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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中必修一一些重点函数值域求法十一种 . 复合函数 . 一、复合函数的概念 . 二、求复合函数的定义域：. 9复合函数单调性相关定理 . 10 函数奇偶性的判定方法 . 10 指数函数： . 12 幂函数的图像与性质 . 15 名师归纳总结 第 1 页,共 19 页 1 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数值域求法十一种1. 直接观看法 对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；例 1. 求函数y1的值域； 0,x解：x010x明显函数的值域是：,0 例 2. 求函数y3x的值域；解：x0x,0
2、3x3故函数的值域是：, 32. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例 3. 求函数yx22x5,x,12的值域；,当x1 时,y max8解：将函数配方得：yx1 24x,12x=1 时,y min4由二次函数的性质可知：当故函数的值域是：4,8 3. 判别式法例 4. 求函数y11xxx2的值域；20（1）0在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,2解：原函数化为关于x 的一元二次方程y1 x2y1x0（1）当y1时,xR1 24y1 y10解得：1y322（2）当 y=1 时,x0,而11,322故函数的值域为1,322例 5. 求函数yxx2x的值域；解：两
3、边平方整理得：2x22 y1 xyxR0x24y1 28y0解得：12y12但此时的函数的定义域由x2x0,得由0 ,仅保证关于x 的方程：2x22 y1xy2名师归纳总结 第 2 页,共 19 页 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即不能确保方程（1）有实根,由0 求出的范畴可能比y 的实际范畴大,故不能确定此函数的值域为1,3；22可以实行如下方法进一步确定原函数的值域；0x2x0yxx2y min0,y12代入方程（ 1）解得：x12222420, 2即当x1222422时,原函数的值域为：1,02注：由判别式法来判定函数的值域时,如原函数的
4、定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除；4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；3x4y46yx3例 6. 求函数5x6值域；解：由原函数式可得：x5y3就其反函数为：y4x653,其定义域为：5故所求函数的值域为：,3 55. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域；例 7. 求函数yex1的值域；1x3y,可化为：第 3 页,共 19 页 3 ex1解：由原函数式可得：exyy1ex0y10y1cos解得：1y1故所求函数的值域为1,1 例 8. 求函数ycosx3的值域；s
5、inx解：由原函数式可得：ysinxy21sinxx3 y即sinxx3y1y2xRsinxx1,1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即13y112,2y2解得：2y442故函数的值域为446. 函数单调性法例 9. 求函数y2x5log3x12x10的值域；2解：令y12x5,y2log3x1就y1 y2在2, 10上都是增函数所以yy1y2在2,10上是增函数当 x=2 时,ymin23log32118当 x=10 时,ymax25log3933故所求函数的值域为：1, 338例 10. 求函数yx1x1的值域；解：原函数可化为：yx
6、12x1令y1x1,y2x1,明显y1y2在 ,1上为无上界的增函数所以yy1,y 在,1上也为无上界的增函数2所以当 x=1 时,yy1y2有最小值2 ,原函数有最大值2明显y0,故原函数的值域为 0,27. 换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用；例 11. 求函数yxx1的值域；的值域；第 4 页,共 19 页 4 解：令x1t,t0就xt21yt2t1t12324又t0,由二次函数的性质可知当t0时,y min1当t0时,y故函数的值域为,1例 12. 求函数yx2
7、1x12解：因1x1 20即x1 21名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故可令x1cos,012的值域；第 5 页,共 19 页 5 ycos11cos2sincos2sin410,04542sin41202sin4112故所求函数的值域为1,02例 13. 求函数yx4x3xx1的值域；22x2解：原函数可变形为：y112x212x1x2可令xtg,就有12x2sin2,1x2cos 2x1x2y1sin2cos21sin42412,当k8时,y max124当k8时,y min124而此时tan有意义；故所求函数的值域为1,144例
