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1、阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014北京东城区联考)曲线yx3在x1处切线的倾斜角为()A1BC.D答案C解析yx3，y|x11，切线的倾斜角满足tan1，00得：xe1，故选D.4(2015江西乐安一中月考)已知实数a，b，c，d成等比数列，且函数y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A2B1C1D2答案A解析由条件知adbc，由y3xx3得，y33x23(1x)(1x)
2、，当1x0，y3xx3单调递增，当x1时，y0，a(，2)6(2015韶关市十校联考)设aR，若函数yexax，xR，有大于1的极值点，则()Aa1Ca答案C解析由yexa0得，exa，函数有大于1的极值点，aex0)，则f(2)的最小值为()A124B16C88aD128a答案A解析f (x)3x24ax，f (2)128a，a0，f (2)122124，等号在a时成立(理)(2015潮阳一中、桂城中学等七校联考)由曲线yx2，yx3围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D答案D解析由得两曲线交点坐标为(0,0)，(1,1)，故积分区间为0,1，所求封闭图形的面积为(x2x3)dx(x3x4
3、)|.8(文)(2015石光中学段考)函数f(x)在定义域R内可导，f(x)f(2x)，当x(，1)时，(x1)f (x)0，设af(0)，bf()，cf(3)，则()AabcBcabCcbaDbca答案B解析由f(x)f(2x)知f(x)的图象关于直线x1对称，又x1时，(x1)f (x)0，f(x)在(，1)上单调递增，f(1)f(0)f()，又f(3)f(1)，cab.(理)(2015湖北省教学合作十月联考)已知函数f(x)logax(0a1)的导函数为f (x)，Mf (a)，Nf(a1)f(a)，Pf (a1)，Qf(a2)f(a1)，则A，B，C，D中最大的数是()AMBNCPDQ
4、答案D解析由于函数f(x)logax(0a1)是可导函数且为单调递减函数，M、P分别表示函数在点a，a1处切线的斜率，因为N，Q，故N，Q分别表示函数图象上两点(a，f(a)，(a1，f(a1)和两点(a1，f(a1)，(a2，f(a2)连线的斜率，由函数图象可知一定有MNP0时，f (x)0，故函数f(x)x3ax2cx在(0，)上单调递增，但图象中函数f(x)在(0，)上不具有单调性，故排除C，本题应选B.10(文)(2015北京师大二附中期中)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()答案A解析导函数f (x)是增函数，切线的斜率随着切
5、点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.点评B图中切线斜率逐渐减小，C图中f (x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小(理)(2015宁夏银川二中统练四)若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1)D(，1答案D解析由条件知f (x)x0在(1，)上恒成立，bx(x2)，x1时，x(x2)1，b1.11(2015山东滕州一中单元检测)函数f(x)sinx2xf ()，f (x)为f(x)的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()Af(a)f(b)Bf(a)f(b)答案A解析f(x)sinx2xf ()，f (x)cosx2f ()，f
6、()cos2f ()，f ()，f(x)sinxx，f (x)cosx10，f(x)在R上为减函数，a，blog320，af(b)12(文)(2015娄底市名校联考)若函数f(x)x2lnx1在其定义域的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A1，)B1，)C1，2)D，2)答案B解析f(x)的定义域为(0，)，y2x，由f (x)0得x，依题意得1k1，f(0)2015，则不等式exf(x)ex2014(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(2014，)B(，0)(2014，)C(，0)(0，)D(0，)答案D解析令F(x)exf(x)ex2014，f(x)f (
7、x)1，F(x)exf(x)exf (x)exex(f(x)f (x)1)0，F(x)在R上为增函数，又F(0)e0f(0)e020142015120140，由F(x)F(0)得x0，即exf(x)ex20140的解为x0，故选D.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2015北郊高中调研)曲线yx3mxc在点P(1，n)处的切线方程为y2x1，其中m，n，cR，则mnc_.答案5解析y3x2m，由题意知mnc5.14(文)(2014福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)x3ax23x在区间1，)
8、上是增函数，则实数a的取值范围是_答案(，0解析f(x)x3ax23x，f (x)3x22ax3，又因为f(x)x3ax23x在区间1，)上是增函数，f (x)3x22ax30在区间1，)上恒成立，解得a0，故答案为(，0(理)(2015滕州一中检测)已知xR，奇函数f(x)x3ax2bxc在1，)上单调，则字母a，b，c应满足的条件是_答案ac0，b3解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)0恒成立，ac0，f(x)x3bx，f (x)3x2b，f(x)在1，)上单调，1，b3.15(文)(2014西安一中期中)从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的
