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1、常考问题5导数的综合应用(建议用时：60分钟)1已知函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是()A. B. C(，2 D(，2)解析f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0，a1，f(1).答案D3函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为()A.B.C.D.解析构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0
2、.答案A4已知f(x)是定义在(0，) 上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的0ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)解析因为xf(x)f(x)，f(x)0，所以0，则函数在(0，)上单调递减由于0ab，则，即af(b)bf(a)答案A5(2013辽宁卷)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析由x2f(x)2xf(x)，得f(x)，令g(x)ex2x2f(x)，x0，则g(x)ex2x2f
3、(x)4xf(x)ex2.令g(x)0，得x2.当x2时，g(x)0；0x2时，g(x)0，g(x)在x2时有最小值g(2)e28f(2)0，从而当x0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数，所以函数f(x)无极大值，也无极小值答案D6(2013温州模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；
4、当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案(4,0)7若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析对f(x)求导，得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)m
5、in，又函数h(x)在x1,2上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)minh(2)，故只需a.答案9(2013安徽卷)设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2.故f(x)0的解集为x|x1xx2因此区间I，I的长度为.(2)设d(a)，则d(a).令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在
6、a1k或a1k处取得而1.故d(1k)d(1k)因此当a1k时，d(a)在区间1k，1k上取得最小值.10(2013东北三校联考)已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线yb与函数yf(x)的图象有3个交点，求b的取值范围解f(x)的定义域为(1，)(1)f(x)2x10，又f(3)6100，a16.经检验此时x3为f(x)的极值点，故a16.(2)由(1)知f(x).当1x3时，f(x)0；当1x3时，f(x)162101616ln 29f(1)，f(e21)321121f(3)，所以根据函数f(x)的大致图象可判断，
7、在f(x)的三个单调区间(1,1)，(1,3)，(3，)内，直线yb与yf(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)b0.(1)解f(x)ex，由x0是f(x)的极值点，得f(0)0，所以m1，于是f(x)exln(x1)，定义域为x|x1，f(x)ex，函数f(x)ex在(1，)上单递增，且f(0)0，因此当x(1,0)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)证明当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0，当m2时，函数f(x)ex在(2，)上单调递增又f(1)0，故f(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0，得ex0，即ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.5