《2022年高中数学..利用导数判断函数的单调性学案新人教B版选修- .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学..利用导数判断函数的单调性学案新人教B版选修- .pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、13.1 利用导数判断函数的单调性1理解导数与函数的单调性的关系( 易混点 ) 2掌握利用导数判断函数单调性的方法( 重点 ) 3会用导数求函数的单调区间( 重点、难点 ) 基础初探 教材整理函数的单调性与导数之间的关系阅读教材 P24，完成下列问题用函数的导数判定函数单调性的法则(1) 如果在 (a，b) 内，_，则f(x) 在此区间是增函数，(a，b) 为f(x) 的单调增区间；(2) 如果在 (a，b) 内，_，则f(x) 在此区间是减函数，(a，b) 为f(x) 的单调减区间【答案】f(x)0 f(x)0 ，则函数f(x) 在定义域上单调递增( ) (2) 函数在某一点的导数越大，函数
2、在该点处的切线越“陡峭”( ) (3) 函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( ) 【答案】(1) (2) (3) 质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 疑问 2：解惑：疑问 3：解惑： 小组合作型 单调性与导数的关系(1)(2016 武昌高二检测) 函数yf(x) 的图象如图1-3-1所示，给出以下说法：图 1-
3、3-1函数yf(x)的定义域是 1,5 ；函数yf(x)的值域是( ， 0 2,4；函数yf(x)在定义域内是增函数；函数yf(x)在定义域内的导数f(x)0. 其中正确的序号是( ) ABCD(2) 设函数f(x)在定义域内可导，yf(x) 的图象如图1-3-2 所示，则导函数yf(x)的图象可能为 ( ) 图 1-3-2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【精彩点拨】研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时
4、，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数， 则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致【自主解答】(1) 由图象可知，函数的定义域为 1,5 ，值域为 ( ， 0 2,4，故正确，选A. (2) 由函数的图象可知：当x0 时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D. 【答案】(1)A (2)D 1利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可2通过图象研究函数单调性的方法(1) 观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”
5、产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2) 观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负 再练一题 1(1) 设f(x) 是函数f(x) 的导函数， 将yf(x) 和yf(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( ) A B C D (2) 若函数yf(x) 的导函数在区间a，b 上是增函数，则函数yf(x) 在区间 a，b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 上的图象可能是( ) A B
6、C D 【解析】(1)A ，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则yf(x) 应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x) 应为减函数，也不符合(2) 因为yf(x) 的导函数在区间a，b 上是增函数，则从左到右函数f(x) 图象上的点的切线斜率是递增的【答案】(1)D (2)A 利用导数求函数的单调区间求函数f(x) xax(a0)的单调区间【精彩点拨】求出导数f(x) ，分a0和a0 求得单调增区间，由f(x)0时，令f(x) 1ax20，解得xa或xa；令f(x) 1ax20，解得ax0或 0 xa；当a0恒成立，所以当a0 时，f(x) 的单调递增区间为( ，a) 和(a， )
