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1、北师大版九年级数学下册第二章二次函数定向攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数ya（x+1）2+b（a0）有最大值1，则b的大小为（）A1B1C0D不能确定2、下列二次函数的图象
2、与x轴没有交点的是（ ）Ay3x22xByx23x4Cyx24x4Dyx24x53、抛物线y2（x1）22图象与y轴交点的坐标是（）A（0，2）B（0，2）C（0，0）D（2，0）4、二次函数的图象开口（ ）A向下B向上C向左D向右5、已知抛物线yax2bxc（a0），且abc1，abc3判断下列结论：抛物线与x轴负半轴必有一个交点；b1；abc0； 2a2bc0；当0x2时，y最大3a，其中正确结论的个数（ ）A2B3C4D56、如图1所示，DEF中，DEF90，D30，B是斜边DF上一动点，过B作ABDF于B，交边DE（或边EF）于点A，设BDx，ABD的面积为y，图2是y与x之间函数的图
3、象，则ABD面积的最大值为（ ）A8B16C24D487、下列函数中，是二次函数的是（ ）ABCD8、若关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A1BC8D49、某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）A21元B22元C23元D24元10、下图是抛物线y = ax2 + bx + c的示意图，则a的值可以是（ ）A1B0C- 1D- 2第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小
4、题，每小题4分，共计20分）1、定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是_2、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y2x2+mx+m2经过B、C两点，若OA2OC，则矩形OABC的周长为 _3、某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价_元时，可获得最大利润_4、将抛物线y3x2+1向左平
5、移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式是_5、二次函数的最大值为，则的值为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线（1）用含a的式子表示b；（2）求抛物线的顶点坐标；（3），是抛物线上两点，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若存在m，使得，直接写出a的取值范围2、抛物线yax2bx2（a0）与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴相交于点H，连接AC，BCABC绕点B顺时针旋转一定角度后
6、落在第一象限，当点C的对应点C1落在抛物线的对称轴上时，求此时点A的对应点A1的坐标；（3）如图2，过点C作轴交抛物线于点E，已知点D在抛物线上且横坐标为，在y轴左侧的抛物线上有一点P，满足PDCEDC，求点P的坐标3、如图所示，在坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线yx+8经过A，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；如图2，过点O，P的直线ykx（k0）交AC于点E，若PE：OE5：6，求k的值4、如图1，在平面直
7、角坐标系中，抛物线经过点，且与直线在第二象限交于点，过点作轴，垂足为点若是直线上方该抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，连接，（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积的最大值；（3）连接交于点，如图2，线段与能否互相平分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由5、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（1）求它的顶点坐标；（2）求它与x轴的交点坐标-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据二次函数的性质，由最大值求出b即可【详解】解：二次函数ya（x+1）2+b（a0），抛物线开口向下，又最大值为1，即b1，b1故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键2、D
8、【分析】将函数交点问题，转化为求方程根，然后分别计算判别式的值，来判断抛物线与x轴的交点个数即可【详解】A、=22-4(-3)00，此抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、=(-3)2-41(-4)0，此抛物线与x轴有两个交点，所以B选项错误；C、=(-4)2-414=0，此抛物线与x轴有1个交点，所以C选项错误；D、=42-4150，此抛物线与x轴没有交点，所以D选项正确故选：D【点睛】本题考查的是函数图象与x轴的交点的判断，熟练掌握方程与函数的联系及根的判别式是正确解答本题的关键3、C【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，当时，计算y的值，即可得到答案【详解】当时， 抛物线y2（
