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1、论数形结合思想在小学数学教学中的渗透 摘 要：“数”和“形”是数学中的两个重基本的概念。“数”辅助“形”可以将“形”形象化；“形”辅助“数”可以使“数”直观化。本文通过一些教学案例从“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合运用”四方面，探究小学数学教学中数形结合思想的有效渗透。 关键词：数形结合；思想方法；渗透；小学数学 Abstract：The number and form are important basic concept in mathematics. The form can become figurative with the help of number.T
2、he number can become intuitive with the help of form . This article explores the effective permeability of several form combining ideas in elementary school mathematics teaching through some teaching case from number and the algebra , space and shape,statistics and probability and practice and compr
3、ehensive use . Key words：Numeral form combination；method；penetration；elementary school mathematics 数学是研究数量、结构、变化、以及空间模型等概念的一门学科。“数”和“形”是数学中的两个重基本的概念。数使形“量化”（比如长度、面积就是对形的量化）或抽象化（例如用坐标来表示点的位置），形使数形象化（例如用数轴上的长度表示数的大小）。数学思想方法有许多，数形结合思想就是其中一种。数形结合思想方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，
4、相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。 著名数学家华罗庚先生说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”它简明扼要的说明数形结合的重要性。数学课程标准中也明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”心理学研究表明，小学生思维正处于具体形象思维为主，并逐步走向逻辑思维为主要形式过渡；由具体运算为主，逐步向形式运算为主过渡的时期。所以小学生对数学的认识，并不是首先进行逻辑推理判断，而是首先靠整体表象进行判断。在数学教学中教师应该尽可能的提
5、供使用具体实物直观、模像直观设法使抽象的数学概念变得让学生更容易理解和掌握。日本数学史家米山国藏说过：不管他们（指学生）从事什么业务工作，即使把所交给的知识（概念，定理，法则和公式等）全忘了，唯有铭刻在他们心中的数学精神，思想，方法都随时随地地发生作用，使他们终身受益。小学阶段是人启蒙时期，在这一阶段如果教师在教学活动中有意识的渗透数形结合思想将对学生的一生都有所帮助。 长期以来，数学教学中教师们常常因为对知识传授的重视而忽视了数学思想方法的渗透，这就会容易造成学生知其然不知其所以然，学生对知识的掌握也不牢固，同时还会导致小学生数学素养的水平降低。那么如何避免忽视数形结合思想方法的渗透的现象出
6、现呢？本文通过一些教学案例来具体阐述数形结合思想在小学数学教学中的渗透。 一、数形结合思想在“数与代数”知识领域中的渗透 数学课程标准中“数与代数”领域包含有数的认识、数的运算、常见的量、式与方程以及探索规律等内容。“数形结合思想”包含“以形助数”和“以数辅形”两方面，在小学数学“数与代数”领域教学中，用得最多的是前者，数形结合思想渗透在“数与代数”领域中的每一内容。 （一） 数的认识方面 在“数与代数”领域的“数的认识”中利用数形结合思想，例如在教学1000以内数的认识这节课教学中利用小正方体贯穿整个教学过程。一开始借助小正方体数数，经历数数，感受到不同的情况下可以采取不同的数数方法，同时直
7、观感受一十，一百，一千的表象，知道一十是1列，一百拼成1片，一千成了1个大正方体，为进一步理解1000以内数的组成打下基础，同时认识计数单位百、千，并感悟到10个一是一十，10个十是一百，10个百是一千的十进关系。然后借助小正方体理解1000以内的数的组成。通过小正方体不同的“形”表示1个一、1个十、1个百，使学生对1000以内数的组成形成表象，不再像以前一再用语言强调一个数有几个百，几个十，几个一组成的，而是通过小正方体的“形”让学生自己感悟到，数和形结合，使学生真正理解1000以内数的组成。 以“形”助“数”，“形”的广义性以及儿童数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需