7、 ；单调递减区间为( a，0) 和(0 ，a) 当a0( 或f(x)0 时，f(x) 在相应的区间上是增函数；当f(x)0，可得x1. 即函数f(x) exex，xR的单调增区间为(1 ， ) ，故选 D. (2) 函数的定义域为(0 ，) ，又f(x) 1x1，由f(x) 1x10，得 0 x1，所以 3x23. 所以a3，即a的取值范围是 ( ， 3 (2) 令y0，得x2a3. 若a0，则x2a3恒成立，即y0 恒成立，此时，函数yx3axb在 R上是增函数，与题意不符若a0，令y 0，得xa3或xa3. 因为 (1，) 是函数的一个单调递增区间，所以a31，即a3. 名师资料总结 -
8、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增 ( 或单调递减 ) 的充要条件是f(x) 0(或f(x) 0)在 (a，b) 上恒成立，且f(x) 在(a，b) 的任何子区间内都不恒等于 0. 2已知f(x) 在区间 (a，b) 上的单调性，求参数范围的方法(1) 利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b) 上单调递增 ( 减) 的问题，则区间(a，b) 是相应单调区间的子集；(2) 利用
9、不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增 ( 减) 的问题，则f(x) 0(f(x) 0)在 (a，b) 内恒成立，注意验证等号是否成立 再练一题 3将上例 (1) 改为“若函数y在(1 ，) 上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y 3x2a，当a0，函数在 (1，) 上单调递增，不符合题意当a0时，函数y在(1， ) 上不单调， 即y 3x2a0 在区间 (1， ) 上有根 由3x2a0 可得xa3或xa3( 舍去 ) 依题意，有a31，a3，所以a的取值范围是 (3 ，) 构建体系 1函数yf(x) 的图象如图1-3-3 所示，则导函数yf(x) 的图象可能是 ( ) 图 1-
10、3-3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【解析】函数f(x) 在(0 ，) ， (， 0) 上都是减函数，当x0 时，f(x)0，当x0 时，f(x) 0. 【答案】D 2已知函数f(x) xln x，则有 ( ) Af(2) f(e) f(3) Bf(e) f(2) f(3) Cf(3) f(e) f(2) Df(e) f(3) f(2) 【解析】因为在定义域(0 ，) 上，f(x) 12x1x0，所以f(x)
11、 在(0，)上是增函数，所以有f(2) f(e) f(3) 故选 A. 【答案】A 3函数f(x) 2x39x212x1 的单调减区间是_【解析】f(x) 6x218x12，令f(x) 0，即 6x218x120，解得 1x2. 【答案】(1,2) 4已知函数f(x) ax1x2在( 2，) 内单调递减， 则实数a的取值范围为 _. 【导学号： 05410018】【解析】f(x) 2a1x22，由题意得f(x) 0在( 2， ) 内恒成立，解不等式得a12，但当a12时，f(x) 0 恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是，12. 【答案】，125已知函数f(x) ln x，g(x) 1
12、2ax22x，a0.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 若函数h(x) f(x) g(x) 在1,4 上单调递减，求a的取值范围【解】h(x) ln x12ax22x，x(0 ，) ，所以h(x) 1xax2. 因为h(x) 在1,4 上单调递减，所以x1,4时，h(x) 1xax20 恒成立，即a1x22x恒成立，所以aG(x)最大值，而G(x) 1x121. 因为x1,4，所以1x14，1 ，所以G(x)最大值
13、716( 此时x4) ，所以a716. 当a716时，h(x) 1x716x2167x232x16x7x4x416x. 因为x1,4，所以h(x) 7x4x416x0，即h(x) 在1,4上为减函数故实数a的取值范围是716，. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评( 建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、选择题1函数yxxln x的
14、单调递减区间是( ) A( ， e2) B(0 ，e 2) C(e2，)D(e2，)【解析】因为yxxln x，所以定义域为(0 ， ) 令y 2ln x0，解得 0 x0， 所以函数f(x) 在(4,5)上单调递增故选C. 【答案】C 3若函数f(x)ax3x在 R上是减函数，则( ) Aa0Ba1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - Ca2. 则f(x)2x4 的解集为 ( ) 【导学号： 05410019】
