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1、 全区第十届教育教学研究参评论文学 科 教 学 研 究 类数形结合思想在初中数学教学中渗透内容提要：数形结合思想是初中课本中的基本的数学思想，在初中数学教学和解题中起着十分重要的角色。本文结合了本人的一些教学体会，讲述分析了如何充分的利用数形结合思想在教学中的运用以及去解常见数学题目，本文主要分为三个部分来分析：数转化为形，形转化为数，数形结合。使学生充分认识“数”和“形”之间的内在联系，把问题化繁为简，化难为易，使学生在学习数学知识中，充分了解和掌握数形结合这种解决问题的策略和方法。关键字：数形结合，思想，解题数形结合思想，就是根据数与形之间的一一对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的
2、几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径的思想。1在初中教学中经常用到数形结合思想。如有理数内容体现着数形结合思想。数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的一个重要方面。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助七年级学生正
3、确理解有理数的性质及其运算法则。又如应用题内容隐含着数形结合思想。列方程解应用题的难点是如何根据 题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，北师大版七年级数学上册的第五章第七节课题是“能追上小明吗”，是一个研究行程问题的课题，教学中，老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助七年级学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。再如不等式内容蕴藏着数形结合思想。北师大版八年级数学下册第一章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深八年级学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在
4、数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，也让学生理解的更深刻。函数及其图象内容凸显了数形结合思想。由于在直角坐标系中，有序实数对（x ，y）与点 P 的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收
5、到事半功倍的效果。如果说上述的例子是初中代数的内容体现了数形结合思想，那么初中几何教学中也离不开数形结合思想。如比较两条线段（或两个角）的大小，我们常用的方法是重叠法和度量法，重叠法是几何方法，顾名思义将两条线段（或两个角）放在一起比较长短（大小），度量法是代数方法，即用刻度尺（量角器）测量两条线段的长度（两个角的大小）。体现了数形结合思想。 又如勾股定理蕴藏着数形结合思想。学生在学习勾股定理的内容时，书本上给出了勾股定理的无字证明，即移动几块图形就能很直观地证明出勾股定理的（c 为斜边）这个数量关系成立。2a + b = c22下面我们来谈谈如何充分利用数和形的关系去解决常见数学问题。一、运
6、用图形的直观解决数量关系由于数和形是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而形具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把数的对应形找出来，利用图形来解决问题。例 1、分解因式：a - b22这个分解因式的题目非常简单，是同学们非常熟悉的公式平方差公式：，有时也就是直接用这个公式来套用进行分解因式的。但是a - b = (a + b)(a - b)22有不少学生却不能理解是从整式乘法公式这个公式？有些同学虽说理解，但也的逆用来理解的，相当于死记硬背来，我们可以从几何图形出发来理解。a - b = (a + b)(a - b)22(a + b)(a -
7、b) = a - b22掌握的。理解平方差公式a - b = (a + b)(a - b)22aa如左图，在边长为 a 的正方形纸板中剪去一个边长为 b 的小正方形后，剩余图形的面积是( - )，把左图的剪下小正方形后的剩余图形拼在一起，得到a b22右图，是一个长方形，其长为(a+b），宽为(a-b),面积为(a+b)(a-b),所以可以 得到a - b = (a + b)(a - b) 。22其实除了理解平方差公式的意义可以用几何图形面积来帮助分析外，还有完全平方公式等其它的整式乘法公式或分解因式公式，可以用几何图形面积来帮助理解其意义。2例 2、方程A 、 3的正根的个数为（）。- x