8、要“形”的支撑。教学时要向学生提供大量的“形”的材料。如在数小棒，大多边形中认识整数，在等分图形中认识分数、小数等等这些都要利用数形结合思想。 （二） 数的运算方面 “数的运算”在整个小学阶段的学习内容占有相当大的比重。正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使计算教学更加科学有效。“数形结合”是解决计算教学的有效策略。例如五年级学生在刚认识了简单的分数及会比较简单分数的大小的基础上学习同分母分数加减法，教材结合小熊吃西瓜的情境，利用直观的图形，让学生逐步理解同分母分数加减法的算理，最终达到摆脱对直观图形的依赖而直接进行同分母分数加减法的运算。 （三） 常见的量的方面
9、现实生活中，数与形和量与计量总是密切联系着的，学习数学必然要涉及量与计量。在教学体积单位时内容比较抽象学生不容易理解，可以让学生提前多收集实物，课上利用多媒体课件和教具让学生充分了解1立方厘米、1立方分米、1立方米，并让学生自己动手比一比。这样通过“形”使抽象的内容具体化学生也容易接受。在教学24时计时法的教学中可以利用钟表上的刻度，1个大格代表1小时，24时就是钟面上的时针走了2圈，同时形象的理解了0和24时在同一个点上，让具体的“形”与抽象的数相辅相成。 在利用实物进行教学时，教师要特别注意数与形的有机结合，教师除了提供充分的形象感性材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上，引导学生分
10、析和比较，及时抽象出概念的本质属性，使学生在主动参与中完成概念的建构。 （四） 式与方程面 在认识方程的教学中一开始上课，就直接通过天平演示，使学生利用平衡这一认知基础去认识等式，理解等式的实际意义，并在此基础上通过操作、演示，让学生用含有未知数的式子表示天平平衡关系，从而认识了含有未知数的等式。再出示篮球图，学生在观察图的基础上，充分利用已有知识，自主用含有未知数的等式表示篮球个数、单价、总价间的关系，有效地丰富了学生对含有未知数的等式的认识和理解。通过对等式的比较，让学生自主概括出方程的含义，以完成对解简易方程的过程的理解和运用。使学生的思维经历由形导数，由数想形，数形结合推导出解方程的方
11、法和过程。 (五） 探索规律方面 探索规律就是发现给定的事物中隐含的简单规律。如学习“植树问题”时，先预设与学生们一起玩手指游戏。即出示两个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔。”接着出示三个手指，让学生观察，有几个手指几个间隔？“三个手指两个间隔。”从而得出手指数和间隔数之间的关系是：手指数间隔数1。情境引入后，出示例题：“同学们要在长30米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端也要种。一共需要多少棵树苗？”然后让学生分组讨论，根据自己的理解列式解答，并设法验证。验证出：在两端都种的情况下，植树的总棵数间隔数1。 先猜想解答，再通过画图验证，这样的数学活动，体现了数形结合的
12、思想，彰显了数学学习的价值，学生的思维水平得到了提升。 标准理念指导下的数与代数，将能够发展学生的数感、符号感、估算意识以及把现实问题数学化的能力，并使之逐渐形成理性的力量。字符表示的思想，深刻地揭示和指明存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。代数式、表格、图像等多种表示手段，不仅为数学表示和交流提供了有效的途径，而且为解决问题提供了重要的工具。总之，数形结合思想贯穿在“数与代数”的每个角落里都有渗透。 二、数形结合思想在“空间与图形”知识领域中的渗透 数学课程标准中“空间与图形”领域包含有图形的认识、测量、图形与变换以及图形与位置等方面的内容。在平时教学中，教师应重
13、视学生空间观念的培养，多提供现实世界中的物体和展示几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，让学生掌握相应的基础知识和基本技能，学会解决实际问题，丰富对现实空间及图形的认识。数形结合帮助小学生建立起初步的几何知识体系，发展空间观念，通过代数方法研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想，为今后的数学学习打下坚实的基础。 （一） 在图形的认识中渗透 在教学人教版五年级下册长方体的认识一课中，在认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征，学生通过小组合作，找出长方体的特征：6个面，12条棱，8个顶点。6个面中有两个相对的面是
