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1、阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015江西乐安一中月考)已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()A4B4 C0 D9答案D解析ab(1x,4)，a(ab)，a(ab)(1,2)(1x,4)9x0，x9.2(2015皖南八校联考)已知点A(2，)，B(，)，则与向量方向相同的单位向量是()A(，)B(，)C(，)D(，)答案C解析(，2)，|，(，)3(文)(201
2、4甘肃省金昌市二中期中)若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为()A30B60C120D150答案C解析ca，ca(ab)a|a|2ab0，ab1，即12cosa，b1，cosa，b，a，b120.(理)(2015沈阳市一模)若向量a、b满足ab(2，1)，a(1,2)，则向量a与b的夹角等于()A45B60C120D135答案D解析由ab(2，1)，a(1,2)，得b(1，3)，从而cosa，b.a，b0，180，a，b135.4(2015呼和浩特市期中)已知向量a，b的夹角为120，且|a|1，|b|2，则向量ab在向量ab上的投影是()ABC.D3答案A解析由已知，向
3、量|ab|2|a|2|b|22ab1427，|ab|2|a|2|b|22ab1423，(ab)(ab)|a|2|b|23，则cosab，ab，向量ab在向量ab上的投影是|ab|cosab，ab()，故选A.5(2015石光中学阶段测试)已知m0，n0，向量a(m,1)，b(1n,1)，且ab，则的最小值是()A2B1C21D32答案D解析ab，m(1n)0，mn1，m0，n0，()(mn)332.等号成立时，即6(2015浙江慈溪市、余姚市期中联考)在ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则()A.BC.D答案A解析()，()，()().7(2015湖南师大附中月考)若等边
4、ABC边长为2，平面内一点M满足，则()A1BC2D2答案C解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知：A(0,3)，B(，0)，C(，0)，设M(a，b)，(2，0)(0,3)(，2)，又(a，b)(，0)(a，b)，a0，b2，M(0,2)，所以(0,1)，(，2)，因此2.故选C.8(2015宁夏银川二中统练)若|ab|ab|2|a|，则向量ab与b的夹角为()A.BC.D答案D9(2014营口三中期中)已知abc0，且a与c的夹角为60，|b|a|，则cosa，b等于()A.BCD答案D解析设a，b，|b|a|，|b|23|a|2，ab|a|2cos，ac|a|c|cos60|a|
5、ab|.ac(ab)a|a|2ab|a|2|a|2cos，|ab|2|a|2|b|22ab|a|23|a|22|a|2cos4|a|22|a|2cos，|a|2|a|2cos|a|，cos1，cos，故选D.10(2015成都市树德中学期中)已知a(，)，b(，)，曲线ab1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|()A.BC.D或答案B解析由ab1得，1，易知F(7,0)为其焦点，设另一焦点为F1，由双曲线的定义，|MF1|MF|10，|MF1|1或21，显然|MF1|1不合题意，|MF1|21，ON为MF1F2的中位线，|ON|.11(文)(2014华安
6、、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在ABC中，D是BC的中点，AD3，点P在AD上且满足3，则()()A6B6C12D12答案C解析AD3，3，|3，|1，|2，D为BC的中点，()22|12.(理)(2014浙江省五校联考)已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且AOB120，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足(1)(01)，则的取值范围是()A，1)B1,1)C，0)D1,0)答案C解析以直线MN为x轴，单位圆的圆心O为原点建立直角坐标系，则M(1,0)，N(1,0)，1，(1)，(01)，(01)，C在线段AB上(不包括端点)，OAOB1，AOB120，|，1)，()
7、()|2()|21，0)12(文)(2015遵义航天中学二模)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则的值为()A.BCD答案A解析在ABC中，已知D是AB边上一点2，()，故选A.(理)(2014湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量，它们的夹角是60，与、向量的夹角都为30，且|2，若，则的值为()A2B4C2D4答案B解析以OA、OB为邻边作OADB，OA1，OB1，AOB60，OD，与、的夹角都为30，与共线，222，2，4.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2015鹰潭一中、宜春中学、新余
8、四中联考)向量a，b，c在单位正方形网格中的位置如图所示，则a(bc)_.答案3解析如图建立平面直角坐标系，则a(1,3)，b(3，1)(1,1)(2，2)，c(3,2)(5，1)(2,3)，bc(0,1)，a(bc)(1,3)(0,1)3.14(文)(2014江西临川十中期中)若非零向量a，b，c，满足ab且ac，则c(a2b)_.答案0解析ab，存在实数，使ba，又ac，ac0，c(a2b)c(a2a)(12)ac0.(理)(2015山西忻州四校联考)已知m，n是夹角为120的单位向量，向量atm(1t)n，若na，则实数t_.答案解析m，n是夹角为120的单位向量，向量atm(1t)n，
