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1、常考问题2函数与方程及函数的应用 (建议用时：50分钟) 1“a3”是“函数f(x)ax3在(1,2)上存在零点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由于“函数f(x)ax3在(1,2)上存在零点”f(1)f(2)0(a3)(2a3)0a3，则“a3”是“函数f(x)ax3在(1,2)上存在零点”的充分不必要条件答案A2已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B2,0 C D0解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2 x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.答案D3
2、函数f(x)xsin x在区间0,2上的零点个数为()A1 B2 C3 D4解析在同一坐标系内作出函数yx及ysin x在0,2上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在0,2上有两个零点答案B4设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析法一因为fln10，f(1)ln 10，f(e)ln e10，f(1)f(e)0，即函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，x02.答案28我们把形如y(a0，b0)的
3、函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a1，b1时的“囧函数”与函数ylg|x|的交点个数为n，则n_.解析由题意知，当a1，b1时，y在同一坐标系中画出“囧函数”与函数ylg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点答案49设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根b24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24a
4、b4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0,1)10某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x3a)(12x)2，x9,11(2)L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)令L0，得x6a
5、或x12(不合题意，舍去)3a5，86a.在x6a两侧，L的值由正变负所以当86a9，即3a时，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)；当96a，即a5时，LmaxL243，所以Q(a)故若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)9(6a)(万元)；若a5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)43(万元)11已知函数f(x)ln x2x6.(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过.(1)证明f(x)的定义域为(0，)，且f(x)是增函数f(2)ln 220，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上至少有一个零点又因f(x)在(0，)上是增函数，从而f(x)在(0，)上有且只有一个零点(2)解由(1)知f(2)0.f(x)的零点x0(2,3)取x1，fln 1ln ln e0，ff(3)0，ff0.x0且，即为符合条件的区间5