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1、1 高中必修一一些重点函数值域求法十一种. 2复合函数 . 9一、复合函数的概念. 9二、求复合函数的定义域：. 9复合函数单调性相关定理. 10 函数奇偶性的判定方法. 10 指数函数： . 12 幂函数的图像与性质. 15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页2 函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1. 求函数x1y的值域。解：0 x0 x1显然函数的值域是：),0()0,(例 2. 求函数x3y的值域。解：0 x3x3, 0 x故函数的值域是：3,2. 配方法配方
2、法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3. 求函数 2, 1x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2 2, 1x由二次函数的性质可知：当x=1 时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：4，8 3. 判别式法例 4. 求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于x 的一元二次方程0 x) 1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0) 1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当 y=1 时，0 x，而23,211故函数的值域为23,21例 5. 求函数)x2(xxy的值域。解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）Rx0y8)1y(42解得：21y21
3、但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0，仅保证关于x 的方程：0yx) 1y(2x222在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页3 即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。2x00)x2(xxy21y,0ymin代入方程（ 1）解得：2,022222x41即当22222x41时，原函数的值域为：21 , 0注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是
4、实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6. 求函数6x54x3值域。解：由原函数式可得：3y5y64x则其反函数为：3x5y64y，其定义域为：53x故所求函数的值域为：53,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 7. 求函数1e1eyxx的值域。解：由原函数式可得：1y1yex0ex01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1 , 1(例 8. 求函数3xsinxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：y3
5、)x(xsin1y2即1yy3)x(xsin2Rx 1 , 1)x(xsin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页4 即11yy312解得：42y42故函数的值域为42,426. 函数单调性法例 9. 求函数)10 x2(1xlog2y35x的值域。解：令1xlogy,2y325x1则21y,y在2， 10上都是增函数所以21yyy在2，10上是增函数当 x=2 时，8112log2y33min当 x=10 时，339log2y35max故所求函数的值域为：33,81例 10. 求函数1x1xy的值域。解：原函数可化为
6、：1x1x2y令1xy,1xy21，显然21y,y在, 1上为无上界的增函数所以1yy，2y在, 1上也为无上界的增函数所以当 x=1 时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y，故原函数的值域为2,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11. 求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t (则1tx243)21t (1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为), 1例 12. 求函数2) 1x(12xy
7、的值域。解：因0)1x(12即1)1x(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页5 故可令, 0,cos1x1cossincos11cosy21)4sin(24540,0211)4sin(201)4sin(22故所求函数的值域为21 , 0例 13. 求函数1x2xxxy243的值域。解：原函数可变形为：222x1x1x1x221y可令tgx，则有2222cosx1x1,2sinx1x24sin412cos2sin21y当82k时，41ymax当82k时，41ymin而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41例
8、14. 求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。解：) 1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)1t (21xcosxsin222) 1t (211t)1t (21y由)4/xsin(2xcosxsint且2,12x可得：2t22当2t时，223ymax，当22t时，2243y故所求函数的值域为223,2243。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页6 例 15. 求函数2x54xy的值域。解：由0 x52，可得5|x|故可令,0,cos5x4)4sin(
9、10sin54cos5y04544当4/时，104ymax当时，54ymin故所求函数的值域为：104,548. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 16. 求函数22)8x()2x(y的值域。解：原函数可化简得：|8x|2x|y上式可以看成数轴上点P（ x）到定点 A（2） ，)8(B间的距离之和。由上图可知，当点P在线段 AB 上时，10|AB|8x|2x|y当点 P在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB|8x|2x|y故所求函数的值域为：,10例 17. 求函数5x
10、4x13x6xy22的值域。解：原函数可变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成x 轴上的点)0,x(P到两定点) 1,2(B),2,3(A的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB|y22min，故所求函数的值域为,43例 18. 求函数5x4x13x6xy22的值域。解：将函数变形为：2222)10()2x()20()3x(y上式可看成定点A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点)1 ,2(B到点)0,x(P的距离之差。即：|BP|AP|y由图可知：（1）当点 P在 x 轴上且不是直线AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP
11、，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB| BP| AP|22即：26y26精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页7 （2）当点 P 恰好为直线AB 与 x 轴的交点时，有26|AB|BP|AP|综上所述，可知函数的值域为：26,26(注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为： （3，2） ，)1, 2(，在 x 轴的同侧；例18 的 A，B 两点坐标分
12、别为（3，2） ，) 1,2(，在 x 轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式abc3cba,ab2ba3)Rc,b,a(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 19. 求函数4)xcos1x(cos)xsin1x(siny22的值域。解：原函数变形为：52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222当且仅当xcotxtan即当4kx时)zk(，等号成立故原函数的值域为：), 5例 20. 求函数x2sinxsin2y的值域。解：xc