9、x1）22图象与y轴交点的坐标是：（0，0）故选：C【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解4、A【分析】根据二次函数的二次项系数的符号即可判断开口方向【详解】解：二次函数，二次函数的图象开口向下故选A【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，掌握二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下是解题的关键5、B【分析】根据已知的式子求出b，c，再根据二次函数的图象性质判断即可；【详解】abc1，abc3，两式相减得：，故正确；由两式相加得，故错误；当时，当时，当时，方程的两个根一个小于，一个大于1，抛物线与x轴负半轴必有一个交点，故正确；由抛物线对称
10、轴为直线，当0x2时，y随x的增大而增大，当时，有最大值，即为，故正确；由题可得：，故错误；故正确的是；故选B【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，准确分析计算是解题的关键6、C【分析】由图得点A到达点E时，面积最大，此时，由三角函数算出AB，由三角形面积公式即可求解【详解】由图可得：点A到达点E时，面积最大，此时，故选：C【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A运动到哪里能使面积最大是解题的关键7、B【分析】根据二次函数的定义即可判断【详解】A. 是反比例函数，故此选项错误；B. 是二次函数，故此选项正确；C. 是一次函数，故此选项错
11、误；D. 是正比例函数，故此选项错误故选：B【点睛】本题考查二次函数的定义：形如，其中，且a、b、c是常数，掌握二次函数的定义是解题的关键8、A【分析】根据抛物线的性质，得到；整理分式方程，得到y=，根据分式方程有整数解，且y=1时，对应a值不能取，确定符合题意的a值，最后求和即可【详解】关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，即a2；，(a-1)y=-4，当y=1时，a=-3，此值要舍去；y=，关于y的分式方程有整数解，1-a=1；1-a=2；1-a=4；a=0或a=2；a=-1或a=3；a=-3或a=5；a2，且a-3，a=0或a=2或a=-1；符合条件的所有整数a的和-1+0+2=1
12、，故选A【点睛】本题考查了二次函数的对称性，分式方程的整数解，正确判定抛物线对称轴的属性，正确求得整数解的a值是解题的关键9、B【分析】设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为元，平均每天售出件， 根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即可求解【详解】解：设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为元，平均每天售出件， 根据题意得： ， 当 时， 最大，即每件的定价为22元时，每天的销售利润最大故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键10、A【分析】根据二次函数的图象确定a的取值范围即可得【详解】解
13、：根据二次函数图象可得：开口向上，故选：A【点睛】题目主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题关键二、填空题1、【分析】先求出B点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案【详解】解：B直线与y轴的交点，B点坐标为（0，3），B是抛物线的顶点，抛物线解析式为，解得或，直线与抛物线的两个交点坐标为（0，3），（1，2），抛物线关于直线y的割距是，故答案为：【点睛】本题主要考查了求一次函数与y轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键2、4【分析】先求得点
14、C的坐标，然后由OA2OC得到点A的坐标，进而得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入函数解析式求得m的值，即可得到矩形的周长【详解】解：当x0时，ym2，点C（0，m2），OCm2，m2，OA2OC，OA2m4，A（2m4，0），B（2m4，m2），将点B的坐标代入函数解析式得，2（2m4）2+m（2m4）+m2m2，解得：m2（舍）或m，OC，OA，矩形OABC的周长为2（+）4故答案为：4【点睛】本题考查了已知二次函数的函数值求自变量的值，二次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，根据点的坐标求得点的坐标是解题的关键3、15 1250 【分析】设裙子降价x元，利润为w元，然后由题意可得，进而根据
15、二次函数的性质可求解【详解】解：设裙子降价x元，利润为w元，由题意得：，-20，开口向下，当时，w有最大值，最大值为1250，当裙子降价15元，可获得最大利润为1250元；故答案为15，1250【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键4、【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则即可求出平移后的二次函数的解析式【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式是，故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律5、【分析】先找出二次函数取得最大值时x的取值，再将x和最大值代入二次函数
16、解析式即可求出a的值【详解】解：二次函数的最大值为，a0，且二次函数取得最大值时，此时故答案为：【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练掌握该知识点是解题关键三、解答题1、（1）；（2）（1，-5）；（3）当抛物线开口向上，时，；当抛物线开口向上，或时，；当抛物线开口向下，时，；当抛物线开口向下，或时，；【分析】（1）根据抛物线对称轴公式进行求解即可；（2）把抛物线化成顶点式即可得到答案；（3）分当和当两种情况，然后讨论抛物线顶点与图像G的位置关系，由此求解即可【详解】解：（1）抛物线的对称轴是直线，；（2），抛物线解析式为，抛物线顶点坐标为（1，-5）；（3）当，即时，图像G上纵坐标的最小值为-
