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1、一、曲线的参数方程一、曲线的参数方程在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程线的方程f(x,y)0。下面我们就来研究求曲。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。线参数方程的问题。3、参数方程和普通
2、方程、参数方程和普通方程 的互化的互化cos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM 由参数方程得：所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。将曲线的参数方程化为普通方程，有利将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。于识别曲线的类型。 曲线的参数方程和普通方程是曲线曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数果
3、知道变数x,y中的一个与参数中的一个与参数t的关系，的关系，例如例如 ，把它代入普通方程，求，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系出另一个变数与参数的关系那么那么 就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。 tfx tgy tgytfx参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：如：直线直线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）为参数）在普通方程在普通方程xyxy=1中，令中，令x = tan ,可以化为参数方程可以化为参数方程 .cot,tanyx
4、 （为参数）（2 2）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普通方程化为普通方程如：如：参数方程参数方程.sin,cosrbyrax消去参数 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.42,tytx参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保的取值范围保持一致。持一致。 否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的. . 例例3 3、把下列参数方程化为普通方程，把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各
5、表示什么曲线？并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1 sin2y x=(2)为参数（2）把 平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。(1)1 1231)11xtyx 解解： 因因为为所所以以普普通通方方程程是是（x x这这是是以以（， ）为为端端点点的的一一条条射射线线（包包括括端端点点）1 xt?所以代入ty21?cossinxsin21yyx 24sin2cossinx2,2x2,2xyx 2练习、练习、1.将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)
6、(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。2.求参数方程求参数方程)20()sin1 (21|,2sin2cos|yx表示表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（211， ）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的
7、一部分，这部分过（1，21）分析 一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，为抛物线。 )42sin(2|2sin2cos|x，又02，0 x2，故应选（B）说明说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。例例4 4 (1)设x=3cos ， 为参数；2.tt(2)设y=， 为参数22194xy求椭圆的参数方程。解解（1）把 带入椭圆方程，得到 于是由参数 的任意性，可取因此椭圆的参数方程为 （ 为参数） 1499cos22y?3cosxsin2sin4cos14222yysin2y,sin2cos3yx
8、思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？2222213,191449txtxtx因此椭圆的参数方程为,2132tytxtytx2132（t为参数）和（2）把ty2代入椭圆方程，得x,yx,y范围与范围与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范围相同，的范围相同，2tytx代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，从而后满足该方程，从而D D是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程. .2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytytyt、曲线曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. . 注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. 在在y=xy=x2 2中，中，xRxR, y0, y0，分析分析: :发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在在A A、B B、C C中，中，x,y的范围都的范围都而在中，且以练习练习: :普通方程普通方程参数方程参数方程引入参数引入参数消去参数消去参数小结小结