9、na，nantm(1t)ntmn(1t)n2tcos1201t1t0，t.15(文)(2014湖南省五市十校联考)点M(x，y)是不等式组表示的平面区域内的一动点，使zy2x的值取得最小的点为A(x0，y0)，则(O为坐标原点)的取值范围是_答案0,6解析作出可行域为如图四边形OBCD区域，作直线l0：y2x0，平移l0，当平移到经过点B(，1)时，z取最小值，A为B点，即A(，1)，M在平面区域内运动，|为定值，|(|cos，)，当M与O(或C)重合时，|cos，取到最小值(或最大值)，且M与O重合时，0，M与C重合时，(，3)(，1)6，06.(理)(2014襄阳四中、襄阳五中联考)设点P
10、(x，y)为平面上以A(4,0)，B(0,4)，C(1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O为原点，且，则的取值范围为_答案，1解析直线AB：xy4，直线AC：2x3y80，直线BC：2xy40，点P所在的平面区域为即ABC的内部和边界，(4，4)，(xy)作直线l0：xy0，平移l0，可知当平移到经过点C(1,2)时，xy取最小值3，与直线AB重合时，xy取最大值4，从而3xy4，1.16(文)(2015合肥市两校联考)若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1
11、，1)，n(1,2)下的坐标为_答案(0,2)解析a2p2q2(1，1)2(2,1)(2,4)，设axmyn(yx，x2y)，则(理)(2015娄底市名校联考)如图，Ox、Oy是平面内相交成120的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量xe1ye2，则将有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标若(3,2)，则|_.答案解析由题意可得e1e2cos120.|.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2014福建安溪一中、养正中学联考)已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：(1)a与b的夹角
12、；(2)ab与ab的夹角的余弦值解析(1)由条件知(ab)(ab)|a|2|b|2，|a|1，|b|，设a与b的夹角为，则cos，0，.(2)(ab)2a22abb212，|ab|，(ab)2a22abb212，|ab|，设ab，ab的夹角为，则cos.18(本小题满分12分)(2015皖南八校联考)如图，AOB，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点(1)用向量与表示向量；(2)求向量的模解析(1)，两式相加，并注意到点M、N分别是线段A1B1、A2B2的中点，得()(2)由已知可得向量与的模
13、分别为1与2，夹角为，所以1，由()得，|.19(本小题满分12分)(2014山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图(1)求OCM的余弦值；(2)是否存在实数，使()，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由解析(1)由题意可得(6,0)，(1，)，(3,0)，(2，)，(1，)，cosOCMcos，.(2)设P(t，)，其中1t5，(t，)，(6t，)，(2，)，若()，则()0，即122t30(2t3)12，若t，则不存在，若t，则，t1，)(，5，故(，12，)
14、20(本小题满分12分)(2014安徽程集中学期中)已知ABC三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量m(cos，sin)，n(cos，sin)，且m与n的夹角为.(1)求角C的值；(2)已知c3，ABC的面积S，求ab的值解析(1)|m|n|1，mn|m|n|cos，又mncoscossin(sin)cosC，cosC，又C(0，)，C.(2)由c2a2b22abcosC，得a2b2ab9，由SABCabsinC，得ab，由得(ab)2a2b22ab93ab25，a，bR，ab5.21(本小题满分12分)(2015湖北襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学联考)已知函数f(x)ab，其
15、中a(sinxcosx，1)，b(cosx,1)(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c3，f(C)0，若sin(AC)2sinA，求a、b的值解析(1)f(x)absinxcosxcos2x1sin2x(1cos2x)sin(2x)1，f(x)的最大值为0；最小正周期为.(2)f(C)sin(2C)10，又2C，2C，解得C，又sin(AC)sinB2sinA，由正弦定理，由余弦定理c2a2b22abcos，即a2b2ab9，由解得：a，b2.22(本小题满分14分)(文)(2015东北育才学校一模)已知向量a(cosx，)，b(s
16、inx，cos2x)，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在0，上的最大值和最小值解析(1)f(x)abcosxsinxcos2xsin2xcos2xsin(2x)当2k2x2k时，解得kxk，f(x)sin(2x)的单调递增区间为k，k(kZ)(2)当x0，时，(2x)，sin(2x)，1，所以，f(x)在0，上的最大值和最小值分别为1，.(理)(2014湖南省五市十校联考)已知向量m(sinx，1)，n(cosx，)，函数f(x)m2mn2.(1)求f(x)的最大值，并求取得最大值时x的取值集合；(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f(B)1，求的值解析(1)f(x)m2mn2(mn)m2(sinxcosx，)(sinx，1)2sin2xsinxcosxsin2xsin2xcos2xsin(2x)故f(x)max1，此时2x2k，kZ，得xk，kZ.所以取得最大值时x的集合为x|xk，kZ(2)f(B)1，sin(2B)1，又0B，2B.2B，B.a，b，c成等比数列，b2ac，sin2BsinAsinC.- 12 -