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1、考点25 数列求和及综合应用一、选择题1. （2013新课标高考理科12）设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则（ ）A、Sn为递减数列B、Sn为递增数列C、S2n1为递增数列，S2n为递减数列D、S2n1为递减数列，S2n为递增数列【解析】选B.因为，所以，注意到，所以.于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值.因为，所以，当时，有，即，于是的边的高随增大而增大，于是其面积为递增数列.二、填空题2.（2013新课标高考理科14）若数列的前项和，则的通项公式是_【解题指南】先利用S1
2、=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.【解析】由，解得，又，所以，得 ，所以数列是首项为1，公比为的等比数列.故数列的通项公式【答案】3. （2013湖南高考理科15）设为数列的前n项和，则（1）_；（2）_.【解题指南】（1） 令，代入 即可得到答案.（2）通过整理可发现当当为偶数时有，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案.【解析】（1）因为，所以， ，即 ， 把代入得.（2）因为当时，整理得，所以，当为偶数时，当为奇数时，所以，所以，所以当为偶数时，所以.【答案】（1） （2）4. （2013重庆高考理科12）已知是等差数列，公差，为其前项和，若、成等比数列，则
3、 【解题指南】先根据、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出.【解析】因为、成等1比数列, 所以,化简得因为,所以,故【答案】三、解答题5.（2013大纲版全国卷高考理科22）已知函数（I）若；（II）设数列【解析】（I），令，即，解得或若，则时， ，所以.若，则时，所以.综上的最小值为.（II）令，由（I）知，时，.即.取，则.于是.所以6.(2013浙江高考文科T19)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解题指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a
4、1与d的关系,进而可求得d与an.(2)由d0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.【解析】(1)由题意得,5a3a1=(2a2+2)2,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.(2)设数列an前n项和为Sn,因为d0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,满足an+1=f(an),nN*.(1)若a1=-c-2,求a2及a3.(2)求证:对任意nN*,an+1-anc.(3)是否存在a1,使得a1,a2,an,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【
5、解析】(1)a2=2,a3=c+10.(2)f(x)=当an-c时,an+1-an=c+8c.当-c-4an-c时,an+1-an=2an+3c+82(-c-4)+3c+8=c;当an-2(-c-4)-c-8=c;所以,对任意nN*,an+1-anc.(3)由(2),结合c0,得an+1an,即an为无穷递增数列,又an为等差数列,所以存在正数M,当nM时,an-c,从而an+1=f(an)=an+c+8,由于an为等差数列,因此其公差d=c+8.若a1-c,所以an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,an为无穷等差数列,符合要求.若-c-4a1-c,则
6、a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.若a1-c,则由ana1得到an+1=f(an)=an+c+8,从而an为无穷等差数列,符合要求.综上a1的取值集合为-c-8-c,+). 9.（2013上海高考文科T22）已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，an成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.(2)a2
7、=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.当02时,a3=2-(a1-2)=4-a1,所以a1(4-a1)=(2-a1)2,得a1=2-(舍去)或a1=2+.综合得a1=1或a1=2+.(3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1|.由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*).以下分情况讨论:当a12时,由(*)得a1=0,与a12矛盾;当00,因此存在m2使得am=a1+2(m-1)2.此时d=am+1-am=2-|am|-ama1a9,求a1的取值范围.【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第(2)
8、问,直接按基本量列式求解.【解析】(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9,所以5a1+10+8a1,即+3a1-100,解得-5a12. 15.（2013广东高考理科19）设数列的前n项和为，已知，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.【解析】（1）因为，在中令，可得；（
9、2）由已知可得，即，则当时，可得，也就是，同除以可得，数列是公差为1的等差数列，且，所以，显然也满足，即所求通项公式为.（3）当时，结论成立；当时，结论成立；当时，则，即对一切，成立.16.（2013广东高考文科19）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列(1) 证明：；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明：对一切正整数，有【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.【解析】（1）当时，因为，所以； （2）当时，因为，所以，当时，是公差的等差数列.因为构成等比数列
10、，解得,由（1）可知，又因为，则是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.（3）17. （2013山东高考理科20）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（） 求数列an的通项公式；（） 设数列bn的前n项和Tn，且Tn+ = （为常数），令cn=b2n，（n）.求数列cn的前n项和Rn.【解题指南】（）先设出等差数列的首项和公差，然后根据可列方程组求得数列的通项公式；（）先根据前n项和与通项的关系求出的通项公式，由cn=b2n求出的通项，再利用错位相减法求出Rn.【解析】（）设等差数列的首项为，公差为d，由得解得，因此（）由题意知，所以时，=故所以，则，两式相减得
11、 整理得，所以 数列的前n项和.18. （2013山东高考文科20）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（） 求数列an的通项公式；（）设数列满足 ，求的前项和.【解题指南】（）先设出等差数列的首项和公差，然后根据可列方程组求得数列的通项公式；（）先根据求出bn的通项公式,再利用错位相减法求出Tn.【解析】（）设等差数列的首项为，公差为d，由得解得，因此（）由已知,当时，当时，所以，由（）知，所以，又，两式相减得， ，所以.19. （2013陕西高考文科17）设Sn表示数列的前n项和. () 若是等差数列, 推导Sn的计算公式; () 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列，并证明你的结论. 【解题指南】倒序相加法推导等差数列的前n项和；利用推导的通项公式判断是否为等比数列.【解析】() 设公差为d,则，.() 是等比数列.证明如下：因为，又因为，所以当n1时，有因此,是首项1,公比的等比数列. 20. （2013新课标高考文科17）已知等差数列的前项和满足，.（）求的通项公式；（）求数列的前项和.【解题指南】（）利用，求出等差数列的首项及公差，利用求出的通项公式；（）将（）中的通项公式，代入到中，利用裂项相消法求前项和.【解析】（）设数列的公差为，则.由已知可得解得故的通项公式为.（）由（）知，从而数列的前项和为15