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1、 2019-2020学年江苏省苏州市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知全集 U = 1,2,3,4, 集合 A = 1,3, 则C A =（）UA1,3B2,4C1,2D3,4【答案】B【解析】直接进行补集运算即可.【详解】 C A = 2,4因为 U = 1,2,3,4, A = 1,3,所以.U故选:B【点睛】本题考查集合的补集运算,属于基础题.1f (x) =2函数的定义域为（）4- xA(,4)【答案】AB(,4C(4,+)D4,+)【解析】根据分式中分母不为零,偶次根式被开方数是非负数列出不等式即可得解.【详解】1f (x) =(-,4),4- x 0,解得 x 4 ,所以函数因
2、为的定义域为4- x故选:A【点睛】本题考查函数定义域的求解,属于基础题.( )a = 3 ,b = log 0.8,c = 0.83已知3 ，则 a,b,c 的大小关系为 （）0.83Ac a b【答案】DBb a cCcba Dbca【解析】比较 a,b,c 与中间量 0,1 的大小关系,即可得到 a,b,c 的大小关系.【详解】b = log 0.8 log 1 = 0 0 c (0.8)3 1 = 3 =1,0.8033所以b c 02 211B3-3D - 3AC3【答案】B【解析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果.【详解】111 f= log =
3、-1, f (-1) = ,因为 2 2 23 1 1f f= f (-1)= .所以 23 故选:B【点睛】本题考查求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式,从内到外依次求值,属于基础题.6在 ABC 中， 3 tan A + 3 tan B + 1 = tan Atan B ，则角 的度数为（）C第 2 页 共 14 页 A30B60C120D150【答案】A【解析】把已知等式变形后,根据三角函数诱导公式得tanC = - tan(A+ B),再由两角和的正切公式即可得解.【详解】因为1- tan Atan B = - 3(tan A + tan B)
4、,tan A+ tan B3tanC = - tan(A+ B) = -=,所以1- tan Atan B 3所以C = 30故选:A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式,两角和的正切公式,属于基础题.7如图，四边形 ABCD 中，AB DC= 2 ，E 为线段 AC 上的一点，若3DE = l AB - AD ，则实数 l 的值等于 （）51515225-DABC5【答案】AA, E,Cm三点共线,设 AE=AC ,用,AB AD作基底表示出,利用平面向DE【解析】由量的基本定理列方程组,解方程组求得l 的值.【详解】A, E,Cm三点共线,设 AE=,AC因为DE = DA + AE = m
5、 AC - AD1m()m()= AD + DC - AD = AD + AB - AD21= (m -1)AD +mAB2第 3 页 共 14 页 3= AB - AD,因为 DEl51m l=22515m,l=,解得.所以35m 1- = -故选:A【点睛】本题考查平面向量的线性运算,考查几何图形中的向量运算,还考查了平面向量的基本定理,属于基础题.( )= f x8如果函数 y成立，则称函数分函数”，则非零实数 a 的最大值是 （在其定义域内存在实数 ，使得 f(k ) = f(k)f( )(k 为常数)x x x000( )ay = f x(x) =为“对 k 的可拆分函数”. 若 f
6、为“对 2 的可拆2 +1x）3232( )( )525( 2 -1)( 2 +1)ABC2 -1D2 +12【答案】D(2 ) -52 + a -5 = 0【解析】据题意列出方程化简,得出 x 与a 的关系式a,令2xx000t = 2 0 得x02 - 5 + - 5 = 0 ,由此方程有正数解求得a 的范围.t aat【详解】a(x) =因为 f是“对 2 的可拆分函数”,2 +1xf (2x ) = f (2) f (x ) ,所以在定义域内存在实数 x 使得000aaa=所以在实数域内有解,2 +1 4 +1 2 +12xx00(2 ) -52 + a -5 = 0 a 0),化简得
7、 a2(xx00= 2 0 , at2 -5t + a -5 = 0令t有正数解,x0D = 25- 4 ( -5) 0a a5552t + t = 05 01 2故选:D第 4 页 共 14 页 【点睛】本题考查含指数的方程的求解,韦达定理,属于中档题.二、多选题9已知集合 A = x | ax 2,B =2, 2 , 若 B A，则实数 a 的值可能是（）A1B1C2D2【答案】ABC A 2,列出不等式组即可求得a 的取值范围.【解析】由 B得到 2, 2 满足ax【详解】2 A, 2 A,因为 ,所以B A2a 2,解得a1.2a 2故选:ABC【点睛】本题考查子集的概念,属于基础题.
