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1、精选学习资料 - - - - - - - - - . 数 列一数列的概念：（1）已知an2 nnnN*,就在数列 a n的最大项为 _（答：1）；an1）；15625（2）数列an的通项为a nan1,其中a,b均为正数,就a 与a n1的大小关系为 _（答：a nbn（3）已知数列 a n中,ann2n ,且 an是递增数列,求实数的取值范畴（答：3 ）；二等差数列的有关概念：1等差数列的判定方法：定义法an1and d为常数）或an1ana na n1n2；,n10*）；设 a n是等差数列,求证：以bn=a 1a 2nannN*为通项公式的数列nb为等差数列；2等差数列的通项：a na1
2、n1 d 或anam nm d ；1 等差数列 a n 中,a 1030,a2050,就通项a n（答： 2n10）；（2）首项为 -24 的等差数列,从第10 项起开头为正数,就公差的取值范畴是_（答：8 3d3）3等差数列的前n 和：S nn a 12an,S nna 1n n1d ；2（1）数列a n中,a nan11 2n2,nN*,an3,前 n 项和S n15,求a ,n（答：a 1322N*（2）已知数列a n的前 n 项和S n12 n2 n ,求数列 |a n|的前 n 项和nT（答：T n12nn2n6,n）. n212n72n6,nN三等差数列的性质：1当公差d0时,等差
3、数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d 是关于 n 的一次函数,且率为公差d ；前 n 和S nna 1n n1ddn2a 1dn 是关于 n 的二次函数且常数项为0. 222第 1 页,共 7 页2如公差d0,就为递增等差数列,如公差d0,就为递减等差数列,如公差d0,就为常数列；3当 mnpq 时, 就有ama napaq,特殊地,当mn2p 时,就有a ma n2 a . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）等差数列 a n中,S n18,a na n1a n23,S 31,就 n _ （答： 27）（2）在等差数列a
4、n中,a 100,a 110,且a 11|a 10|,S 是其前 n 项和,就都大于 0 A、S S 2S 10都小于 0,S 11,S 12都大于 0 B、S S 2S 19都小于 0,S 20,S 21都大于 0 D、都大于 0 C、S S 2S 都小于 0,S S 7S S 2S 都小于 0,S 21 ,S 22（答： B）4 如 a n 、 b n 是 等 差 数 列 , 就 ka n 、 ka n pb n k 、 p 是 非 零 常 数 、 a p nq p q N *、S S n 2 n S S n 3 n S 2 n, 也成等差数列,而 a a n 成等比数列；如 a n 是等
5、比数列,且 a n 0,就 lg a n 是等差数列 . 等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,就它的前 3n 和为；（答： 225）5在等差数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时,S 偶S 奇 nd；项数为奇数 2 n 1 时,S 奇 S 偶 a 中,2 n 1 2 n 1 a中（这里 a中 即 a ）；S 奇 : S 偶 k 1: k ；如（1）在等差数列中,S1122,就 a _（答： 2）；6（2）项数为奇数的等差数列 a n 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数（答：5；31）. 6如等差数列 a n 、 b n 的前 n和分别为 A
6、、B ,且 B A nn f n ,就 ab n n 22 nn 11 ab n nB A 22 nn 11 f 2 n 1 . 如设 a 与 b 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S 和 T ,如 S n 3 n 1,求 a n（答：6 n 2）T n 4 n 3 b n 8 n 77“ 首正” 的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是全部非负项之和；“ 首负” 的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是全部非正项之和；法一：由不等式组 a n 0或 a n 0 确定出前多少项为非负（或非正）；a n 1 0 a n 1 0法二：因等差数列前 n 项是关于 n的二次函数,故可转化为求二
7、次函数的最值,但要留意数列的特殊性 n N ；*（1）等差数列 a n 中,a 1 25,S 9 S ,问此数列前多少项和最大？并求此最大值；（答：前 13 项和最大,（2）如 a n 是等差数列,首项 a 1 0, a 2003 a 2004 0,a 2003 a 2004 0,就使前 n 项和 S n 0 成立的最大正整数 n 是名师归纳总结 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （答： 4006）8假如两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 . 留意：
