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1、专题九 高考数学附加选做题训练第25讲几何证明选讲 江苏高考理科数学对理科选修附加部分知识的考查只要求了解与理解两个层次(在下表中分别用A、B、C表示)几何证明是选做题之一，考试中属于容易题A(了解)：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题B(理解)：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题考试说明：序号内容要 求ABC1相似三角形的判定与性质定理2射影定理3圆的切线的判定与性质定理4圆周角定理，弦切角定理 5相交弦定理、割线定理、切割线定理6圆内接四边形的判定与性质定理例1 锐角三角形ABC内接于圆O，ABC60，BAC40，作OEAB交劣弧于点E，连结E
2、C，求OEC.解：连结OC. ABC60，BAC40， ACB80. OEAB， E为的中点， 和的度数均为80. EOC8080160. OEC10.如图，圆O的两条弦AC、BD互相垂直，OEAB，垂足为点E.求证：OECD.证明：作直径AF，连结BF、CF，则ABFACF90.又OEAB，O为AF的中点，则OEBF. ACBD， DBCACB90.又AF为直径，BAFBFA90，AFBACB， DBCBAF，即有CDBF.从而得OECD.例2 如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点证明：(1) ACEBCD；(2) BC2BECD.证明：(1) 因为，所以ABCBCD.
3、因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2) 因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.如图，D、E分别为ABC边AB、AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F、G两点若CFAB.证明：(1) CDBC；(2) BCDGBD.证明：(1) 如图，因为D、E分别为AB、AC的中点，所以DEBC.又CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2) 因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.所以BGDBDG.由
4、BCCD知，CBDCDB.又DGBEFCDBC，故BCDGBD.例3 如图，AB是圆O的直径，C、F是圆O上的两点，OCAB，过点F作圆O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2DBDA.证明：连结OF，因为DF切圆O于F，所以OFD90，所以OFCCFD90.因为OCOF，所以OCFOFC.又COAB于O，所以OCFCEO90，所以CFDCEODEF，所以DFDE.又DF是圆O的切线，所以DF2DBDA，即DE2DBDA.如图，在ABC中，已知CM是ACB的平分线，AMC的外接圆交BC于点N，且BN2AM.求证：AB2AC.证明：在ABC中，因为CM是ACB的平分线
5、，所以.因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BMBABNBC，即.又BN2AM，所以.由，得AB2AC.例4 如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD、BC的延长线交于点F，AED、AFB的角平分线交于点M，且EMFM.求证：四边形ABCD内接于圆证明：连结EF，因为EM是AEC的角平分线，所以FECFEA2FEM.同理，EFCEFA2EFM.而BCDBADECFBAD(180FECEFC)(180FEAEFA)3602(FEMEFM)3602(180EMF)2EMF180，即BCD与BAD互补所以四边形ABCD内接于圆如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割
6、线，与圆O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1) 证明：A、P、O、M四点共圆；(2) 求OAMAPM的大小(1) 证明：连结OP、OM，因为AP与圆O相切于点P，所以OPAP.因为M是圆O的弦BC的中点，所以OMBC.于是OPAOMA180，由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆(2) 解：由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以OAMOPM.由(1)得OPAP.由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.1. (2013江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：
7、AC2AD.证明：连结OD， AB、BC分别与圆O相切于点D、C， ADOACB90. AA， RtADORtACB， . BC2OC2OD， AC2AD.2. 如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.证明：由ABCBAD，得ACBBDA，故A、B、C、D四点共圆，从而CABCDB.再由ABCBAD，得CABDBA.因此DBACDB，所以ABCD.3. 如图，AB是圆O的直径，D、E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC、AE、DE.求证：EC.证明：连结AD， AB是圆O的直径， ADB90， ADBD. BDDC， AD是线段BC的中垂线， A
8、BAC， BC.又D、E为圆上位于AB异侧的两点， BE. EC.(本题还可连结OD，利用三角形中位线来求证BC)4. (2014江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明：因为B、C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.因为C、D是圆O上位于AB异侧的两点，故B、D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.(本题模拟高考评分标准，满分10分)(2014泰州期末)如图，AB是圆O的一条直径，C、D是圆O上不同于A、B的两点，过B作圆O的切线与AD的延长线相交于点M，AD与BC相交于N点，BNBM.求证：(1) NBDDBM；(2) AM是BA
9、C的角平分线证明：(1) AB是圆O的直径， ADB90.而BNBM， BNM为等腰三角形BD为NBM的角平分线DBCDBM.(5分)(2) BM是圆O的切线，DABDACAM是CAB的角平分线(10分)已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D.(1) 求ADF的度数；(2) 若ABAC，求的值解：(1) AC为圆O的切线， BEAC.又DC是ACB的平分线， ACDDCB， BDCBEACACD，即ADFAFD.又BE为圆O的直径， BAE90， ADF(180BAE)45.(2) BEAC，ACBACB， ACEBCA， .又ABAC， BACB， BACBEAC.由BAE90及三角形内角和知B30. 在RtABE中，tanBtan30.- 6 -