB2+OC2=32ABG是等腰直角三角形AGBG=22AB=2CGBCBG32-2=22PHOH=AGCG=12OH2PH设P（p，p24p3）当p3或1p0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数OHp，PH（p24p3）p2+4p+3p2（p2+4p+3）解得：p1=-9-334，p2=-9+334P（-9-334，-9-338）或（-9+334，-9+338）当3p1或p0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号p2
33、（p2+4p+3）解得：p12，p2=-32P（2，1）或（-32，34）综上所述，点P的坐标为（-9-334，-9-338）、（-9+334，-9+338）、（2，1）或（-32，34）（3）如图2，xm+4时，y（m+4）24（m+4）3m212m35M（m，m24m3），N（m+4，m212m35）设直线MN解析式为ykx+nkm+n=-m2-4m-3k(m+4)+n=-m2-12m-35 解得：k=-2m-8n=m2+4m-3直线MN：y（2m8）x+m2+4m3设D（d，d24d3）（mdm+4）DEy轴xExDd，E（d，（2m8）d+m2+4m3）DEd24d3（2m8）d+m2+4m3d2+（2m+4）dm24md（m+2）2+4当dm+2时，DE的最大值为4如图3，D、F关于点E对称DEEF四边形MDNF是矩形MNDF，且MN与DF互相平分DE=12MN，E为MN中点xDxE=m+m+42=m+2由得当dm+2时，DE4MN2DE8（m+4m）2+m212m35（m24m3）282解得：m14-32，m24+32m的值为4-32或4+32时，四边形MDNF为矩形