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1、第20讲数形结合思想 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想它包含两个方面：(1) “以形助数”，把抽象问题具体化这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2) “以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因此在高考中占有非常重要的地位数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，如点、线、面、体等实现数形结合的渠道主要有：(1) 实数与数轴上点的对应；(2) 函数与图象的对应；(3) 曲线与方程的对应；
2、(4) 以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，如复数、三角、空间点的坐标等数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程1. 设集合Ax|x23x40，Bx|0x4，则BA_答案：1，0)解析：画数轴易得2. 函数yAsin(x)(A、为常数，A0，0)在闭区间，0上的图象如图所示，则_答案：3解析：从图象上可知周期为T，则3.3. 直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则实数a的取值范围是_答案：解析：方程1x2|x|a转化为x2|x|1a，令f(x)x2|x|，g(x)
3、1a，在同一个直角坐标系中作出两个函数的图象，可知1a0，即1a.4. 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_答案：4解析：直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段PQ长为最小，最小值为4；或设直线为ykx(k0)，由方程组解得P、Q两点的坐标，再求线段PQ长的最小值，此法相对计算量较大，不如利用函数图象和性质快捷合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题题型一 利用三角函数的图象解题例1 如图，在ABC中，|3，|5，|7.(1) 求C的大小；(
4、2) 设D为AB的中点，求CD的长解：(1) 依题意BC3，CA5，AB7.由余弦定理，得cosC.因为0C，故C.(2) 由余弦定理，得cosA.在ADC中，AD，CD2AC2AD22ACADcosA，于是CD.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1 ，y1 )，.将角终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)(1) 若x1，求x2；(2) 过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，记AOC及BOD的面积分别为S1、S2，且S1S2，求tan的值解：(1) 因为x1，y10，所以y1.所以sin，cos.所以x2coscos
5、cossinsin.(2) S1sincossin2.因为，所以.所以S2sincossincos2.因为S1S2，所以sin2cos2，即tan2.所以，解得tan2或tan. 因为，所以tan2.题型二 根据图形选择适当的方法解题例2 如图所示，有两条道路OM与ON，MON60，现要铺设三条下水管道OA、OB、AB(其中A、B分别在OM、ON上)，若下水管道的总长度为3 km.设OAa(km)，OBb(km)(1) 求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2) 已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为 km，到点O的距离PO为 km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口
6、点P？若能，求出a的值；若不能，请说明理由解：(1) OAOBAB3， AB3ab. MON60，由余弦定理，得AB2a2b22abcos60. (3ab)2a2b2ab.整理，得b.由a0，b0，3ab0，及ab3ab，a3abb，b3aba，得0a.综上，b，0a.(2) 以O为原点，OM为x轴，建立如图所示的直角坐标系 PH，PO， 点P.假设AB过点P. A(a，0)，B，即B(，)， 直线AP的方程为y(xa)，即y(xa)将点B代入，得.化简，得6a210a30. a.答：下水管道AB能经过污水总管的接口点P，a(km)如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB、AC，根据规划拟在
7、两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PMPNMN2(km)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设AMN，在AMN中，.因为MN2，所以AMsin(120) . 在APM中，cosAMPcos(60). AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)4sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60) cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos (2120)sin(2150)，(0，120). 当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值1
8、2，即AP取得最大值2.答：设计AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小题型三 利用图象处理解析几何问题例3 如图，圆O与离心率为的椭圆T：1(ab0)相切于点M(0，1)(1) 求椭圆T与圆O的方程；(2) 过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合) 若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求dd的最大值； 若34，求l1与l2的方程解：(1) 由题意知，b1，c2b2a2，解得a2，b1，c，可知椭圆C的方程为y21，圆O的方程为x2y21.(2) 设P(x0，y0)，因为l1l2，则ddPM2x(y01)2.因为y1，所以
9、dd44y(y01)23.因为1y01，所以当y0时dd取得最大值为，此时点P. 设l1的方程为ykx1，由解得A；由解得C.把A、C中的k置换成可得B，D，所以，(，)，.由34，得，解得k，所以l1的方程为yx1，l2的方程为yx1，或l1的方程为yx1，l2的方程为yx1. 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1) 求实数b的取值范围；(2) 求圆C的方程；(3) 问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论(1) 解：令x0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)x22xb0，由题意b0且0
10、，解得b1且b0，则实数b的取值范围是b(，0)(0，1)(2) 解：设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0.令y0得x2DxF0这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb；令x0得y2EyF0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1，所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3) 证明：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0)不依赖于b，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为xy2x0y0b(1y0)0，(*)为使(*)式对所有满足b1(b0)的b都成立，必须有1y00，结合(*)式得xy2x0y00，解得或经检验知点(0，1)，(2，1)均在圆C上，因此圆C过定点题型四 利用图象解函数
