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1、. 数列一数列的概念：（1）已知*2()156nnanNn，则在数列na的最大项为 _（答：125） ；（2）数列na的通项为1bnanan，其中ba,均为正数，则na与1na的大小关系为_（答：na1na） ；（3）已知数列na中，2nann，且na是递增数列，求实数的取值范围（答：3） ；二等差数列的有关概念：1等差数列的判断方法：定义法1(nnaad d为常数）或11(2)nnnnaaaan。设na是等差数列，求证：以bn=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。2等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanm d。(1) 等差数列na中，1030a，2050a，则通项
2、na（答：210n）；（2）首项为 -24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：833d）3等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。（1）数列na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前 n 项和152nS，求1a，n（答：13a，10n）；（2） 已知数列na的前 n 项和212nSnn， 求数列|na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN） . 三等差数列的性质：1当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且率为公差d；前n和211(1)()22
3、2nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0. 2若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。3当mnpq时, 则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页（1）等差数列na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n_ （答： 27）（2）在等差数列na中，10110,0aa，且1110|aa，nS是其前n项和，则A、1210,S SS都小于 0，1112,SS都大于 0 B、1219,S SS都小于 0
4、，2021,SS都大于 0 C、125,S SS都小于 0，67,S S都大于 0 D、1220,S SS都小于 0，2122,SS都大于 0 （答： B）4 若na、nb是 等 差 数 列 ， 则nka、nnkapb (k、p是 非 零 常 数 ) 、*(,)pnqap qN、232,nnnnnS SS SS，也成等差数列，而naa成等比数列；若na是等比数列，且0na，则lgna是等差数列 . 等差数列的前n项和为 25，前 2n项和为 100，则它的前3n和为。 （答： 225）5 在等差数列na中， 当项数为偶数2n时，SSnd偶奇； 项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nS
5、na中（这里a中即na） ；:(1):奇偶SSkk。如（1）在等差数列中，S1122，则6a_（答： 2） ；（2）项数为奇数的等差数列na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）. 6若等差数列na、nb的前n和分别为nA、nB，且( )nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. 如设 na 与nb是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，求nnba（答：6287nn）7“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项
6、之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。（1）等差数列na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前 13 项和最大，（2）若na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页（答： 4006）8如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数
7、列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab. 四等比数列的有关概念：1等比数列的判断方法：定义法1(nnaq qa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。（1）一个等比数列na 共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为_（答：56） ；（2）数列na中，nS=41na+1 (2n) 且1a=1，若nnnaab21，求证：数列nb是等比数列。2等比数列的通项：11nnaa q或nmnmaa q。设等比数列na中，166naa，21128na a，前n项和nS126，求n和
8、公比q. （答：6n，12q或 2）3等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naa qq。如（1）等比数列中，q2，S99=77，求9963aaa（答： 44）特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1 时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到 5 个元素：1a 、q、n、na 及nS ，其中1a 、q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求
9、2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，22,aaa aq aqqq（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为33,aqaqqaqa，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答： 15，,9 ，3,1 或 0,4 ，8,16 ）5. 等比数列的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页（1）当mnpq时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp
10、时，则有2mnpaaa. （1）在等比数列na中，3847124,512aaa a，公比 q 是整数，则10a=_（答： 512） ；（2）各项均为正数的等比数列na中，若569aa，则3132310logloglogaaa（答： 10） 。(2) 若na是等比数列，则|na、*(,)p nqap qN、nka成等比数列；若 nnab、成等比数列，则nna b、nnab成等比数列；若na是等比数列， 且公比1q， 则数列232,nnnnnSSSSS， 也是等比数列。 当1q，且n为偶数时，数列232,nnnnnS SS SS，是常数数列0，它不是等比数列. （ 1 ） 已 知0a且1a， 设
11、数 列nx满 足1log1logananxx(*)nN， 且12100100 xxx， 则101102200 xxx答：100100a） ；（2）在等比数列na中，nS为其前 n 项和，若140,1330101030SSSS，求20S的值（答： 40）(3) 若10,1aq，则na为递增数列；若10,1aq, 则na为递减数列；若10,01aq，则na为递减数列；若10,01aq, 则na为递增数列；若0q，则na为摆动数列；若1q，则na为常数列 . (4) 当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列
12、na是否为等比数列。若na是等比数列，且3nnSr，则r（答： 1）(5) mnm nmnnmSSq SSq S. 如设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若12,nnnSS S成等差数列，则q的值为 _（答： 2）(6) 在等比数列na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶. (7) 如果数列na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列，故常数数列na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。设数列na的前n项和为nS（Nn） ， 关于数列na有下列三个命题：若)(1Nnaann，则na既是等差精选学习资料 - - - - - - -
13、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页数列又是等比数列；若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；若nnS11，则na是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：）五. 数列的通项的求法：公式法：已知nS（即12( )naaaf n）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。已知na的前n项和满足2log (1)1nSn，求na（答：3,12 ,2nnnan） ；数列na满足12211125222nnaaan，求na（答：114,12,2nnnan）已知12( )na aaf n求na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf n
14、anf n。如数列na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa_（答：6116）若1( )nnaaf n求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n。 如已知数列na满足11a，nnaann111(2)n， 则na=_ （答：121nan）已知1( )nnaf na求na， 用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。 如已知数列na中，21a， 前n项和nS，若nnanS2，求na（答：4(1)nan n）已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递
15、推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页已知111,32nnaaa，求na（答：12 31nna） ；已知111,32nnnaaa，求na（答：115 32nnna） ；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。已知1111,31nnnaaaa，求na（答：132nan） ；已知数列满足1a=1，11nnnnaaa a，求na（答：21nan）注意： （1） 用1nnnSSa求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n， 当1n时
16、，11Sa） ；（2） 一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时， 常需运用关系式1nnnSSa， 先将已知条件转化为只含na或nS的关系式，然后再求解。如数列na满足11154,3nnnaSSa，求na（答：14,13 4,2nnnan）六. 数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论. ；常用公式：1123(1)2nn n，222112(1)(21)6nn nn，33332(1)1232n nn. 如（1）等比数列na的前n项和 S2，则2232221naaaa_（答：413n） ；2分组
17、求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：1357( 1) (21)nnSn（答：( 1)nn）3倒序相加法： 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）. 已知22( )1xf xx，则111(1)(2)(3)(4)( )( )()234fffffff_（答：72）4错位相减法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页设na为等比数列，121(1)2nnn
18、Tnanaaa，已知11T，24T，求数列na的首项和公比；求数列nT的通项公式 . （答：11a，2q；122nnTn） ；5裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：111(1)1n nnn； 11 11()()n nkk nnk；2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；2122(1)2(1)11nnnnnnnnn. （1）求和：1111447(32)(31)nn（答：31nn） ；（2）在数列na中，11nnan，且 S，则n_（答： 99） ；6通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列1 4，25，36，(3)nn，前n项和nS= （答：(1)(5)3n nn） ；求和：111112123123n（答：21nn）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页