8、14. 求函数ysinx1 cosx1 ,x解：ysinx1 cosx1sinxcosxsinxcosx11 令sinxcosxt,就sinxcosx1t22y1t21 t11t1222时,y32由tsinxcosx2sinx/4且x12,2可得：2t22当t2时,y max32,当t22242故所求函数的值域为32,32；422名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 15. 求函数yx45x2的值域；44解：由5x20,可得|x|5故可令x5cos,0,10siny5cos45sin054444510,410当/4时,y max当时,ym
9、in4故所求函数的值域为：458. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目；例 16. 求函数yx2 2|xx|8 2的值域；解：原函数可化简得：y2|x8|上式可以看成数轴上点P（ x）到定点 A （2）,B8间的距离之和；|AB|10由上图可知,当点P 在线段 AB 上时,y|x2|x8|AB|10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时,y|x2|x8|故所求函数的值域为： 10 ,例 17. 求函数yx26x13x24x5的值域；解：原函数可变形为：yx32022x2201
10、 21的距离之和,1 243,上式可看成x 轴上的点P x,0 到两定点A 3, 2,B2,由图可知当点P 为线段与 x 轴的交点时,ymin|AB|3222故所求函数的值域为43,5的值域；例 18. 求函数yx26x13x24 x解：将函数变形为：yx32022x2201 2P x, 0的距离之差；上式可看成定点A（3,2）到点 P（x,0）的距离与定点B21, 到点即：y|AP|BP|P ,就构成ABP ,依据三角形两边之差由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线AB 与 x 轴的交点时,如点小于第三边,有|AP|BP|AB|32221 226即：26y26第 6 页,共 19
11、页 6 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）当点 P 恰好为直线AB 与 x 轴的交点时,有|AP|BP|AB|26综上所述,可知函数的值域为：26,26注：由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 要使 A ,B 两点在 x 轴的同侧；A 、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,就2,如：例 17 的 A,B 两点坐标分别为： （3,2）,21 ,在 x 轴的同侧；例18 的 A,B 两点坐标分别为（3,2）,1,在 x 轴的同侧；9. 不等式法利用基本不等式ab2ab,abc33abca,b,cR,求函数的
12、最值,其题型特点解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧；例 19. 求函数ysinx1x2cosx1x24的值域；sincos解：原函数变形为：ysin2xcos2x1x1xsin2cos21ces 2xsec 2x3tan2xcot2x33tan2xcot2x25tanxcotx当且仅当即当xk4时kz,等号成立故原函数的值域为：,5例 20. 求函数y2sinxsin2x的值域；解：y4sinxsinxcosx4sin2xcosxy16sin4xcos2x8sin2xsin2x22sin2x8 sin2xsin2x22sin2x/3
13、3642782sin2x,即当sin2x2时,等号成立；当且仅当sin2x23由y264可得：3y832799故原函数的值域为：3,8389910. 一一映射法名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 原理：由于yaxb c0在定义域上x 与 y 是一一对应的；故两个变量中,如知道一个变量范畴,就可以求另cxd一个变量范畴；例 21. 求函数y13x的值域；2 x1解：定义域为x|x1或x122由y1x3 x得x1y2y321故x1y1或x1y12y322y32解得y3或y322故函数的值域为,33,2211. 多种
14、方法综合运用例 22. 求函数yx2的值域；31t211t=1,即x1时取等号,所以0y1x3解：令tx2t0 ,就x（1）当t0时,yt2t1t121t,当且仅当2（2）当 t=0 时, y=0 ；综上所述,函数的值域为：0,2注：先换元,后用不等式法例 23. 求函数y1x2x2x3x4的值域；第 8 页,共 19 页 8 12x2x4解：y12x2x41xxx3x412x2x4221x22x1x21x2令xtan2,就1x22cos21x21x21sinx2ycos211sinsin21sin12 22sin17416当sin1时,y max17416当sin1时,ymin2此时tan2
