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1、课时素养评价十五基本初等函数的导数 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列命题正确的是()A.(logax)=B.(logax)=C.(3x)=3xln 3D.(ln x)=【解析】选CD.根据基本初等函数导数公式知,(logax)=,(3x)=3xln 3,(ln x)=.所以A,B均不正确,C,D正确.2.(2020阜阳高二检测)已知f(x)=,则f(8)等于()A.0B.2C.D.-1【解析】选C.f(x)=,得f(x)=,所以f(8)=.3.已知f(x)=xa,若f(-1)=-4,则a的值等于(
2、)A.4B.-4C.5D.-5【解析】选A.f(x)=axa-1,f(-1)=a(-1)a-1=-4.当a=4时,a-1=3,则f(-1)=-4成立.当a=-4时,f(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.4.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为()A.B.-C.-eD.e【解析】选D.因为y=(ex)=ex,设切点坐标为(x0,y0),所以k=,得x0=1,所以k=e.二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=,则f(x)=_,f=_.【解析】因为f(x)=,所以f(x)=.f=.答案:6.曲线y=cos x在x=处的切线方程为_.【解析】因为
3、cos=0,即求曲线y=cos x在点处的切线方程,y=-sin x,当x=时,y=-1.所以切线方程为y=-1,即x+y-=0.答案:x+y-=0三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知点P在曲线y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.(1)求a的值.(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.【解析】(1)因为P在曲线y=cos x上,所以a=cos=.(2)因为y=-sin x,所以kl=y=-sin=-.又因为所求直线与直线l垂直,所以所求直线的斜率为-=,所以所求直线方程为y-=,即y=x-+.8.求曲线y=与y=x2在它们交点处的两曲线的切线与x轴所围成的三角形的面积.【解析】
4、联立两条曲线方程解得故交点坐标为(1,1).因为k1=-x=1=-1,k2=2xx=1=2,所以两条切线的方程分别为x+y-2=0,2x-y-1=0,与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示.因为两条切线与x轴的交点分别为(2,0),.所以三角形的面积S=1=. (15分钟30分)1.(5分)正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()A.B.0,)C.D.【解析】选A.因为y=cos x,而cos x-1,1.所以直线l的斜率的范围是-1,1,所以直线l倾斜角的范围是.2.(5分)若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实
5、数a的值是()A.4B.-4C.2D.-2【解析】选A.y=,y|x=a=x=a=,所以切线方程为y-=(x-a).令x=0,得y=,令y=0,得x=-a.由题意知S=a=2,解得a=4.3.(5分)(2020广陵高二检测)若f(x)=x3,其导数满足f(x0)=3,则x0的值为_.【解析】根据题意,若f(x)=x3,其导数f(x)=3x2,若f(x0)=3,则3=3,解得x0=1.答案:14.(5分)设f0(x)=sin x,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2 020(x)等于_.【解析】因为f0(x)=sin x,所以f1(x)=f0(
6、x)=(sin x)=cos x,f2(x)=f1(x)=(cos x)=-sin x,f3(x)=f2(x)=(-sin x)=-cos x,f4(x)=f3(x)=(-cos x)=sin x,所以4为最小正周期,所以f2 020(x)=f0(x)=sin x.答案:sin x5.(10分)求下列函数的导(函)数.(1)y=x-5;(2)y=4x;(3)y=;(4)y=sin;(5)y=cos(2-x).【解析】(1)y=(x-5)=-5x-6;(2)y=(4x)=4xln 4;(3)因为y=,所以y=;(4)因为y=sin=cos x,所以y=-sin x;(5)因为y=cos(2-x)
7、=cos x,所以y=-sin x.1.函数y=x2(x0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是_.【解析】因为函数y=x2,y=2x,所以函数y=x2(x0)在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),令y=0得ak+1=ak.又因为a1=16,所以a3=a2=a1=4,a5=a3=1,所以a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:212.已知两条曲线y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两曲线的切线互相垂直?并说明理由.【解析】不存在.理由如下:设y1=sin x,y2=cos x两条曲线的一个公共点为P(x0,y0).则两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为k1=y1=cos x0,k2=y2=-sin x0,若使两条切线互相垂直,必须有cos x0(-sin x0)=-1,即sin x0cos x0=1,即sin 2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两曲线的切线互相垂直.