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1、“三线合一”定理的灵活应用:三线合一定理 “三线合一”定理是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高互相重合该定理其实包括如下三个方面的内容：1等腰三角形底边上的中线，既是顶角的平分线，又是底边上的高线； 2等腰三角形顶角的平分线，既是底边上的高线，又是底边上的中线； 3等腰三角形底边上的高线，既是底边上的中线，又是顶角的平分线 显见，以上三方面的内容，给我们提供了证明线段相等、角相等、直线垂直的新思想和新方法在解答一些证明问题时，要注意灵活应用它们 例1如图，在ABC中，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE=DF 分析：依题意，DE
2、和DF分别为点D到BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在BAC的平分线上，即证明AD是BAC的平分线 证明：连接AD 因为AB=AC，BD=CD， 所以AD是等腰ABC底边BC上的中线 所以AD平分BAC 因为DEAB于E，DFAC于F， 所以DE=DF 说明：本题的解答过程中，应用了等腰ABC底边BC上的中线AD是顶角BAC的平分线的性质 例2如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，P是AD上的一点，求证：AB-ACPB-PC 分析：证明四条线段之间的不等关系，应把这四条线段转化为同一个三角形中的三边为了得到AB-AC的结果，可在AB上截取AE=AC，则有BE=AB-AC为此，
3、只要证明BEPB-PC即可 证明：在AB上截取AE=AC，连接PE、CE，CE交AD于F 因为AE=AC，AD平分BAC， 所以AF是等腰ACE的顶角CAE的平分线 所以AFCE，CFEF 即，AF是CE的垂直平分线 因为P在AF上， 所以PEPC 因为BEPB-PE，BE=AB-AE， 所以AB-ACPB-PC 说明：本题的解答过程中，应用了等腰ACE顶角CAE的平分线AF，是底边CE上的高线，同时又是底边CE上的中线的性质 例3如图，在ABC中，AB=AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，求证：DEBC 分析：注意到ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与顶角平分线
4、重合要证明DEBC，应先证明DE与这条高平行 证明：过A作AFBC于F 因为AB=AC 所以AF平分BAC 所以BAC=2BAF 因为AD=AE， 所以D=AED 所以BACD+AED=2D 所以BAF=D，DEAF 所以DEBC 说明：本题的解答过程中，应用了等腰ABC底边BC上的高AF是顶角BAC的平分线的性质 例4如图，ABC中，AB=AC，BDAC于点D，求证：CBD=1/2BAC 分析：为了得到1/2BAC，可考虑作BAC的平分线这样，把证明两角成倍数关系转化为证明两角是相等关系 证明：作BAC的平分线AE交BC于点E，那么1=2=1/2BAC 因为AB=AC，AE平分BAC， 所以AE是等腰ABC顶角BAC的平分线 所以AEBC于点E 所以AEC=90，1+C=90， 因为BDAC于点D， 所以BDC=90，CBD+C=90 所以CBD=1=1/2BAC 说明：本题的解答过程中，应用了等腰ABC顶角BAC的平分线是底边BC上的高线的性质 第 4 页 共 4页