15、都存在,故函数的值域为2,1716名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin的有界性；总之,在详细求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑 直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；复合函数一、复合函数的概念假如 y 是 u 的函数,而 u 是 x 的函数,即 y = f u , u = g x , 那么 y 关于 x 的函数 y = f g x 叫做函数 f 与 g 的 复合函数, u 叫做中间变量；留意：复合函数并不是一类新的
16、函数,它只是反映某些函数在结构方面的某种特点,因此,依据复合函数结构,将它折成几个简洁的函数时,应从外到里一层一层地拆,留意不要漏层；另外,在讨论有关复合函数的问题时,要留意复合函数的存在条件,即当且仅当 g x 的值域与 f u 的定义域的交集非空时,它们的复合函数才有意义,否就这样的复合函数不存在；例： f x + 1 = x + 12可以拆成 y = f u = u2 , u = g x , g x = x + 1 , 即可以看成f u = u2 与 g x = x + 1 两个函数复合而成；二、求复合函数的定义域：（1）如 fx 的定义域为a x b,就 f g x 中的 a g x
17、b ,从中解得x 的范畴,即为f g x 的定义域；例 1、y = f x 的定义域为 0 , 1 ,求 f 2x + 1 的定义域；答案：-1/2 ,0 例 2、已知 f x 的定义域为（ 0,1）,求 f x 2的定义域；答案：-1 ,1（2）如 f g x 的定义域为（ m , n）就由 m x n 确定出 g x 的范畴即为 例 3、已知函数 f 2x + 1 的定义域为（ 0,1）,求 f x 的定义域；答案： 1 ,3f x 的定义域；（3）由 f g x 的定义域,求得 f x 的定义域后,再求 f h x 的定义域；例 4、已知 f x + 1 的定义域为 -2 ,3,求 f
18、2x 2 2 的定义域；答案： - 3/2 ,-33/2 , 3三、求复合函数的解析式；1、待定系数法 ：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法；例 1设f x 是一次函数,且ffx 4x3,求fx 第 9 页,共 19 页 9 解：设fxaxba0,就ffxafxbaaxb ba2xabba2b43a2a或b2b13abfx2x1或fx 2x3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、 配凑法 ：已知复合函数 f g x 的表达式,求 f x 的解析式,f g x 的表达式简洁配成 g x 的运算形式时,常用配凑法；但要留意所求函数 f
19、x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g x 的值域；例 2 已知 f x 1 x 2 12 x 0 ,求 f x 的解析式x x解：f x 1 x 1 2 2,x 12x x x2f x x 2 x 2 3、换元法：已知复合函数 f g x 的表达式时,仍可以用换元法求 f x 的解析式；与配凑法一样,要留意所换元的定义域的变化；例 3已知fx1 x2x,求fx1 解：令tx1,就t1,xt1 20fx1 x2x,1ftt1 22 t1 t2fxx21 x1 xxfx1 x1 21x22复合函数单调性相关定理1、引理 1 已知函数y=fgx.如 u=gx在区间 a,b上是增函数,其值域为
20、c,d,又函数y=fu 在区间 c,d上是增函数,那么,原复合函数y=fgx在区间 a,b上是增函数证 明 在区间 a,b 内任取两个数 x1,x2,使 a x1x2 b. 由于 u=gx 在区间 a,b 上是增函数, 所以 gx 1gx 2, 记 u1=gx 1,u2=gx 2 即 u1 u2, 且 u1,u2c,d. 由于函数 y=fu 在区间 c,d 上是增函数,所以 fu 1 fu 2, 即 f gx 1 f fx 2 ,故函数 y=f gx 在区间 a,b 上是增函数 . 2、引理 2 已知函数 y=f gx . 如 u=gx 在区间 a,b 上是减函数,其值域为 c , d ,又函
21、数 y=fu 在区间 c,d上是减函数,那么,复合函数 y=f gx 在区间 a,b 上是增函数 . 证明 在区间 a,b 内任取两个数 x1,x 2,使 ax 1x 2b. 由于函数 u=gx 在区间 a,b 上是减函数, 所以 gx 1 gx 2, 记 u1=gx 1,u2=gx 2 即 u1u2, 且 u1,u 2 c,d.由于函数 y=fu 在区间 c,d 上是减函数, 所以 fu 1 fu 2, 即 fgx 1 ffx 2 ,故函数 y=f gx 在区间 a,b 上是增函数 . 3、总结 同增异减函数奇偶性的判定方法1定义域判定法名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,