9、盒子，则盒子容积的最大值为_cm3.答案144解析设小正方形边长为x，则盒子的容积为vx(102x)(162x)，即v4(x313x240x)，(0x5)，v4(3x226x40)4(3x20)(x2)，令v4(3x20)(x2)0得，x2，x(不符合题意，舍去)，x2是唯一极值点也就是最值点，所以，x2时，盒子容积的最大值为144cm3.(理)(2015河南八校联考)已知函数f(x)esinxcosxsin2x(xR)，则函数f(x)的最大值与最小值的差是_答案 解析令sinxcosxt，则sin2xt21，易知t，函数f(x)化为yett2.(t)，yett，令u(t)ett，则u(t)e
10、t1.当00，当t0时，u(t)0，函数yett2在，上为增函数，其最大值为，最小值为，其差为.16(2015山西大学附中月考)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab的值为_答案7解析f (x)3x26ax6，由条件知或当a2，b9时，f (x)3x212x93(x1)(x3)，f(x)在x1时取到极小值0；当a1，b3时，f (x)3x26x33(x1)20，f(x)在R上单调递增，与条件矛盾，ab7.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)(2014甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)x3ax2bx(
11、a，bR)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)函数f(x)的图象过点P(1,2)，f(1)2.ab1.又函数图象在点P处的切线斜率为8，f (1)8，又f (x)3x22axb，2ab5.解由组成的方程组，可得a4，b3.(2)由(1)得f (x)3x28x3，令f (x)0，可得x；令f (x)0，可得3x.函数f(x)的单调增区间为(，3)，(，)，单调减区间为(3，)(理)(2014威海期中)已知函数f(x)x3x22x5.(1)求f(x)的单调区间；(2)若曲线yf(x)与y2xm有三个不同的交点，求实数m的取值
12、范围解析(1)f (x)x23x2，令f (x)0，解得x1或x2.当x2时，f (x)0；当1x2时，f (x)0，f(x)的单调递增区间为(，1)，(2，)，单调递减区间为(1,2)(2)令f(x)2xm，即x3x22x52xm，x3x25m，设g(x)x3x25，即考察函数yg(x)与ym何时有三个公共点，令g(x)0，解得x0或x3.当x3时，g(x)0，当0x3时，g(x)0，g(x)在(，0)，(3，)上单调递增，在(0,3)上单调递减，g(0)5，g(3)，根据图象可得m5. 18(本小题满分12分)(2015庐江二中、巢湖四中联考)已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取
13、得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)求f(x)的极值解析(1)f (x)3ax22bxc，由已知有f (1)f (1)0，f(1)1，即a，b0，c.(2)由(1)知，f(x)x3x，f (x)x2(x1)(x1)，当x1时，f (x)0.当1x1时，f (x)x2xa对任意a(0，)都成立，求实数x的取值范围解析(1)f (x)ax2xa，由于函数f(x)在x2时取得极值，所以f (2)0.即4a2a0，解得a，此时f (x)在x2两边异号，f(x)在x2处取得极值(2)方法一：由题设知：ax2xax2xa对任意a(0，)都成立，即a(x22)x22x0对任意a(0，)都
14、成立设g(a)a(x22)x22x(aR)，则对任意xR，g(a)为单调递增函数(aR)，所以对任意a(0，)，g(a)0恒成立的充分必要条件是g(0)0，即x22x0，2x0，于是x的取值范围是x|2x0方法二：由题设知：ax2xax2xa，对任意a(0，)都成立，即a(x22)x22x0对任意a(0，)都成立，于是a对任意a(0，)都成立，即0.2x0，于是x的取值范围是x|2x021(本小题满分12分)(2014威海期中)已知f(x)ex，g(x)lnx.(1)求证：g(x)xx20，求证：x11.解析(1)令yf(x)xexx，则yex1，令y0，解得x0，当x0时y0时y0，当x0时
15、，ymine0010，exx，令yxg(x)xlnx，y1(x0)，令y0，解得x1，当0x1时y1时y0，当x1时，ymin1ln110，xlnx，(x0)，g(x)xx20，ex11，ex11，0x21，由得lnx2ex1ex1 (x2x1)，lnx2ex1 (x2x11)，0x21，lnx20，x2x11x211，x11.22(本小题满分14分)(文)(2015娄底市名校联考)已知函数f(x)x32ax23x(xR)(1)若a1，点P为曲线yf(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若函数yf(x)在(0，)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.解析(
16、1)设切线的斜率为k，则kf (x)2x24x32(x1)21，当x1时，kmin1.又f(1)，所以所求切线的方程为yx1，即3x3y20.(2)f (x)2x24ax3，要使yf(x)为单调递增函数，必须满足f (x)0，即对任意的x(0，)，恒有2x24ax30，a，而，当且仅当x时，等号成立，所以a，所求满足条件的a值为1.(理)(2015江西乐安一中月考)已知函数f(x)x2alnx，g(x)(a1)x，a1.(1)若函数f(x)，g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(2)若a(1，e(e2.71828)，设F(x)f(x)g(x)，求证：当x1
17、，x21，a时，不等式|F(x1)F(x2)|1或a9.(2)F(x)x2alnx(a1)x，F(x)x(a1)，F(x)定义域是(0，)，a(1，e，即a1，F(x)在(0,1)上是增函数，在(1，a)上是减函数，在(a，)上是增函数，当x1时，F(x)取极大值MF(1)a，当xa时，F(x)取极小值mF(a)alnaa2a，x1，x21，a，|F(x1)F(x2)|Mm|Mm，设G(a)Mma2alna，则G(a)alna1，G(a)1，a(1，e，G(a)0，G(a)alna1在a(1，e是增函数，G(a)G(1)0，G(a)a2alna在a(1，e也是增函数，G(a)G(e)，即G(a)e2e1，而111，G(a)Mm1，当x1，x21，a时，不等式|F(x1)F(x2)|1成立- 10 -