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1、第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系11.4.2平面与平面垂直课后篇巩固提升基础达标练1.设平面平面,且=l,直线a,直线b,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行答案B解析若al,bl,则ab.假设ab,在平面内,过a上一点P作PMl于点M,则PM,所以PMb.又ba,所以b,得bl,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.2.如果直线l,m与平面,满足l=,l,m,m,那么必有()A.和lmB.和mC.m和lmD.和答案A解析由m,l,可得ml.由m,m,可得.3.下列说法正
2、确的是()过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.A.B.C.D.答案D解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以不对;若,a,则a或a,所以不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以也不对.正确.4.(2020山西高二月考)已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为圆柱下底面圆周上一点,且
3、AD圆柱的底面,则必有()A.平面ABC平面BCDB.平面BCD平面ACDC.平面ABD平面ACDD.平面BCD平面ABD答案B解析因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以ACBC.又AD圆柱的底面,所以ADBC.因为ACAD=A,所以BC平面ACD.又BC平面BCD,所以平面BCD平面ACD.5.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,点P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为()A.53B.52C.35D.25答案B解析三个平面两两垂直,可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体,OP即为该长方体的体对角线,OP=32+42+52=50=52.6.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知在矩形
4、ABCD中,AB=2BC=4,E为AB的中点,沿着DE将ADE翻折到PDE,使平面PDE平面EBCD,则PC的长为()A.23B.22C.4D.6答案A解析如图,画出矩形ABCD沿着DE折叠后的几何图形,因为四边形ABCD是矩形,AB=2BC=4,E为AB的中点,所以DE=DA2+AE2=22,EC=EB2+BC2=22.因为DE2+CE2=DC2,所以CEDE.因为平面PDE平面EBCD,平面PDE平面EBCD=DE,所以CE平面PDE,所以CEPE.因为PE就是AE,AE=12AB=2,所以PE=2,PC=PE2+EC2=23.7.下列说法:两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线a,b
5、分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()A.B.C.D.答案B解析对,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对,因为所作射线不垂直于棱,所以是错误的;是正确的.故选B.8.已知平面,和直线m,给出条件:m;m;m;.(1)当满足条件时,有m;(2)当满足条件时,有m.(填序号).答案9.设和为不重合的两个平
6、面,给出下列命题:若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直.上面命题中,真命题的序号是(填序号).答案解析由面面平行的判定定理可得,该命题正确.由线面平行的判定定理可得,该命题正确.如图(举反例),a,=l,al,但与不垂直.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,则二面角C1-BD-C的大小为.答案30解析连接AC交BD于点O,连接C1O,C1D=C1B,O为BD中点,C1OBD,ACBD,C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在RtC1CO中,C1
7、C=2,可以计算C1O=22,sinC1OC=C1CC1O=12,C1OC=30.11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AD,AB的中点.(1)求证:EF平面CB1D1;(2)求证:平面CAA1C1平面CB1D1.证明(1)连接BD.在正方体AC1中,对角线BDB1D1.又E,F为棱AD,AB的中点,EFBD.EFB1D1.又B1D1平面CB1D1,EF平面CB1D1,EF平面CB1D1.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1,AA1B1D1.又在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1,AA1A1C1
8、=A1,B1D1平面CAA1C1.又B1D1平面CB1D1,平面CAA1C1平面CB1D1.能力提升练1.正方形ABCD的边长为12,PA平面ABCD,PA=12,则点P到对角线BD的距离为()A.123B.122C.63D.66答案D解析如图,连接AC交BD于点O.则PABD,AOBD.所以BD平面PAO.所以POBD,故PO为P到BD的距离.在RtAOP中,PA=12,AO=62.所以PO=66.2.如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是()A.平
9、面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC答案D解析在题图中,因为BAD=90,AD=AB,所以ADB=ABD=45.因为ADBC,所以DBC=45.又因为BCD=45,所以BDC=90,即BDCD.在题图中,此关系仍成立.因为平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD.因为BA平面ADB,所以CDAB.因为BAAD,所以BA平面ACD.因为BA平面ABC,所以平面ABC平面ACD.3.如图,A,B,C,D为空间四点,在RtABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB平面ABC时,CD=()A.3B.2C.5D.