8、公共项仅是公共的项,其项数不肯定相同,即争论 a n b . 四等比数列的有关概念：1等比数列的判定方法：定义法 a n 1 q q 为常数 ）,其中 q 0, a n 0 或 a n 1 a n n 2；a n a n a n 1（1）一个等比数列 a 共有 2 n 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,就 a n 1 为_（答：5）；6（2）数列 a n 中,S =4 a n 1 +1 n 2 且 1a =1,如 b n a n 1 2 a n,求证：数列b 是等比数列；2等比数列的通项：a n a q n 1或 a n a q n m；设等比数列 a n 中,a 1 a n
9、 66,a a n 1 128,前 n 项和 S 126,求 n 和公比 q . （答：n n 6,q 1或 2）2n3等比数列的前 n 和：当 q 1 时,S n na ；当 q 1 时,S n a 11 q a 1 a q；如1 q 1 q（1）等比数列中,q 2,S99=77,求 a 3 a 6 a 99（答： 44）特殊提示：等比数列前 n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n项和时,第一要判定公比 q 是否为 1,再由 q 的情形挑选求和公式的形式,当不能判定公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q 1 和 q 1 两种情形争论求解；4提示：（1）等比数列的通项公式及前 n 和
10、公式中,涉及到 5 个元素：1a 、q 、n 、a 及 S ,其中 a 、q 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（2）为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为 ,a2, a a aq aq 2 （公比为 q）；但偶数q q个数成等比时,不能设为a3 , a , aq , aq 3, ,因公比不肯定为正数,只有公比为正时才可如此设,且q q公比为 q；如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 216,其次个数与第三个数的和为 12,求此四个数；（答： 15,9 ,3,1 或 0,
11、4 ,8,16 ）5. 等比数列的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）当 mnpq 时,就有a ma napa ,特殊地,当mn2p 时,就有a ma nap2. （1）在等比数列 a n 中,a 3 a 8 124, a a 7 512,公比 q 是整数,就 a =_（答： 512）；10（2）各项均为正数的等比数列 a n 中,如 a 5 a 6 9,就 log 3 a 1 log 3 a 2 log 3 a 10（答： 10）；2 如 a n 是等比数列,就 | a n |、 a p nq p q N
12、 *、 ka n 成等比数列；如 a n 、b n 成等比数列,就 a b n 、 a n 成等比数列；如 a n 是等比数列, 且公比 q 1,就数列 S n , S 2 n S n , S 3 n S 2 n, 也是等比数列； 当 q 1,b n且 n为偶数时,数列 S S 2 n S S 3 n S 2 n, 是常数数列 0,它不是等比数列 . （ 1 ） 已 知 a 0 且 a 1, 设 数 列 nx 满 足 log a x n 1 1 log a x n n N *, 且 x 1 x 2 x 100 100, 就100x 101 x 102 x 200 答：100a）；（2）在等比数
13、列 a n 中,S 为其前 n 项和,如 S 30 13 S 10 , S 10 S 30 140,求 S 20 的值（答： 40）3 如 a 1 0, q 1,就 a n 为递增数列；如 a 1 0, q 1 , 就 a n 为递减数列；如 a 1 0,0 q 1,就 a n 为递减数列；如 a 1 0,0 q 1 , 就 a n 为递增数列；如 q 0,就 a n 为摇摆数列；如 q 1,就 a n 为常数列 . 4 当 q 1 时,S n a 1q n a 1 aq n b,这里 a b 0,但 a 0, b 0,这是等比数列前 n项和公式的一1 q 1 q个特点,据此很简单依据 S ,
14、判定数列 a n 是否为等比数列；如 a n 是等比数列,且 S n 3 nr ,就 r （答： 1）5 S m n S m q S mn S n q S . 如设等比数列 n a n 的公比为 q ,前 n 项和为 S ,如 S n 1 , S S n 2 成等差数列,就q 的值为 _（答： 2）6 在等比数列 a n中,当项数为偶数2n 时, S 偶qS 奇；项数为奇数2n1时,S 奇a 1nqS 偶. 7 假如数列 an既成等差数列又成等比数列,那么数列 an 是非零常数数列,故常数数列 a仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件；设数列a n的前 n 项和为S （nnN）,
