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1、考点49 几何证明选讲一、选择题ABDGOFCE1.（2011北京高考理科T5）如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：AD+AE=AB+BC+CA;.其中正确结论的序号是（ ）（A） （B） （C） （D）【思路点拨】利用切割线定理、弦切角定理判断以上结论是否正确.【精讲精析】选A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE，故正确；因为，故正确； ， 不相似，故不正确.二、填空题2（2011陕西高考理科T15B）（几何证明选做题）如图，B=D，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= 【思路
2、点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解【精讲精析】因为，所以AEB=，又因为B=D，所以AEBACD，所以,所以，在RtAEB中，【答案】3（2011陕西高考文科T15B）（几何证明选做题）如图，B=D，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= 【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解【精讲精析】因为，所以AEB=，又因为B=D，所以AEBACD，所以，所以【答案】24.（2011广东高考理科15）（几何证明选讲选做题）如图，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,且，是圆上一点使得，则 . 【思路点拨】利用相似三角形对应边成比例，求
3、得的值.【精讲精析】, ,从而，.【答案】5.（2011广东高考文科15）（几何证明选讲选做题）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=4，CD=2. E,F分别为AD，BC上的点，且EF=3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 .【思路点拨】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.【精讲精析】延长AD，BC相交于点G.由已知得GABGDC，GEFGDC,所以，从而,所以梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为3：=,从而得梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为.【答案】6（2011湖南高考理科T11）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD，垂足为D，BE与AD相交
4、于点F，则AF的长为_.【精讲精析】连结AB，AO，CE，OE，则是边长为2的等边三角形，AD=，又,BD=1,DF=所以得到AF=.【答案】7.（2011天津高考理科T12）如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且若与圆相切，则线段的长为_.【思路点拨】利用相交线及切线的比例关系求解.【精讲精析】设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为,所以,又【答案】三、解答题8.（2011江苏高考21A）（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，圆的弦交圆于点（不在上）. 求证：为定值.【思路点拨】本题考查的是圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题.解决本题
5、的关键是弦切角定理的应用.【精讲精析】由弦切角定理可得9.（2011新课标全国高考理科22）如图，分别为的边， 上的点，且不与的顶点重合.已知的长为，AC的长为n,，的长是关于的方程的两个根.（）证明：，四点共圆；（）若，且，求，所在圆的半径.【思路点拨】第（）问的证明流程为连接四点共圆；第（）问，利用平面几何的性质，设法寻求圆心位置，然后求得半径.【精讲精析】（I）连接DE，根据题意在ADE和ACB中， 即.又DAE=CAB,从而ADEACB，因此ADE=ACB， 所以C,B, D,E四点共圆.（） m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故AD=2，AB
6、=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A=90，故GHAB, HFAC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5.10.（2011辽宁高考理科22）（选修4-1：几何证明选讲）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED（I）证明：CD/AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆【思路点拨】（I）可证，即得CD/AB；（II）利用三角形全等及平行线的知识可证得，得结论【精讲精析】（I）因为，所以.因为 四点在同一圆上，所以，故，所以. （II）由（I）知，因为，故，从而.连接，则，故.又，所以.所以.故四点共圆.5