10、1答案B解析取AB的中点E,连接DE,CE(图略).因为ADB是等边三角形,所以DEAB.当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABC=AB,所以DE平面ABC,又CE平面ABC,所以DECE.由已知可求得DE=3,CE=1,故在RtDEC中,CD=DE2+CE2=2.4.(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下列四个结论正确的是()A.BC平面AGFB.EG平面ABFC.平面AEF平面BCDD.平面ABF平面BCD答案ABD解析F,G分别是CD,DB的中点,GFBC,则BC平面AGF,故A正确;E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,CDAF,CDBF
11、,即CD平面ABF,EGCD,EG平面ABF,故B正确;E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,CDAF,CDBF,即CD平面ABF,CD面BCD,平面ABF平面BCD,故D正确;对于选项C,假设平面AEF平面BCD,由平面AEF平面BCD=EF,CD平面BCD,CDAF,CD平面AEF,CDEF,与CD,EF夹角为60矛盾,故C错误.故选ABD.5.(多选题)(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)如图所示,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形,则下列四个结论正确的是()A.动点A在平面ABC内的射影在AF上B.恒有平面AGF平面BC
12、EDC.三棱锥A-FED的体积有最大值D.直线AE与BD不可能垂直答案ABC解析对于A选项,在等边三角形ABC中,F为BC的中点,则AFBC.D,E分别为AB,AC的中点,DEBC,则DEAF,翻折后,对应地有DEAF,DEAG,AFAG=G,DE平面AGF.DE平面BCED,平面AGF平面BCED,且平面AGF平面BCED=AF,由面面垂直的性质定理可知,动点A在平面ABC内的射影在AF上,故A,B正确.由于DEF的面积为定值,当三棱锥A-FED的高取得最大值时,即当平面ADE平面BCED时,三棱锥A-FED的体积有最大值,故C正确.在翻折的过程中,AEF有可能为直角,E,F分别为AC,BC
13、的中点,则EFAB,即EFBD,异面直线AE与BD所成的角为AEF或其补角,则直线AE与BD可能垂直,故D选项错误.6.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB平面ABC,ABC=90,AC=8,BC=6,则PC=.答案7解析取AB的中点E,连接PE.PA=PB,PEAB.又平面PAB平面ABC,PE平面ABC.连接CE,PECE.ABC=90,AC=8,BC=6,AB=27,PE=PA2-AE2=6,CE=BE2+BC2=43,PC=PE2+CE2=7.7.(2020山东邹城第一中学高三月考)三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面PAC平面ABC,则AC
14、=;若球O与该三棱锥除PB以外的5条棱均相切,则球O的半径为.答案22-1解析如图,设M为AC的中点,因为PA=PC,所以PMAC.又因为平面PAC平面ABC,所以由面面垂直的性质定理得PM平面ABC,所以PMMB.因为PC2-MC2=BC2-MC2,所以PM=MB,从而可得PM=22,AC=2.设O1,O2分别为对应面的内心,分别过O1,O2作MP,MB的平行线,交于点O,即O为所求的球心,易知OO1MO2是正方形,设RtPAC内切圆的半径为r,球O的半径为R,由图可知OM=R=2r,而r=2-22,所以R=2-1.8.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段E
15、C(端点除外)上一动点.现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.答案12,1解析如图,过D作DGAF,垂足为G,连接GK,平面ABD平面ABC,又DKAB,DK平面ABC,DKAF.AF平面DKG,AFGK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.t的取值范围是12,1.素养培优练如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA=3.(1)证明:平面PBE平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)证明如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且BCD=60,可知BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BECD.又因为ABCD,所以BEAB.又因为PA平面ABCD,BE平面ABCD,所以PABE.而PAAB=A,因此BE平面PAB.又因为BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(2)解由(1)知BE平面PAB,PB平面PAB,所以PBBE.又因为ABBE,所以PBA是二面角A-BE-P的平面角.在RtPAB中,tanPBA=PAAB=3,所以PBA=60,故二面角A-BE-P的大小是60.