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1、第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法课后篇巩固提升基础达标练1.(2020北京八十中高一期中)下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系xOy时,xOy必须是45D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析等腰三角形的两底角相等,但在直观图中不相等,故A错误.正方形的两邻边相等,但在直观图中不相等,故B错误.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系xOy时,xOy可以是45也可以是135,故C错误.故选D.2.水平放置的ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是
2、等边三角形ABC,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形答案C解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故ABC是钝角三角形.3.如图所示的正方形OABC的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是()A.6 cmB.8 cmC.(2+32)cmD.(2+23)cm答案B解析直观图中,OB=2,OB=22.原图形中OC=AB=(22)2+12=3,OA=BC=1,原图形的周长是2(3+1)=8(cm).4.如图所示,ABC是水平放置的ABC的直观图,则在ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC答案D解析
3、还原ABC,即可看出ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm答案D解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5cm.故选D.6.已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图ABC的面积是()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2答案D解析如图为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系
4、xOy.如图,建立坐标系xOy,使xOy=45,由直观图画法知:AB=AB=a,OC=12OC=34a,过点C作CDOx于点D,则CD=22OC=68a.所以ABC的面积是S=12ABCD=12a68a=616a2.7.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为.答案正方形解析因为DAB=45,由斜二测画法规则知DAB=90,又因四边形ABCD为平行四边形,且AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.8.(2020天津高一期末)用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD的直观图时,以射线AB,AD分别为x轴、y轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图ABCD,则
5、该直观图的面积为.答案2解析设原图的面积为S,直观图的面积为S,则S=22S,即S=24S.因为正方形ABCD的面积为S=22=4,所以其直观图的面积为S=24S=244=2.9.如图,平行四边形OPQR是四边形OPQR的直观图,若OP=3,OR=1,则原四边形OPQR的周长为.答案10解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以原四边形OPQR的周长为2(3+2)=10.10.(2020天津滨海新区塘沽第三中学高一期中)水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知AC=3,BC=2,则AB边上的中线的长度为.答案52解析在直观图中,AC=3,BC=2,所以在Rt
6、ABC中,AC=3,BC=4,C=90,AB=AC2+BC2=5,因此,AB边上的中线的长度为12AB=52.11.(2020全国高一课时练习)如图所示,在梯形ABCD中,ABCD,AB=4 cm,CD=2 cm,DAB=30,AD=3 cm,试画出它的直观图.解第一步:如图所示,在梯形ABCD中,以边AB所在直线为x轴,A为原点,建立平面直角坐标系xOy;如图所示,画出对应的x轴、y轴,使xOy=45;第二步:在图中,过点D作DEx轴,垂足为点E;在图中,在x轴上取AB=AB=4cm,AE=AE=3232.598(cm),过点E作EDy轴,使ED=12ED=1232=0.75(cm),再过点
7、D作DCx轴,且使DC=DC=2cm;第三步:连接AD,BC,并擦去x轴与y轴多余的部分及其他一些辅助线,如图所示,则四边形ABCD就是所求作的直观图.能力提升练1.(2020河南周口郸城实验高中高一月考)下列说法正确的是()A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图可能是平行四边形答案D解析A项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误.B项,原图形中平行的两条线段仍然平行,不平行的两条线段也不会平行,所以梯形的直观图不可能为平行四边形,故B项错误.C项,原图形相互垂直的两条直线在直观
8、图中不一定相互垂直,但是原图形中相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行,所以矩形的直观图中对边仍然平行,所以矩形的直观图可能为平行四边形而不可能为梯形.故C项错误,故D项正确.2.(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高一期中)如图,一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图为直角梯形OABC,且OA=2,OC=1,AB平行于y轴,则这个平面图形OABC的面积为()A.5B.52C.52D.522答案B解析根据斜二测画法的规则可知,水平放置的平面图形OABC为直角梯形,由题意可知上底为OA=2,高为AB=22,下底为BC=2+1=3,所以这个平面图形OABC的面积为S=12(3+2)22=52.
9、3.如图所示,AOB表示水平放置的AOB的直观图,B在x轴上,AO与x轴垂直,且AO=2,则AOB的边OB上的高为()A.2B.4C.22D.42答案D解析设AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=22S直观图,所以12OBh=2212OB2,又OB=OB,所以h=42.4.如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6,OC=2,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形答案C解析设y轴与BC交于点D,则OD=22.在原图形中,OD=42,CD=2,且ODCD,所以OC=(42)2+22=6=OA,所以原图形是菱形.5.如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底
10、角为45的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图OABC,在直观图中梯形的高为,面积为.答案2222解析因为OA=6,CB=2,所以OD=2.又因为COD=45,所以CD=2.梯形的直观图如图,则CD=1.所以梯形的高CE=22.面积为2+6222=22.6.(2020黑龙江鸡西第一中学高一期末)如图是水平放置的AOB用斜二测画法画出的直观图AOB,则AOB的周长是.答案4+417解析根据直观图画出原图如图所示,根据原图和直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB=22+82=217,所以AOB的周长是4+2172=4+417.7.如图所示,已知用斜二测画法画出
11、的ABC的直观图ABC是边长为a的等边三角形,那么原ABC的面积为.答案62a2解析法一:过C作CMy轴,且交x轴于M.过C作CDx轴,且交x轴于D,则CD=32a.所以CMD=45,所以CM=62a.所以原三角形的高CM=6a,底边长为a,其面积为S=12a6a=62a2.法二:因为SABC=12a32a=34a2.由S直观图=24S原图得,SABC=42SABC=4234a2=62a2.8.(2020全国高一课时练习)画出各条棱长都相等的正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.解第一步:画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90;第二步:按x轴、y轴,画正六边形的直观图A
12、BCDEF;第三步:过A,B,C,D,E,F各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA,BB,CC,DD,EE,FF都等于棱AB的长;第四步:顺次连接A,B,C,D,E,F,去掉辅助线及字母,将被遮挡的部分改为虚线,就得到所求作的正六棱柱的直观图.素养培优练一个圆锥的底面直径是1.6 cm,在它的内部有一个底面直径为0.7 cm,高为1 cm的内接圆柱.(1)画出它们的直观图;(2)求圆锥的母线长.解(1)画轴.取x轴、y轴、z轴,记坐标原点为O,使xOy=45,xOz=90(如图所示).画底面.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于1.6cm的圆的直观图.画内接圆柱.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于0.7cm的圆的直观图,然后在z轴上取线段OO=1cm,过点O作平行于x轴的x轴,平行于y轴的y轴,再以O为中心,利用x轴、y轴画一个直径为0.7cm的圆的直观图.再画圆柱的两条母线,使它们与这两个椭圆相切.成图.画圆锥的两条母线,再加以整理,就得到所要画的直观图(如图所示).(2)设圆锥的高为h,则h-1h=0.71.6,解得h=169.所以圆锥的母线长为l=R2+h2=0.82+1692=448145.