17、5，当时，当时，；当时，图像G上纵坐标的最小值为，最大值为，；当时，图像G上纵坐标的最大值为，最小值为，；当，即时，图像G上纵坐标的最大值为-5，当时，当时，；当时，图像G上纵坐标的最大值为，最小值为，；当时，图像G上纵坐标的最小值为，最大值为，；综上所述，当抛物线开口向上，时，；当抛物线开口向上，或时，；当抛物线开口向下，时，；当抛物线开口向下，或时，；【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识2、（1）；（2）（3，4）；（3）（，）【分析】（1）把A（1，0），B（3，0）代入抛物线解析式利用待定
18、系数法求解二次函数的解析式即可；（2）如图，先求解C（0，2），对称轴为直线，可得BHCO2结合旋转得BC1BC ，证明RTBC1HRTCBO（HL），再证明旋转角A1BAC1BC90，从而可得答案；（3）先求解D（，），E（2，2），如图，过点D作DGCE交CE的延长线于点G，证明CGDG，可得ECDGDC45 ，如图，在CD的上方作PDCEDC交y轴于点Q，交抛物线于点P，证明QCDECD，可得QCEC2，可得Q（0，0），再求解直线DQ的解析式为，联立 ，再解方程组可得答案.【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得 解得 抛物线的解析式为（2）抛物线的解析式为，A
19、（1，0），B（3，0）C（0，2），对称轴为直线 BHCO2由旋转得BC1BC 则RTBC1HRTCBO（HL） C1BHBCOC1BCC1BHOBCBCOOBC90旋转角A1BAC1BC90，即A1Bx轴 A1BBA4，B（3，0）A1（3，4）（3）抛物线的解析式为，D的横坐标为当x时，y，则D（，）轴，C（0，2），对称轴为直线x1E（2，2） 如图，过点D作DGCE交CE的延长线于点G， CGDG，ECDGDC45 如图，在CD的上方作PDCEDC交y轴于点Q，交抛物线于点P轴 ，QCE90QCDECD45CDCD，QCDECD（ASA）QCEC2，C（0，2），Q（0，0）D（，）
20、，设直线 解得： 直线DQ的解析式为则 ，消去得： 解得： 当时， 当时， 所以方程组的解为：或，【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，求解一次函数与二次函数的交点坐标，作出适当的辅助线构建全等三角形，再利用全等三角形的性质证明相等的线段，再得到点的坐标是解本题的关键.3、（1）；（2）；或k= - 10【分析】（1）由直线的解析式yx4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入yx2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；（2）若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQAO，再根据抛物线的对称轴可求出
21、点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；过P点作PFOC交AC于点F，因为PFOC，所以PEFOEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点F（x，x8），利用（x2+bx+c）（x8），可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线ykx即可求出k的值【详解】解：（1）直线yx8经过A，C两点，A点坐标是（8，0），点C坐标是（0，8），又抛物线过A，C两点，解得：，；（2）如图1，由（1）知，抛物线解析式是，抛物线的对称轴是直线x以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，PQAO，PQAO8P，Q都在抛物线上
22、，P，Q关于直线x对称，P点的横坐标是，当x时，y，P点的坐标是（，）；如图2，过P点作PFOC交AC于点F，PFOC，PEFOEC，又PE：OE5：6，OC8，PF，点F在AC上，设点F（x，x8），（x2-5x+8）（x8），化简得：（x4）2解得：x1，x2P点坐标是（，8）或（，）又点P在直线ykx上，把（，8）或（，）分别代入ykx中，k或k10【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，题目综合性较强，难度不大，是一道很好的中考题4、（1）；（2）8；（3）能，点的坐标为或【分析】（1）先利用求解的坐标
23、，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设点，则点，再求解 列二次函数关系式，利用二次函数的性质求解面积的最大值即可.（3）如图，连接，由线段与相互平分，可得四边形是平行四边形，则有，再列方程，解方程可得答案.【详解】解：（1） 轴，点， ，又抛物线经过， 解得： 抛物线的解析式为 （2）设点，则点， ，时，； （3）线段与能相互平分理由如下：如图，连接线段与相互平分，四边形是平行四边形， ，或当时，则 为的中点，点的坐标为当时， 则 为的中点，点的坐标为点的坐标为或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与平行四边形，掌握“列面积的二次函数关系式，利用对角线互相平分得到平行四边形，再利用平行四边形的对边相等列方程”是解本题的关键.5、（1）；（2）【分析】（1）把抛物线化为顶点式即可；（2）令 则再利用因式分解法解一元二次方程即可.【详解】解：（1）所以抛物线的顶点坐标为： （2）令 则 或 解得： 所以抛物线与x轴的交点坐标为：【点睛】本题考查的是求解抛物线的顶点坐标，抛物线与轴的交点坐标，掌握“把抛物线化为顶点式以及把代入抛物线求解与x轴的交点坐标”是解本题的关键.