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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学 选修 4-5 学问点1、不等式的基本性质对称性 abba11传递性ab bcac可加性 abacbc同向可加 性ab,cdacbd异向可减 性ab,cdacbd可积性ab,c0acbcab,c0acbc 同向正数 可乘性ab0,cd0acbd异向正数 可除性ab0,0cdab平方法就abcd0anbnnN,且n1开方法就ab0nanb nN,且n1倒数法就ab011;ab0abab2、几个重要不等式2 2 a 2b 22 ab a,b R , 当且仅当 a b 时取 号 . 变形公式：ab a b.2a b 基本不等式ab a,b R
2、 ,当且仅当 a b 时取到等号 . 22变形公式：a b 2 ab ab a b .2用基本不等式求最值时积定和最小,和定积最大,要留意满意三个条件“ 一正、二定、三相等”. 三个正数的算术几何平均不等式a b c 3 abc a、 、c R 当且仅当 a b c时取到等号 .3 a 2b 2c 2ab bc ca a,b R当且仅当 a b c时取到等号 . 3 3 3 a b c 3 abc a 0, b 0, c 0当且仅当 a b c时取到等号 . 如 ab 0, 就 b a 2当仅当 a=b 时取等号a b如 ab 0, 就 b a 2当仅当 a=b 时取等号a b b b m 1
3、 a n a,其中 a b 0,m 0,n 0a a m b n b规律：小于 1 同加就变大,大于 1 同加就变小 . 当 a 0 时,x a x2a2x a 或 x a ;1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - xax2a2aaxa .肯定值三角不等式abbab3、几个闻名不等式平均不等式：21ababa22 b,（a bR,当且仅当 ab时取 号 . a1b22即调和平均几何平均算术平均平方平均 . 变形公式：aba2b2a 22b2;a2b2ab2 .2幂平均不等式：a 12a 22.a n21 a 1a 2.
4、a n2 .y 22x 1,y x2,y2R .n二维形式的三角不等式：x 1x 22y 12 x 12 y 1x 22y 22二维形式的柯西不等式：a2b2c2d2acbd2 , , , a b c dR.当且仅当 adbc 时,等号成立 . 三维形式的柯西不等式：2 a 1a 22a32b 12b 222 b 3a b 1 1a b 2 2a b 32 .一般形式的柯西不等式：2 a 1a 22.an2b 12b 22.b n2a b 1 1a b 2.a b n2 .向量形式的柯西不等式：设 , 是两个向量,就 , 当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,使 k 时,等号成立 .排序不等式
5、排序原理：设 a 1 a 2 . a n , b 1 b 2 . b 为两组实数 . c c 2 ,., c 是 b b 2 ,., b 的任一排列,就a b n a b n 1 . a b 1 a c 1 1 a c 2 . a c n a b 1 1 a b 2 . a b n .反序和 乱序和 次序和 ,当且仅当a 1 a 2 . a 或 b 1 b 2 . b 时,反序和等于次序和 . 琴生不等式 : 特例 : 凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数ff x , 对于定义域中任意两点x 1,x 2x 1x 2,有. fx 12x2f x 12f x 2或x 12x 2f x 12f x
6、2.就称 fx 为凸或凹函数4、不等式证明的几种常用方法常用方法有： 比较法作差,作商法、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法 等. 常见不等式的放缩方法：2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 舍去或加上一些项,如a1 223ak12 ;k2k1k2k1,42将分子或分母放大缩小,如111,111,2k2k kk2k k2k1k2k1kN*,k1等. k5、一元二次不等式的解法不求一元二次不等式ax2bxc0或0. . a0,b24 ac0解集的步骤：一化：化二次项前的
7、系数为正数. 二判：判定对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：依据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边6、高次不等式的解法：穿根法. 奇穿偶切 ,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿7、分式不等式的解法：先移项通分标准化,就f x 0f x g x 00“或” 时同理. g x f x 0f x g x g x 0g x 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解f x a a0f x 02或f x 0f x a2f x a a0f
8、x 0f x a2f x g x f x 0g x 0g x 0f x g x f x g x f x 02g x 0f x g x 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x 0 f x g x g x 0f x g x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“ 小” 的一边分析求解 . 9、指数不等式的解法：当a1时,af ag xf x g x g x 当 0a1 时 , af ag x f x 规律：依据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法当a1时, logaf x logag x f
9、x 0.g x 0当 0a1 时 , logaf x logag x f x g x f x 0g x 0规律：依据对数函数的性质转化. f x g x 11、含肯定值不等式的解法：定义法：aaa0. 02 g2 .a a平方法：f x g x f同解变形法,其同解定理有：xaaxa a0;g x 0xaxa 或xa a0;f x g x g x f x f x g x f g x 或f x g x g x 0规律：关键是去掉肯定值的符号. 12、含有两个或两个以上肯定值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段争论去肯定值、每段中取交集,最终取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如a
10、x2bxc0且含参数的不等式时,要对参数进行分类争论,分类争论的标准有：4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 争论 a 与 0 的大小；争论 与 0 的大小；争论两根的大小 . 14、恒成立问题不等式ax2bxc0的解集是全体实数或恒成立的条件是：当a0时b0,c0;a0当a0时0.不等式ax2bxc0的解集是全体实数或恒成立的条件是：当a0时b0,c0;a0当a0时0.f x a 恒成立f x maxa;f a 恒成立f maxa ;f x mina;f x a 恒成立f x a 恒成立f x mina .15、线
11、性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判定：法一：取点定域法：由于直线 Ax By C 0 的同一侧的全部点的坐标代入 Ax By C 后所得的实数的符号相同 .所以, 在实际判定时,往往只需在直线某一侧任取一特别点 x 0 , y 0 如原点,由 Ax 0 By 0 C 的正负即可判定出 Ax By C 0 或0 表示直线哪一侧的平面区域 . 即：直线定边界,分清虚实；选点定区域,常选原点 . 法二： 依据 Ax By C 0 或 0 ,观看 B 的符号与不等式开口的符号,假设同号,Ax By C 0 或 0表示直线上方的区域；假设异号,就表示直线上方的区域 . 即：同号上方,异号下方
12、.二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 . 利用线性规划求目标函数 z Ax By , A B 为常数的最值：法一：角点法：假如目标函数zAxBy x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标的最值存在,就这些最值都在该公共区5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应z 值,最大的那个数为目标函数z 的最大值,最小的那个数为目标函数z 的最小值法二：画移定求：第一步,在平面直角坐标系中画出可行域；其次步,作直
13、线l0:AxBy0,平移直线0l 据可行域,将直线0l 平行移动确定最优解；第三步,求出最优解 , x y ；第四步,将最优解 , x y 代入目标函数zAxBy 即可求出最大值或最小值 . 其次步中 最优解的确定方法：利用 z 的几何意义：yAxz,z B为直线的纵截距. z 取得最大值, 使直线的纵截距最小BB假设B0,就使目标函数zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处,的角点处,z 取得最小值；zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得最小值, 使直线的纵截距最小假设B0,就使目标函数的角点处,z 取得最大值 . 常见的目标函数的类型：“ 截距” 型：zAxBy;几何意义 求解,从而使问题简洁化.“ 斜率” 型：zy或zyb;xxa“ 距离” 型：zx22 y 或z2 xy2;zxa2yb2或zxa 2y2 b .在求该 “ 三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页