8、10下列函数中既是定义域上的偶函数，又是 (0,+) 上的增函数为 （）1y =23ABCy = |lnx|D = x |y ey = xx【答案】BD【解析】【详解】11y = 定义域为(-,0) (0,+),是定义域上的偶函数,当 x(0,+)函数时,y=xx为减函数,故不合题意;2(0,+)23函数函数;函数,定义域为 R ,是定义域上的偶函数, 当 x2时,为增y = x =xy = x33y = ln x 定义域为(0, +)不关于原点对称 不是定义域上的偶函数,不合题意,;x(0,+)= ex 定义域为 R ,是定义域上的偶函数 当,时 y ex为增函数.,=函数 y故选:BD【点
9、睛】本题考查函数的奇偶性,考查基本初等函数的单调性,属于基础题.第 5 页 共 14 页 = (-1,2) e = (2,1)a = e + el ll l 0，则可使 成立11已知向量e，若向量12121 12 2的 可能是 （a）A(1,0)B(0,1)C(1,0)D(0,1)【答案】ACl ,ll ,l l l,逐项判断【解析】用表示出向量 的坐标,利用平面向量基本定理求出a12121 2是否满足题意.【详解】l l =( l 2l ,2l l )a = e + e - +1 12 21212l 2l 1- +=1525l,l=l l 0(0,1) =,12,解得,不满足题意;则2l +
10、 l =155121 212因为向量(-1,0) 与向量(1,0) 共线,所以向量(-1,0)也满足题意.故选:AC【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,属于基础题.p 1,p p,12已知函数 f(x) = sin(x+)( 0)的图象经过点 ，且在区间 上单调，3 212 6则 , 可能的取值为 （）pp5pp-A = 2, =B = 2, =C = 6, =D = 6, =6266【答案】BC【解析】p 1,w j,将各选项代入解析式,逐项判断是否过点 ,再计算出正弦函数的单调区间,3 2p p( , )12 6判断函数在区间【详解】上是否单调,即可得解.p2p ppp 1,图像不过点
11、p6( ) = sin(- ) = sin =13 6(x) = sin(2x - )对于 A, f合题意;, f ,不323 2第 6 页 共 14 页 pp2p pp 1p 1,图像过点(x) = sin(2x - ) f ( ) = sin( - ) = sin =对于 B, f, ,233 26 23 2pppp2x - - + 2kp, + 2kp (k Z)x kp, + kp (k Z )令,解得,2222pp p( , )12 6(x) = sin(2x - )所以 f在区间上单调递增;2pppp 1p 1,(x) = sin(6x + ) f ( ) = sin(2p + )
12、 = sin =对于 C, f,图像过点 ,6366 23 2pppp 1p 16x + - + 2kp, + 2kp (k Z)x - + kp, + kp (k Z)令,解得,6229 318 3p p3pp 14p 1+ k6x + 2kp,+ k2 p (k Z)x + k18 3p,p (k Z)令,解得,62218 3pp p( , )12 6(x) = sin(6x + )所以 f在区间上单调递减;65pp5p5p 1=p 1,图像过点f (x) = sin(6x + ) f ( ) = sin(2p + ) = sin对于 D, ,6366 23 25ppp6x + - + 2
13、kp, + 2kp (k Z)令,解得6222p 1p 1p (p,+ k - + k)x -k Z ,9 3 18 3p 5pk =1,x ,当9 185p(x) = sin(6x + )p p( , )12 6所以 f在区间上不是单调函数,不合题意.6故选:BC【点睛】本题考查正弦型函数的单调性,属于基础题.三、填空题13已知 A(2,3),B(8,3)，若【答案】(6,1)2，则点 C 的坐标为_.AC = CB【解析】设C(x, y)的坐标,根据,求出,AC CBAC= 2CB 列出方程组,即可求出点 的C坐标.第 7 页 共 14 页 【详解】设C(x, y),则 AC= ( - 2
