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1、考点39 椭圆一、选择题1.（2014福建高考文科12）在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是 （ ）【解题指南】本题是新定义问题，考查学生分析问题、解决问题的能力【解析】选A.以线段的中点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系不妨设，则由题意（为定值），整理得当时，方程化为，即，即当时，方程化为，即，即当时，方程化为，即所以A图象符合题意2.（2014福建高考理科9）设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A. B. C. D.【解题指南】两动点问题，可以化为一动一静，因此考虑与圆心联系
2、【解析】D.圆心M，设椭圆上的点为，则，当时，所以二、填空题3. （2014辽宁高考文科1）与（2014辽宁高考理科1）相同已知椭圆，点与点C的焦点不重合，若关于C的焦点的对称点分别为，线段的中点在C上，则【解析】根据题意，椭圆的左右焦点为，由于点的不确定性，不妨令其为椭圆的左顶点,线段的中点为椭圆的上顶点，则关于C的焦点的对称点分别为，而点，据两点间的距离公式得答案：【误区警示】 在无法明确相关点的具体情况的时候，可以取特殊情形处理问题。避免对一般情况处理的复杂性三、解答题4.(2014天津高考文科T18)设椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|
3、=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2错误！未找到引用源。.求椭圆的方程.【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2,故椭圆方程为=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0), =(c,c),由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.因为点P在椭圆上,故=1.由和
4、可得+4cx0=0,而点P不是椭圆的顶点,故x0=-,代入得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=2,故有=8+.解得c2=3.所以所求椭圆的方程为=1.5. （2014天津高考理科18）（本小题满分13分）设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.【解析】（1）设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.所以，椭圆的离心率.，所以，解得，.（2）由
5、（1）知，.故椭圆方程为.设.由，有，.由已知，有，即.又，故有. 又因为点在椭圆上，所以. 由和可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入得，即点的坐标为.设圆的圆心为，则，进而圆的半径.设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.由与圆相切，可得，即，整理得，解得.所以，直线的斜率为或.6. (2014新课标全国卷高考文科数学T20)(本小题满分12分)设F1,F2分别是椭圆+=1的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率.(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且=5,求a,b.【解题提示】(1)利用直线MN的斜率为再结合a2=b2+
6、c2表示出关于离心率e的方程,解方程求得离心率.(2)结合图形,利用椭圆的性质和焦半径公式求得a,b.【解析】(1)因为由题知, =,所以=,且a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=.所以C的离心率为.(2)由三角形中位线知识可知,MF2=22,即=4.设F1N=m,由题可知MF1=4m.由两直角三角形相似,可得M,N两点横坐标分别为c,- c.由焦半径公式可得:MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1NF1=41,e=,a2=b2+c2.联立解得a=7,b=2.所以,a=7,b=2.7. （2014浙江高考理科21）(本题满分15分)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公
7、共点，且点在第一象限.（1） 已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（2） 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.【解析】（1）设直线的方程为，由，消去得由于与只有一个公共点，故，即，所以解得点的坐标为，又点在第一象限，故点的坐标为（2）由于直线过原点且与直线垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离因为，所以当且仅当时等号成立所以，点到直线的距离的最大值为.8.(2014陕西高考文科T20)(本小题满分13分)已知椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(ab0)经过点(0,错误！未找到引用源。),离心率为错误！未找到引用源。,左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,
8、0). (1)求椭圆的方程.(2)若直线l:y=-错误！未找到引用源。x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,求直线l的方程.【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长,再由离心率及a,b,c间的关系,列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长,再利用椭圆与直线相交得AB的长,通过解方程得m值从而得解.【解析】(1)由题设知解得a=2,b=,c=1,所以椭圆的方程为+=1.(2)由题设,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,所以圆心到直线的距离d=.由d1得|m|.(*)所以|CD|=2=2=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-mx+m2-3=0,由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.所以|AB|=.由=得=1,解得m=,满足(*)所以直线l的方程为y=-x+或y=-x-7