15、A( 1,1) B( 1，)C( ， 1) D( ，)【解析】构造函数g(x) f(x) (2x4)，则g(1) 2( 24)0，又f(x)2. g(x) f(x) 20，g(x)是 R上的增函数f(x)2x4?g(x)0 ?g(x)g(1) ，x1. 【答案】B 5已知函数f(x) x3ax2x1 在( ，) 上是单调函数，则实数a的取值范围是 ( ) A( ，3) 3，)B 3，3 C( ，3) (3，)D( 3，3) 【解析】f(x) 3x22ax10 在 ( ， ) 上恒成立且不恒为0，4a2120? 3a3. 【答案】B 二、填空题6函数f(x) x2sin x在(0 ，) 上的单调
16、递增区间为_. 【解析】令f(x)12cos x0，则 cos x12，又x(0，) ，解得3x0，得a21，解得a1. 【答案】( ， 1)(1 ，)8若函数y43x3bx有三个单调区间，则b的取值范围是_. 【导学号： 05410020】【解析】若函数y43x3bx有三个单调区间，则y 4x2b0 有两个不相等的实数根，所以b0. 【答案】(0 ，)三、解答题9 (2016吉林高二检测)定义在 R上的函数f(x) ax3bx2cx3同时满足以下条件：f(x) 在( ， 1) 上是增函数，在( 1,0) 上是减函数；f(x) 的导函数是偶函数；f(x) 在x0 处的切线与第一、三象限的角平分
17、线垂直求函数yf(x)的解析式【解】f(x) 3ax22bxc，因为f(x) 在( ， 1)上是增函数，在( 1,0) 上是减函数，所以f( 1)3a2bc0. 由f(x) 的导函数是偶函数，得b0，又f(x) 在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f(0) c 1，由得a13，b0，c 1，即f(x) 13x3x3. 10若函数f(x) x3mx22m25 的单调递减区间是( 9,0) ，求m的值及函数的其他单调区间【解】因为f(x) 3x22mx，所以f(x)0，即 3x22mx0. 由题意，知3x22mx0，解得x0 或x9. 故( ， 9)，(0 ，) 是函数f(x) 的单调
18、递增区间综上所述，m的值为272，函数f(x) 的单调递增区间是( ， 9) ，(0， ) 能力提升 1 已知函数yf(x) ，yg(x) 的导函数的图象如图1-3-5 所示，那么yf(x) ，yg(x)的图象可能是 ( ) 图 1-3-5【解析】由题图，知函数g(x) 为增函数，f(x) 为减函数，且都在x轴上方，所以g(x) 的图象上任一点的切线的斜率都大于0 且在增大，而f(x) 的图象上任一点的切线的斜率都大于0 且在减小又由f(x0) g(x0) ，知选 D. 【答案】D 2 设f(x) ，g(x) 是定义在 R上的恒大于0 的可导函数， 且f(x)g(x) f(x)g(x)0 ，则
19、当axf(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x) Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【解析】因为fxgxfxgxfxgxg2x. 又因为f(x)g(x) f(x)g(x)0，所以fxgx在R上为减函数又因为axfxgxfbgb，又因为f(x)0 ，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)因此选 C. 【答案】C 3(201
20、6亳州高二检测) 若函数f(x) x3x2mx1 是 R 上的单调函数，则实数m的取值范围为 _【解析】f(x) 3x22xm，由于f(x) 是 R 上的单调函数，所以f(x) 0 或f(x) 0 恒成立由于导函数的二次项系数30，所以只能有f(x) 0 恒成立法一由上述讨论可知要使f(x) 0恒成立，只需使方程3x22xm0 的判别式412m0，故m13. 经检验，当m13时，只有个别点使f(x) 0，符合题意所以实数m的取值范围是m13. 法二3x22xm0 恒成立，即m3x22x恒成立设g(x) 3x22x 3x13213，易知函数g(x) 在 R上的最大值为13，所以m13. 经检验，
21、当m13时，只有个别点使f(x) 0，符合题意所以实数m的取值范围是m13. 【答案】13，4设函数f(x)a2ln xx2ax(a0)(1) 求f(x) 的单调区间；(2) 求所有的实数a，使 e1f(x) e2对x1 ，e 恒成立【解】(1) f(x) a2ln xx2ax，其中x0，f(x) a2x2xaxa2xax，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 由于a0，f(x) 的增区间为 (0 ，a) ，减区间为 (a， ) (2) 由题意得，f(1) a1e 1，即ae，由(1) 知f(x) 在1 ，e 上单调递增，要使 e1f(x) e2对x1 ，e 恒成立，只要f1a1e 1，fea2e2aee2，解得ae. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -