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1、随机过程简介1、实际背景：在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察,记录得 ： 研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?, ),(btatX Ex.2 从杂乱电讯号的一段观察Y(t),0 tT 中,研究是否存在某种随机信号S(t)?随机过程直观解释：对随机信号或者噪声信号作一次观测相当于做一次随机试验，每次随机试验所得到的观测记录结果 是一个确定的函数，称为样本函数，所有的样本函数的全体构成了随机过程。i(t)x2、随机过程的定义设随机试验E的样本空间为S=e，对其
2、每一个元素 (i=1,2,)都以某种法则确定一个样本函数x(t, ),由全部元素e所确定的一族样本函数x(t，e)称为随机过程，记为x(t)。ieie设有一个过程x(t)，若对每一个固定的时刻 (j=1,2)，X( )是一个随机变量，则x(t)称为随机过程。jtjt随机过程x(t,e)四种不同情况下的意义：.当t固定，e固定时，x(t)是一个确定值；.当t固定，e可变时，x(t)是一个随机变量；.当t可变，e固定时，x(t)是一个确定的时间函数；.当t可变，e可变时，x(t)是一个随机过程；平稳过程1）严平稳过程： 若有相同的联合分布，也就是说主要性质只与变量之间的时间间隔有关。121212,
3、 ,0,(,(,nnntttthththt ttThXXXXXX及,)与,)LLL2）宽平稳过程： 如果随机过程x(t), 所有二阶矩都存在，并且Ex(t)= ,协方差函数 只与时间差t-s有关，那么称x(t), 为宽平稳过程。tT(t,s)tT研究随机过程的一个重要切入点就是研究一个随机信号的数字特征，数字特征主要包括数学期望、相关函数、方差、协方差、均方值。其中数学期望是一阶矩，后面四个是二阶矩。可以通过研究随机过程的二阶矩特征来判断随机过程是否平稳等等。Poisson过程1、计数过程： 随机过程 称为计数过程，如果 表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点： （1）
4、且取值为整数； （2） 时，(t),t0N(t)N(t)0Nst(s)N(t)N(t) N(s)s,tAN且表示（时间内事件 发生的次数。2、Poisson过程 计数过程 称为参数为 的Poisson过程，如果（1）N(0)=0; (2)过程有独立增量； (3)对任意的 N(t),t0(0) ,0,s t N(ts)N(s)n,0,1,2.!ntPnnte 称为Poisson过程的强度或者速率，也就是说单位事件内事件发生的次数。例：顾客到达某商店服从 =4的Poisson分布已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。设 表示在时间t时到达的
5、顾客数( )N t(0.5)1,(2.5)5)P NN(0.5)1,(2.5)(0.5)4)P NNN(0.5)1) (2)4)P NP N5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0解：解：Poisson过程的推广当Poisson过程的强度 不再是常数，而与时间t有关时，Poisson过程被推广为非齐次Poisson过程。一般来说，非齐次Poisson过程不具有平稳增量。非齐次Poisson过程 计数过程 称做强度函数为 的非齐次Poisson过程，如果（1）N(0)=0；（2）过程有独立增量；（3）对任意实数 为具有参数的Poisson分布。令N(t),t0(
6、t)0(t0)0,0,(t s)N(t)tsN(t) m(t)( )dt stms 0(t)(s)dstm例 设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。解 考虑非齐次泊松过程，强度函数1052.5( )15102ttt1051000511(10)( )4.52.52mt dtdtdt914.52(4.5)9(10)(0)11!2P NNee复合Poisson过程条件Poisson过程 设Yi,i1是一族独立同分布的随机变量， N(t),t0是泊松过程，且Yi,i1与N(t),t0独立，记 1N tiiX tY
7、称X(t),t0为复合泊松过程。1、定义：设 是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t) 是一个计数过程，在 的条件下， N(t),t0是参数为 的泊松过程，即对任意的 s, t0，有 !nttP N tsN snen 则称N(t),t0为条件泊松过程。更新过程1、更新过程的定义 设Xn,n1是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)1，令010,nnkkTTX记 sup;nN tn Tt或 1nTtnN tI称N(t),t0更新过程。0=x(x),0nEdFX一个典型的更新过程的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马
8、上用一个新的来替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行，到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件.这些零件的使用寿命是独立同分布的，那么到t时刻为止已经更换的零件数目就构成一个更新过程。 注： 在有限的时间内不可能有无限多次更新发生。因为 0kIfEX由大数定律知，依概率1有nTnn ,nifnThenT 所以， 从而，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生，即有限的时间内最多只能发生有限次更新。 sup;max;nnN tn Ttn Tt2、更新方程 ：如下形式的积分方程称为更新方程0( )( )()( )tK tH tK ts dF s其中H(t)，F(t)为已知，
9、且当t0时， H(t)，F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为适定更新方程，简称更新方程。设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为M(t) 00( ),0( ),0ttm tF tm ts dF stM tf tM ts f s dst3、更新方程的解设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一的在有限区间内有界的解0( )( )()( )tK tH tH ts dm s4、更新方程在人口学中的一个应用考虑一个确定性的人口模型( )B t-在时刻t女婴的出生速率，即在 t,t+dt之间有B(t)dt个女婴出生.已知：( )S x-生存函数：指一个女婴能活到 年龄x的概率
10、.( )x-生育的年龄强度：指年龄为x的母亲生育的速率.即年龄为x的母亲在t,t+dt之间生下的女婴数为( ).x dt我们要用过去的B(t)预测未来的B(t)。因为() ( )B tx S x dx-t时刻年龄在x,x+dx之间的女性数。() ( ) ( )B tx S xx dx-t时刻年龄在x,x+dx之间的女性在单位时间内所生育的女婴数。则在单位时间内所有育龄段女性生育的女婴数为0( )() ( ) ( )B tB tx S xx dx所以，00( )() ( ) ( )() ( ) ( )() ( ) ( )ttB tB tx S xx dxB tx S xx dxB tx S xx
11、 dx这是一个更新方程，其中( )( ) ( )( )() ( ) ( )tf xS xxH tB tx S xx dx作变量替换 x=y+t 得0( )() () ()H tBy S ytyt dy注意：( )H t dt-年龄t的女性在时间t,t+dt之间生育的女婴数( )( ) ( )f x dxS xx dx-一个新生的女婴在年龄x,x+dx之间期待生育的女婴数所以0( )( )xF xf t dt-一个新生的女婴在年龄x之前期待生育的女婴数 表示其一生中将期待生育个女婴数( )F 可以证明:当 时，( )1F ( ),RtB tCet 其中C为常数,R满足方程0( ) ( )1Rxe
12、 S xx dx当 时，B(t)渐近指数地趋于0，即人群最终消亡。( )1F 当 时， B(t)将趋于一个有限的正数。( )1F Markov链1、定义 随机过程 称为马尔可夫链，若它只取有限或可列个值（称为过程的状态，记为0，1，2，），并且，对任意 及状态 ，有,0,1,2,nX n0n 0 11, , , , ,ni ji ii10011111(,)()nnnnnnP Xj XiXiXiXiP Xj Xi有这样一类随机过程，它具备“无后效性”，即，要确定过程将来的状态，知道它此刻的状态就足够了，并不需要对它以往状况的认识，这类过程称为Markov过程。定义 ,i jS称 1nnijP X
13、j Xipn为n时刻的一步转移概率。若 ,ijiji jS pnp即pij与n无关，则称Xn,n0为齐次马尔可夫链。记P=(pij)，称P为Xn,n0的一步转移概率矩阵.000102101112012iiippppppPppp11,0,02,10,1,2,ijijjpi jpi2、转移概率假设有一只蚂蚁在如右图的图上爬行，当两个结点相临时，蚂蚁将爬行它临近的一点，并且爬向任何一个邻居的概率是相同的。则此Markov链的转移矩阵为：1100002211000022111100444400100011000022000010P假定某大学有一万人，每人每月使用一支牙膏，并且只使用“中华”牙膏和“黑妹
14、”牙膏两者之一。根据本月的调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查，使用黑妹牙膏的3000人中 ，有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏，40%的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70%的人下月将继续使用中华牙膏，30%的人将改用黑妹牙膏。1）我们可以得到转移概率矩阵60% 40%30% 70%B2）用转移概率矩阵预测市场占有率的变化 有了转移概率矩阵，我们可以知道下一个月使用黑妹牙膏和中华牙膏人数60% 40%(3000,7000)(3900,6100)30% 70%故下个月使用黑妹牙膏的人数为3900人，使用中华牙膏的人数为6100人3）假定转移概率矩阵不
15、变，还可以预测再下一个月的情况60%40%(3900,6100)30%70%60% 40% 60% 40%(3000,7000)30% 70% 30% 70%2(3000,7000)(4170,5830)60% 40%30% 70%其中 称为二步转移矩阵，也就是从刚开始那月份到接下来的第二月份的情况。二步转移矩阵正好是一步转移矩阵的平方。一般的，k步转移矩阵正好是一步转移矩阵的k次方。260%40%30%70%鞅；Brown运动；曾红庆: 1、严平稳随机过程在通信过程中的应用2、严平稳随机过程与宽平稳随机过程区别联系3、马尔科夫链与马尔科夫过程关系以及区别赵津锋:1、随机过程在wsn中哪部分可
16、以被用到？2、请详述马尔科夫过程。3、请详述泊松过程李玉龙:1、什么是随机过程？2、随机过程主要用于无线网络的哪些方面？3、马尔可夫链的原理是什么？甘子健:1、poisson过程是累积计数模型，它与WSM或实验室研究内容有哪方面的关联？2、随机过程是否存在傅里叶变化？3、臧浪同学对于随机过程学习的建议。常宝明:1、随机过程在无线传感器网络中有没有典型的应用？2、想重点了解一下马尔可夫链3、跟哪些学科有练习，学习时应该注意些什么？欧阳经纶:1、随机过程和概率论相关吗？有什么区别？2、随机过程有哪些主要的内容，主要解决什么问题？3、马尔科夫链是随机过程中的吗？详细讲解一下。郭勋：1、用自己的话概况
17、随机过程主要内容2、随机过程和概率论有何区别与联系3、概述马尔科夫过程，有何实际意义1、随机过程的简介和概率论等其他学科的联系随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。2、随机过程在WSN或者实验室研究领域中的应用对于WSN中，对于节点位置的预测或者网络拓扑结构的预测以及信道竞争时从竞争状态到稳定状态的预测等等，在压缩感知中，在数据融合等方面有较好的应用。3、马尔科夫链与其他各类过程的介绍前面已经详细讲述4、学习随机过程的建议假如不是数学专业的学生感觉学习起来比较吃力，各种积分定律，需要做的就是一遍一遍的看，多看自然就能看懂。