14、, + 3),xyCBx y= (8- ,3 - ) , -2 = 2(8- x)xx = 6, y =1.,解得因为= 2CB ,所以 ACy + 3 = 2(3- y)故答案为:(6,1)【点睛】本题考查平面向量基本定理及坐标表示,属于基础题.(x) = x + 2 -1014函数 f【答案】2的零点所在区间为 ( , +1), ，则 = _.n nxnZn【解析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.【详解】(2) = 2 + 4 -10 = -7 0因为 f,f (2) f (3) 0 ,所以(x) = x + 2 -10= 2.由函数零点存在定理知函数 f
15、在区间(2,3)上有零点,所以 nx故答案为:2【点睛】本题考查函数零点的判定定理的应用,属于基础题.515已知 (0,),sin+cos=，则 tan = _.39 + 65-【答案】4133【解析】利用同角三角函数间的基本关系可求得sina -cosa =,从而求得sina,cos a,由三角函数商的关系求得答案.【详解】595,两边平方得:1+ 2sin a cosa =,因为sina + cosa =34psin 2 = - 0,cosa 0 ( 2)(28 3) 0解得-x - x + xf x, x,令2x224 - 10, 2),(24 + 10(x) 在区间(,+)上单调递增,
16、在区间所以函数 f24 - 104 + 10(-,),(2,)上单调递减,224 - 104 + 109f (x) = f () = f () = - -12 10min224第 9 页 共 14 页 9- -12 10故答案为:4【点睛】本题考查函数图像的对称性,考查运用导数求函数的单调性与最值,属于难题.四、解答题17已知 A = x | (xa)(x+a2) 0,B = x | 0 x 4.(1) 若 a = 3, 求 AB；(2) 若 AB = A，求实数 a 的取值范围.【答案】(1) AB=x 0 x 3a(-,-24,+);(2)B A【解析】(1)当 a = 3 时,求出集合
17、A ,由集合的交集运算即可得解;(2)由AB = A 知,a,2 - a对的关系进行讨论并利用并集的性质列出不等式组,求出 a 的取值范围.【详解】 A = x (x -3)(x +1) 0 = x -1 x 3(1)若 a = 3,则,所以 AB=x 0 x 3;B A(2)因为 AB = A,所以,a 2- a a 1 A =x a x 2-a,若即时,a 2- aA = 若若即 a =1时,即 a 1时,不满足题意;A =x 2- a x 12 - a 0a 4,解得,a 4a(-,-24,+).综上所述,【点睛】本题考查集合交集的运算与根据并集结果求参数的取值范围,属于基础题.1314
18、17a bcosa,cos b=18已知锐角 , 满足=.(1) 求 cos( + ) 的值；(2) 求 .第 10 页 共 14 页 2398pcos(a + b) = -a - b = -;(2)【答案】(1)3cos(a + b)【解析】(1)由同角三角函数的平方关系可得sin a ,sinb的值,代入即可得解;(2)计算cos(a - b)a b-的范围,从而根据余弦值算出,由余弦函数的单调性判断a b-.【详解】13sina = 1- cos a = 1- ( ) =3 314a b(1)因为 , 为锐角,所以221414 37sin b = 1- cos b = 1- ( ) =2
19、2713 1 3 3 4 3cos(a + b) = cosa cos b -sina sin b = -14 7 142398= -;713 1 3 3 4 3 1= +14 7 14(2)cos(a - b) = cosa cos b sina sin b+=72a bcosa cos b a b, 0, 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.p(t) = -40cos t +
20、 50(0 t 30);(2)答案见解析;(3)h 的最大值为40【答案】(1) H米15(t) = Asin(wt +j) + Bj【解析】(1)设 H,根据最高点和最低点可得 A 与 B,由周期求 值,即得函数解析式;(2)高度为 30 米,代入解析式求出 ;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点t30的时间间隔为,甲,乙中间相隔 5 个座舱,则时间间隔 5 分钟,由此列出两人距离地面的36高度差 关于 的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.ht【详解】(t) = Asin(wt +j) + B(A 0,w 0, B 0)(1)由题意可设 H面的高度为 90 米,最低点距离地面 10 米