8、+ 5x + 2 =2xB 、 2C 、1D、0分析：直接化分式方程为y整式方程，确定方程根的个数，是十分困难的事，结合问题特征，要将“数”转达化成“形”去研究。X0解：把方程化为抛物线2y=与双曲线 y = ，分别画出草图，- x + 5x + 2212x在 x0 的范围内，两函数图象有两个交点。通过这种“数”与“形”的转化，使本来很难解的题目，变得解起来得心应手了。解此类题目，主要是我们是否能够把代数问题转化为几何问题，把握得很好。也就是说，这些代数问题怎样转化到几何性质问题上来，才是解题的关键。二、利用数量关系揭示几何图形的性质虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，
9、特别对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正 确表示成“数”的形式，进行分析计算。例 3、等腰三角形的面积为 2，腰长为 ，底角为 ，求 。tan a5a分析：本题是斜三角形问题，因此要作高化斜三角形为解直角三角形。但是本题又没有给出三角形的形状，所以在画高时就要考虑高在三角形内、三角形上和三角形外三种情况，这是一种解题方法，但非常麻烦，我们可以考虑用数形结合的思想来解决本题，用数学中的方程或方程组来解。解： 过 A 点作 ADBC 于 D，如右图ABC 是等腰三角形，面积为 2，腰长为5ABD=D
10、C设 BD=x，AD=y在 RtABD 中，x + y = ( 5)2221在ABC 中， 2x y = 22BDCx + y = 5由 、得：22xy = 2+ y = 3或xy = 2x + y = -3xy = 2该方程组可化为如下两个方程组： x = 1 = 2 = -1 = -2x1xxx分别解之得：234y = 2 y = 1 y = -2 y = -11234BD、AD 均为正数 =1 = 2x1x取2y = 2 y =112y 1= 或2atanx 2本题应用了数形结合思想，“形题数解”往往可以使求解思路新颖，而且几何中的多解问题可以转化为方程或方程组的多解问题。例 4、用黑白
11、两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律，拼成若干个图案： （1）第四个图案中有白色地砖块；（2）第 n 个图案中有白色地砖块。分析：本题是借助于图形中的数量关系来解决问题,第一个图案中有白色地砖 6 块，第二个图案中有白色地砖 10 块，第三个图案中有白色地砖 14 块，根据前面的分析，很快就能判断出第四个图案中有白色地砖 18 块，并且每个图案比前一个图案增加 4 个白色地砖，所以第 n 个图案中有白色地砖 4n+2 块。第一个第二个第三个北师大版七年级数学上册第三章“字母表示数”，本章的不少小节的内容是探索几何图形（或几何图案）的数量关系，教学中，老师指导学生会用代数式表示几何图形（或几何图
12、案）的数量关系，老师若注重了数形结合思想方法的渗透，会使学生很快领悟几何图形（或几何图案）的规律，从而找出其中的数量关系。三、将数量关系和图形的性质，在解题中串连结合使用就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭示隐含的数量关系。 数形结合的基本思想方法，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。不久前在给学生中考复习过程中，遇到了这样的一
13、个题目：1 1 11例 5、在一次数学活动中，小明为了求的值，他设计了如+ + +L+2 4 82n1 1 1下图边长为 1 的正方形纸片，并用不同的标记标出了正方形面积的 ， ， ，2 4 81 1 11请你根据掌握的数形结合的思想，推出当 n 为正整数时，果。（用 n 表示）2的结+ + +L+2 4 82n1 1 11分析：为了求出如果直接去求出的值，+ + +L+2 4 82n对于初中的学生来说还是非常难的，我们可以考虑用数形结合思想来解决。我们可以这样理解，用剪刀去剪这个正方形纸片，第一次剪去正方形纸片的一1半，正方形剩余面积是 ，第二次2剪去剩余图形的一半，得到的181161图形面
14、积是 ，第三次剪去第4二次剪剩的图形的一半，得到141的图形面积是 ，即每次剪去81( )n2前一次剩余图形面积的一半，那么当第n次剪后得到的图形面积是，把1 1 111每次剪下来的图形面积相加，即得到1-+ + +L+2 4 82n2n总而言之，“数无形不直观，形无数难入微” 。见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题。因此数形结合思想在初中数学教学中起着举足轻重的作用。参考文献 1 沈文选； 中学数学思想方法；湖南师范大学出版社；1999.5安徽教育出版社； 2008.22 2008 安徽省中考经典头名卷数学；1 沈文选； 中学数学思想方法；湖南师范大学出版社；1999.5安徽教育出版社； 2008.22 2008 安徽省中考经典头名卷数学；1 沈文选； 中学数学思想方法；湖南师范大学出版社；1999.5安徽教育出版社； 2008.22 2008 安徽省中考经典头名卷数学；