14、相等的（如右图）（当有2个相对的面是正方形时，也会有4个面相等），12条棱中有4条相对的棱相等（如下图）（当有2个相对的面是正方形时，有8条棱相等），学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、柱子的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉有5个面，少了上面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加上底面积等；而柱子只有4个面，求粉刷柱子的表面积，则只需要求前后左右4个面就可以了，避免了犯不必要的错误。通过鼓励学生仔细观察几个数字和长方体特征之间的关系，从具体的事物中抽象
15、“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，让学生体会数字所包含的图形特征，再借助“数”的运算解决有关几何问题（如求几何体的表面积、总棱长、积等）。这样，让学生们在“见形”过程中有目的去“思数”，在“思数”的过程中利用“数”来解释“形”，这样既训练了学生的思维能力，又会收到更好的效果。学生一看到6、12、8等数字时，马上能联系到长方体各个特征，在脑子中建立起长方体的模型，像这样有的放矢的在一定时间里重点渗透数形结合的数学思想方法，既可以培养学生在以后的学习中逐渐形成一定的数感，同时在渗透数学思想的过程中，让学生感悟“数形结合”思想的好处。 （二） 在测量中渗透 在三年级下册长方形的面积公式推导
16、中，通过让学生用1平方厘米的小正方形摆放长方形面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几排，抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。在长方体体积公式推导中，也同样运用数与形的有机结合，通过学生用1立方厘米的小正方体摆放长方体的体积，得出长是几厘米就是一排摆几个，宽有几厘米就能摆几排，高有几厘米就是能摆放几层，进而逐步抽象概括出“长方体的体积=长X宽X高。” （三） 在图形与变换中渗透 学五年级下册在图形的变换单元中，讲到旋转的时候，我们可以运用坐标，既帮助学生理解，又让他们初步感受坐标的作用。例如:把平行四边形绕A点顺时针旋转90。对于一部分学生顺时针转到哪个方向都不是很清楚，要转90那问
17、题就更大了，有些学生画出来的结果和原图是一样的。为了避免学生出现这样的情况，我们可以引入“坐标”，以点A为原点建立简易“坐标系”，这个时候学生旋转90就一定不会出现像原图的现象。这样做不仅让学生更清楚平行四边形旋转90之后只能在与它现在所在的区间相邻的两个区间，而且让学生初步认识了坐标把平面分成了四个区域，即中学说的四个象限。 数学教学的目的是让学生养成数学品质，而体现它的手段是生活中能用数学，这就要求我们提高他们对数学的理解能力，数形结合不仅可以提高学生的理解能力，对他们如何用数学也起到示范的作用。 （四） 在图形与位置中渗透 教学“认识物体的相对位置”时，当学生对两个或几个物体位置关系比较
18、清晰时，可以在安排学生说说物体的相对位置关系时渗透数概念。除了学生正确描述物体的相对位置外，还可以把数的一些概念结合起来。通过观察两个物体的位置关系后，让学生说说“谁在谁的哪面”，再让学生说说“谁在谁的哪面第几个”，“谁的哪面有几个物体”等。这样，学生在说的过程中，可以进一步理解数的有序性概念。当然，也可以用数对来表示物体的相对位置。在教学用数对表示物体的位置关系时，教师让学生清楚地知道自己坐在班级的哪个位置，再让学生明白自己的的位置在班级位置关系中可以用数对来表示。例如：小明坐在教室的第4行、第2列，用（2、4）表示。学生理解这一表示方法，再让学生说说自己的位置可以用哪个数对来表示。这时，学
19、生必须在头脑中想象出自己在班级中的位置关系图像，才能准确地用数对来表示。学生要想用数对表示出自己在班级的相对位置，就必须在头脑中形成初步的平面坐标图像，而这种坐标图像，恰恰是学生后续发展的基础，也是学生逐步发展空间想象力，发展空间观念的基础。 三、数形结合思想在“统计与概率”领域中的渗透 数学课程标准中“统计与概率”领域包含有数据统计活动以及可能性等方面的内容。“统计与概率”在课程标准中占据重要位置，课程标准中“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性大小的刻画，来帮助学生做出合理的推断和预测。在“统计与概率”（ 1-6