21、,摩天轮的最高点距离地A+ B =90= 40, B = 502p p,得 A.-A+ B =10w=又函数周期为 30,30 15pH(t) = 40sin( t + + (j) 500 t 30),15pp= 0H(t) =1010 40sin(= + +0 j) 50 sin = -1 jj,即 , 可取-又t时,所以,152p pp(t) = 40sin( t - ) +50 = -40cos t +50(0 t 30)所以 H15 2151pp(t) = -40cos t + 50 = 30 cos t = 5,(2) H,解得t15152所以游客甲坐上摩天轮 5 分钟后，距离地面的
22、高度恰好为 30 米;30(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为 ,游客甲,乙中间相隔 5 个座舱,36第 13 页 共 14 页 则游客乙在游客甲之后 5 分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了t (5 t 30)分钟,则游客乙在摩天轮上坐了t-5分钟,所以高度差为:pph = -40cos t + 50 -40cos (t -5)+ 501515pp1p3 pcos t2 15= -40cos t -cos (t -5) = -40 cos t -1515215p p= -40cos( t + )15 3p pp=1040+ =当 t即t时, 取得最大值.h15 3【点睛】本题考查利用
23、三角函数的性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答.第 14 页 共 14 页(1) 经过 t 分钟后游客甲距离地面的高度为 H 米，已知 H 关于 t 的函数关系式满足H(t)=Asin(t+)+B 其中 A0, 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为
24、h 米，求 h 的最大值.p(t) = -40cos t + 50(0 t 30);(2)答案见解析;(3)h 的最大值为40【答案】(1) H米15(t) = Asin(wt +j) + Bj【解析】(1)设 H,根据最高点和最低点可得 A 与 B,由周期求 值,即得函数解析式;(2)高度为 30 米,代入解析式求出 ;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点t30的时间间隔为,甲,乙中间相隔 5 个座舱,则时间间隔 5 分钟,由此列出两人距离地面的36高度差 关于 的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.ht【详解】(t) = Asin(wt +j) + B(A 0,w 0, B 0)(1)
25、由题意可设 H面的高度为 90 米,最低点距离地面 10 米,摩天轮的最高点距离地A+ B =90= 40, B = 502p p,得 A.-A+ B =10w=又函数周期为 30,30 15pH(t) = 40sin( t + + (j) 500 t 30),15pp= 0H(t) =1010 40sin(= + +0 j) 50 sin = -1 jj,即 , 可取-又t时,所以,152p pp(t) = 40sin( t - ) +50 = -40cos t +50(0 t 30)所以 H15 2151pp(t) = -40cos t + 50 = 30 cos t = 5,(2) H,
26、解得t15152所以游客甲坐上摩天轮 5 分钟后，距离地面的高度恰好为 30 米;30(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为 ,游客甲,乙中间相隔 5 个座舱,36第 13 页 共 14 页 则游客乙在游客甲之后 5 分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了t (5 t 30)分钟,则游客乙在摩天轮上坐了t-5分钟,所以高度差为:pph = -40cos t + 50 -40cos (t -5)+ 501515pp1p3 pcos t2 15= -40cos t -cos (t -5) = -40 cos t -1515215p p= -40cos( t + )15 3p pp=1040+ =当 t即t时, 取得最大值.h15 3【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答.第 14 页 共 14 页