15、关于数列an有以下三个命题：如anan1nN,就an既是等差名师归纳总结 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数列又是等比数列；如Snan2bna、bR,就an是等差数列；如S n11n,就an是等比数列；这些命题中,真命题的序号是（答：）五. 数列的通项的求法：公式法：已知 S （即 a 1 a 2 a n f n ）求 na ,用作差法：a n SS 1n , nS n 11 , n 2；已知 a n 的前 n 项和满意 log S n 1 n 1,求 a （答：a n 3,2 , n nn 12）；数列 a n 满意 12 a
16、 12 12 a 22 1n a n 2 n 5,求 a （答：a n 14,2 n 1 n, n 12）f 1, n 1已知 a a 2 a n f n 求 a ,用作商法：a nf n f n 1 , n 2；如数列 a n 中,1a 1 , 对全部的 n 2 都有a 1 a 2 a 3 a n n 2,就 a 3 a 5 _（答：61）16如 a n 1 a n f n 求 a 用累加法：a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a 2 a 1 1a n 2；如已知数列 a n 满意 a 1 1,a n a n 1 1 n 2,就 a =_（答：a n n 1 2 1）n 1
17、n已知 a n 1 f n 求 a ,用累乘法：a n a n a n 1 a 2 a 1 n 2；如已知数列 a n 中,a 1 2,前 n 项和 S ,a n a n 1 a n 2 a 1如 S n n 2a n,求 a （答：a n 4）n n 1已知递推关系求 a ,用构造法（构造等差、等比数列）；特殊地,（1）形如 a n ka n 1 b 、a n ka n 1 b （nk b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 a ；名师归纳总结 第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知a 11
18、,a n3 a n12,求a （答：na nn 2 311）；已知a 11,a n3 a n12n,求a （答：a n5 3 n12 n1）；（n2,当n1时,a1S 1）；（2）形如a na n1b的递推数列都可以用倒数法求通项；ka n1已知a 11, a na n11,求a （答：an12）；3 a n13 n已知数列满意1a =1,a n1a na a n1,求a （答：a n1）n2留意：（1）用a nS nS n1求数列的通项公式时,你留意到此等式成立的条件了吗？（2）一般地当已知条件中含有a 与S 的混合关系时, 常需运用关系式a nS nS n1,先将已知条件转化为只含na 或
19、S 的关系式,然后再求解；如数列a n满意a 14,S nS n15an1,求na （答：a n4, nn3 4112）3,n六. 数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式,特殊声明：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1的关系,必要时需分类争论 . ；常用公式：1 2 3 n 12 n n 1,1 22 2n 2 16 n n 12 n 1,1 32 33 3n 3 n n 1 2. 如2n（1）等比数列 a n 的前 n 项和 S2 ,就 a 1 2a 2 2a 3 2a n 2_（答：4 1）；32分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“ 和式” 中“
20、 同类项” 先合并在一起,再运用公式法求和 . 如求：S n 1 3 5 7 1 2 nn 1（答： 1 n n ）3倒序相加法： 如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法）. 2已知 f x x2,就 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1f 1f 1_（答：7）1 x 2 3 4 24错位相减法：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 an为等比数列,Tnna 1n1 a22an1a ,已知T 11,T
21、24,求数列 an的首项和公比；求数列 T n 的通项公式 . （答： a 1 1,q 2； T n 2 n 1 n 2）；5裂项相消法：假如数列的通项可“ 分裂成两项差” 的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和 .常用裂项形式有：1 n n11 nn11； 1 n nk1 1 k nn1k；1；1k111k11k11,111111k222kk1k1 kk2k1 kk1k1111n1n2； nn1.1n11.；n .n n1n22n n12n1n21n2n12nn1. nn1n（1）求和：114113n1（答：3n1）；473 n2n（2）在数列 a n中,a nn1n1,且 S,就 n_（答： 99）；6通项转换法：先对通项进行变形,发觉其内在特点,再运用分组求和法求和；如名师归纳总结 求数列 1 4,2 5,3 6, ,nn3, 前 n项和S = （答：n n1n5）；第 7 页,共 7 页3求和：111211311n（答：2n）2n123- - - - - - -