11、综合问题例4 已知二次函数h(x)ax2bxc(其中c0，x(0，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值 f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，)，f(x)的单调递减区间为(1，3)要使函数f(x)在区间上是单调函数，则解得f(x)在x(0，6上恒成立，得x6lnxx28xc在x(0，6上恒成立，即cx27x6lnx在x(0，6上恒成立，设g(x)x26lnx7x，x(0，6，则c0， 当x时，g(x)0，g(x)为增函数；当x和(2，)时，g(x)0， g(x)ming(6)66ln6.又已知c3， c66ln6.设函数f(x)ax2ex(aR)有且仅有两个极值点x1
12、、x2(x1x2)(1) 求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a满足f(x1)ex1？如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由解：(1) f(x)2axex.显然a0，x1、x2是直线y与曲线yg(x)两交点的横坐标由g(x)0，得x1.列表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)g(x)max此外注意到：当x0时，g(x)0；当x0，1及x(1，)时，g(x)的取值范围分别为和.于是题设等价于0a，故实数a的取值范围为.(2) 存在实数a满足题设证明如下：由(1)知，0 x11x2，f(x1)2ax1ex10，故f(x1)axex1ex1ex1ex1，故ex1e0.记R(x)ex
13、e(0x1)，则R(x)ex0，f(1)0，而x1(0，1)，故当ae时，f(x)极大f(x1)e.1. (2014江苏卷)已知函数ycosx与ysin(2x)(0b0)根据题意知解得a2，b2，故椭圆C的方程为1.(2) 容易求得椭圆C的方程为y21.当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)由得(2k21)x24k2x2(k21)0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2
14、(k21)(x1x2)k210，解得k2，即k.故直线l的方程为xy10或xy10.6. (2014江苏卷)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO.(1) 求新桥BC的长；(2) 当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(17
15、0，0)，直线BC的斜率kBCtanBCO.因为ABBC，所以直线AB的斜率kAB.设点B的坐标为(a，b)，则kBC，kAB，解得a80，b120.所以BC150，因此新桥BC的长为150 m. (2) 设保护区的边界圆M的半径为r m，则OMd m(0d60)由条件知，直线BC的方程为y(x170)，即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35. 故当d10时，r最大，即圆面积最大所以当OM10 m时，圆形保护区的面积最大(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)ax
16、x2xlna(a0，a1)(1) 求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2) 求函数f(x)的单调增区间；(3) 若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围解：(1) 因为函数f(x)axx2xlna(a0，a1)，所以f(x)axlna2xlna，f(0)0.(2分)因为f(0)1，所以函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(4分)(2) 由(1)，f(x)axlna2xlna2x(ax1)lna.因为当a0，a1时，总有f(x)在R上是增函数，(8分)又f(0)0，所以不等式f(x)0的解集为(0，)，故函数f(
17、x)的单调增区间为(0，)(10分)(3) 因为存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1成立，而当x1，1时，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以只要f(x)maxf(x)mine1即可(12分)因为x，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)在1，0上是减函数，在0，1上是增函数，所以当x1，1时，f(x)的最小值f(x)minf(0)1，f(x)的最大值f(x)max为f(1)和f(1)中的最大值f(1)f(1)(a1lna)a2lna，令g(a)a2lna(a0)，因为g(a)10，所以g(a)a
18、2lna在a(0，)上是增函数而g(1)0，故当a1时，g(a)0，即f(1)f(1)；当0a1时，g(a)0，即f(1)f(1)(14分)所以，当a1时，f(1)f(0)e1，即alnae1，函数yalna在a(1，)上是增函数，解得ae；当0a1时，f(1)f(0)e1，即lnae1，函数ylna在a(0，1)上是减函数，解得0a.综上可知，所求a的取值范围为ae，)(16分)1. 在平面直角坐标系xOy中，若直线ykx1与曲线y|x|x|有四个公共点，则实数k的取值范围是_答案：解析：y|x|x|为偶函数，即考查函数y在直角坐标系中作出函数的图象，直线ykx1过定点(0，1)，直线与曲线
19、y(x1)在第一象限内相切时，直线的斜率为，根据图形可知实数k的取值范围是.2. 设f(x)x3x22ax.(1) 若f(x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；(2) 当0a2时，f(x)在1，4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值解：(1) f(x)在上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m，n)使得f(x)0.又f(x)x2x2a2a，而f(x)在区间上单调递减，则只需f0即可由f2a0，解得a.所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间(2) 令f(x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24
20、，所以f(x)在1，4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1，4上的最小值为f(4)8a，得a1，x22，从而f(x)在1，4上的最大值为f(2).3. 已知函数yasinxbcosxc的图象上有一个最低点.如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后向左平移1个单位，可得yf(x)的图象又知f(x)3的所有非负实根依次为一个公差是3的等差数列试求f(x)的解析式和单调递减区间解：由题意知abc1，c1，则c12a，ba， y2asin12a， f(x)2asinx12a.设f(x)3的非负实根为x0，x03，x06，则f(x0)3，f(x03)3，即2asinx012a3，2asin12a3.两式相加得a1，因此c3，a1，b. f(x)2sinx3，单调递减区间为(kZ)- 12 -