20、 年级）学段的学习中，充分体现了数形结合思想。譬如，在第一学段（ 1-3 年级）就出现了象形统计图、条形统计图及相应的图表。在第二学段（ 4-6 年级）则进一步引入了折线统计图、扇形统计图及相应的图表。图表能够直观、形象地展示丰富的信息，有助于“统计与概率”学习中形象思维的展开。 条形统计图、折线统计图、扇形统计图，这些都是概率与统计领域里的重要知识。通过观察图形获得信息本身就一种数形结合。 条形统计图：条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。它的作用能从条形统计图中很容易看出各种数量的多少。拆线统计图：折线统计图是用一
21、个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。它的作用是不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数。它的作用可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系。 四、数形结合思想在“实践与综合应用”领域中的渗透 在标准中，“实践与综合应用”的总要求是：帮助学生综合运用已有的知识经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的，具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部
22、分内容之间的联系。 例如某班要去当地三个景点游览，实践为8：0016：:0。请你设计一个游览计划，包括时间安排、费用、路线等。学生在解决这个问题的过程中，将从事以下活动： 了解相关信息，包括景点之间的路线图及乘车所需时间、车型与租车费用、同学喜爱的食品和游览时需要的物品等；借助数、图形、统计图表等表述有关信息；计算乘车所需要的总时间、每个景点的游览时间、所需要的总费用、每个同学需要交纳的费用等；分小组设计游览计划，并进行交流。 通过借助数形结合思想解决这个问题，学生可以提高收集、整理信息的能力，养成与人合作的意识。 再例如，人教版五年级下册教学“打电话”。 师：让我们来看看统计的打电话的情况吧
23、，你们发现了什么？ 时间/分钟 通话的人数/人 通知的人数/人 1 2 1 2 4 3 3 8 7 4 16 15 5 （猜一猜25） （猜一猜25-1） n (发现规律：2n) (即2n-1) 生：思考汇报。 师：现在老师要通知1023人，最少需要几分钟？先来猜一猜吧！（可能是） 如果让你求出到底用几分钟？你会怎么做？能不能还是画示意图了呢？ 生：遇到要通知的人数特别多的时候，用示意图就太麻烦了，那有没有更好的方法呢？ 师：看还有没有其他的办法来求解呢？ 引导学生发现规律： 2分钟，通话的人数4可以写成：（2 2 =22），通知的人数：22 -1； 3分钟，通话的人数8人可以写成怎样的算式？
24、（2 x 2 x2=23）通知的人数：23-1； 4分钟，通话的人数16人可以怎么写呢？（2 x 2 x2 x 2=24）通知的人数：24-1； 猜一猜5分钟，已知的总人数用算式怎样表式？ 归纳得到：n分钟，通话的人数为： 2n，通知的人数为：2n-1。 （小黑板出示2的1次方道2的10次方让同学们读并参考，解决思考题。） 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 师：通知1023人仅需要10分钟，这太神奇了，太不可思议了。 这样通过数形结合就能把打电话通知1023人的复杂的问题简单化，这就是数形结合的优势所在。 数形结
25、合思想方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。本文通过文献查阅，并结合教学实践，在小学数学“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合运用”四个内容领域里，探究在课堂教学中渗透数形结合思想的方法及有效性。 参考文献： 1 教育部全日制义务教育数学课程标准（2011版）M北京师范大学出版社，2012. 2 米山国藏.数学的精神、思想和方法M.四川：四川教育出版社，1986. 3 林景.让数学教学拥有“思想”的脊梁J.社科教育版，2010（20）. 4 刘伟.小学数学“数形结合”思想方法在教材中的渗透J.新课程（基础教育），2010 （8）. 5 王芳.统计与概率J.贵州教育，2008（3）. 6 李兆涛.打电话教学设计J.山东省济宁市泗水县高峪小学，2012. 7 夏俊生.数学思想方法与小学数学教学M.江苏：河海大学出版社, 1998. 8 雷子东，季迅群.让“数”与“形”和谐交融J.浙江省温州市教育教学研究院， 2007. 9 陈明荣.小学数学思想方法渗透的实践与思考J.数学月刊，2005（9）. 10 刘爱众.在小学数学教学中渗透数形结合思想J.数学教学与研究，2011（9）.