22、共 19 页 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1判定f x x1x2的奇偶性（非奇非偶）2定义判定法fx与 f（-x）关系a 的奇偶性（偶）f x xax例 2判定3等价形式判定法例 3判定f x 1x2x1的奇偶性（奇）或fx 1,就f x 为奇函数；如fxf x 0或1x2x1评注： 常用等价变形形式有：如f x fx0f x fx1,就f x 为偶函数（其中f x 0）f x 4性质判定法例 4如a0,f x xa,a是奇函数,g x xR是偶函数,试判定 f x g x 的奇偶性评注： 在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：两个偶函数的和
23、、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数,积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数5、练习（1）. 函数 fx在 R 上为增函数,就 y=f|x+1|的一个单调递减区间是 _ ,1 （2） 如函数 fx=ax 3+bx 2+cx+d 满意 f0=fx1=fx2=0 0x10.又知 0x1x,得 x1+x20, b=ax1+x20. 2. 奇偶性记 Fx=fgx 复合函数,就 F-x=fg-x ,假如 gx 是奇函数,即 g-x=-gx = F-x=f-gx,就当 fx 是奇函数时, F-x=-fgx=-Fx,Fx 是奇函数；当 fx 是偶函数时, F-x=fgx=Fx,Fx 是偶函
24、数；假如 gx 是偶函数,即 g-x=gx = F-x=fgx=Fx,Fx 是偶函数；所以由两个函数复合而成的复合函数,当里层的函数是偶函数时,复合函数是偶函数,不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时,复合函数是奇函数,当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时,复合函数是偶函数；在其它的场合,就不能如此单纯地判定复合函数的奇偶性了；二加减函数对于 Fx=gx+fx , ,增 +增=增 ,减 +减=减, 减+增就无定就第 11 页,共 19 页 11 1. 增减性2. 奇偶性对于 Fx=gx+fx 奇+奇=奇 , 奇- 奇=奇 , 偶+偶 =偶 , 偶 - 偶=偶.
25、 奇+偶无定就三相乘函数名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 增减性对于 Fx=gx*fx , 一切皆无定就 . 知道你会不信 , 很好 , 我来举个例子 :fx=gx=-x , 都是减函数 , 而Fx=x2, 有增有减 . 2. 奇偶性对于 Fx=gx*fx, 同样满意乘法定就 其实这名字是我取的 ,不要说出去 ,不然没人听的懂 . 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇* 奇=偶 除法 就不用说了 ,Fx=gx/fx , 可以看成 Fx=gx1/fx, 自己推 . 指数函数：定义：函数 yaa0 且a1叫指数函数；定义域为 R,底数是常
26、数,指数是自变量；要求函数 yax中的 a 必需 a0 且a1；由于如 a0 时, y4x,当 x1时,函数值不存在；1x4a0 , yx 0 ,当 x0 ,函数值不存在；a1时, yx 1 对一切 x 虽有意义,函数值恒为1,但 y的反函数不存在,由于要求函数yax 中的 a0 且a1；1、对三个指数函数y2x,y1x,y10x的图象的熟识；2图象特点与函数性质：图象特点函数性质1 ；0时, yx 10 的图象（1）图象都位于x 轴上方；（1）x 取任何实数值时,都有ax0 ；（2）图象都经过点（0,1）；（2）无论 a 取任何正数,x0 时, y（3） y2x,y10x在第一象限内的纵坐（
27、3）当 a1时,x0, 就ax1xx0, 就a1标都大于 1,在其次象限内的纵坐标都小于1,y1x的图象正好相反；当 0a1时,x0, 就ax12x0, 就ax1,当 x（4） y2x,y10x的图象自左到右逐步（4）当 a1时, yax 是增函数,上升, y1x的图象逐步下降；当 0a1时, yax是减函数；2对图象的进一步熟识, （通过三个函数相互关系的比较）：全部指数函数的图象交叉相交于 点（ 0,1）,如 yx 2 和 yx 10 相交于 0,1 在 yx 2 的图象的上方,当x0 ,刚好相反,故有10222 及 10222 ；第 12 页,共 19 页 12 yx 2 与 y1x的图象关于y 轴对称；2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 通过 yx 2 , yx 10 , y1x三个函数图象,可以画出任意一个函数yax （ a0 且a1）的示意图,2如 yx 3 的图象,肯定位于yx 2 和 yx 10 两个图象的中间,且过点0,1 ,从而 y1xy