13、osxsinxsin4yxcosxsin4227643/)xsin22xsinx(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224当且仅当xsin22xsin22，即当32xsin2时，等号成立。由2764y2可得：938y938故原函数的值域为：938,93810. 一一映射法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页8 原理：因为)0c(dcxbaxy在定义域上x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 21. 求函数1x2x31y的值域。解
14、：定义域为21x21x|x或由1x2x31y得3y2y1x故213y2y1x或213y2y1x解得23y23y或故函数的值域为,2323,11. 多种方法综合运用例 22. 求函数3x2xy的值域。解：令)0t (2xt，则1t3x2（1）当0t时，21t1t11tty2，当且仅当t=1，即1x时取等号，所以21y0（2）当 t=0 时， y=0。综上所述，函数的值域为：21,0注：先换元，后用不等式法例 23. 求函数42432xx21xxx2x1y的值域。解：4234242xx21xxxx21xx21y2222x1xx1x1令2tanx，则2222cosx1x1sin21x1x21sin2
15、1sinsin21cosy22161741sin2当41sin时，1617ymax当1sin时，2ymin此时2tan都存在，故函数的值域为1617,2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页9 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。复合函数一、复合函数的概念如果 y 是 u 的函数，而 u 是 x 的函数，即 y = f ( u ), u
16、 = g ( x ) , 那么 y 关于 x 的函数 y = f g ( x ) 叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫做中间变量。注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x ) 的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。例： f ( x + 1 ) = (x + 1)2可以拆成 y = f ( u ) = u2 , u = g ( x )
17、, g ( x ) = x + 1 , 即可以看成f ( u ) = u2 与 g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。二、求复合函数的定义域：（1）若 f(x) 的定义域为a x b,则 f g ( x ) 中的 a g ( x ) b ，从中解得x 的范围，即为f g ( x ) 的定义域。例 1、y = f ( x ) 的定义域为 0 ， 1 ，求 f ( 2x + 1 ) 的定义域。答案：-1/2 ，0 例 2、已知 f ( x )的定义域为（ 0，1） ，求 f ( x 2)的定义域。答案：-1 ，1（2）若 f g ( x ) 的定义域为（ m , n）则由 m x n
18、确定出 g ( x )的范围即为f ( x ) 的定义域。例 3、已知函数f ( 2x + 1 ) 的定义域为（ 0，1） ，求 f ( x ) 的定义域。答案： 1 ，3（3）由 f g ( x ) 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f h ( x ) 的定义域。例 4、已知 f ( x + 1 ) 的定义域为 -2 ，3,求 f ( 2x 2 2 ) 的定义域。答案： - 3/2 ，-33/2 ， 3三、求复合函数的解析式。1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf解：设baxxf)()0(a，则babxa
19、bbaxabxafxff2)()()(342baba3212baba或32)(12)(xxfxxf或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页10 2、 配凑法：已知复合函数( )f g x的表达式，求( )f x的解析式， ( )f g x的表达式容易配成( )g x的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是( )g x的值域。例 2已知221)1(xxxxf)0(x，求( )f x的解析式解：2)1()1(2xxxxf，21xx2)(2xxf)2(x3、换元法：已知复合函
20、数( )f g x的表达式时，还可以用换元法求( )f x的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3已知xxxf2)1(，求)1(xf解：令1xt，则1t，2)1(txxxxf2)1(, 1)1(2)1()(22ttttf1)(2xxf)1(xxxxxf21)1()1(22)0(x复合函数单调性相关定理1、引理1 已知函数y=fg(x).若 u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间 (a,b)上是增函数证 明在区间 (a,b) 内任取两个数x1,x2，使 a x1x2 b.
21、 因为 u=g(x) 在区间 (a,b)上是增函数， 所以 g(x1)g(x2), 记 u1=g(x1),u2=g(x2) 即 u1 u2, 且 u1,u2(c,d). 因为函数y=f(u)在区间 (c,d)上是增函数，所以f(u1) f(u2), 即 f g(x1) f f(x2) ，故函数 y=f g(x) 在区间 (a,b) 上是增函数 . 2、引理 2 已知函数y=f g(x) . 若 u=g(x) 在区间 (a,b) 上是减函数，其值域为(c ， d) ，又函数y=f(u) 在区间 (c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f g(x) 在区间 (a,b)上是增函数 . 证明在区间 (
22、a,b) 内任取两个数x1,x2，使 ax1x2b. 因为函数 u=g(x) 在区间 (a,b) 上是减函数， 所以 g(x1) g(x2), 记 u1=g(x1),u2=g(x2) 即 u1u2, 且 u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数， 所以 f(u1) f(u2), 即 fg(x1) ff(x2) ，故函数 y=f g(x) 在区间 (a,b)上是增函数 . 3、总结同增异减函数奇偶性的判定方法1定义域判定法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页11 例 1判定( )(1)
23、2f xxx的奇偶性（非奇非偶）2定义判定法f(x)与 f（-x）关系例 2判断( )f xxaxa的奇偶性（偶）3等价形式判定法例 3判定2211( )11xxf xxx的奇偶性（奇）评注： 常用等价变形形式有：若( )()0f xfx或()1( )fxf x，则( )f x为奇函数；若()( )0fxf x或()1( )fxf x，则( )f x为偶函数（其中( )0f x） 4性质判定法例 4若0a，( )()f xxaa，是奇函数，( )()g xxR是偶函数，试判定( )( )( )xf xg x的奇偶性评注： 在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：两个偶函数的和
24、、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数5、练习（1）.( )函数 f(x)在 R 上为增函数，则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是 _ (,1（2）( )若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0 x10.又知 0 x1x,得 x1+x20, b=a(x1+x2)0. 2.奇偶性记 F(x)=fg(x) 复合函数，则F(-x)=fg(-x) ，如果 g(x) 是奇函数，即g(-x)=-g(x) = F(-x)=f-g(x)，则当 f(x)是奇函数时，F(-x)=-fg(x)=-F(
25、x)，F(x)是奇函数；当 f(x)是偶函数时，F(-x)=fg(x)=F(x)，F(x)是偶函数。如果 g(x) 是偶函数，即g(-x)=g(x) = F(-x)=fg(x)=F(x)，F(x)是偶函数。所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。二加减函数1. 增减性对于 F(x)=g(x)+f(x) ，增 +增=增 ，减 +减=减，减+增则无定则2. 奇偶性
26、对于 F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇 , 奇- 奇=奇 , 偶+偶 =偶 , 偶 - 偶=偶. 奇+偶无定则三相乘函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页12 1. 增减性对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则. 知道你会不信 , 很好 , 我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数, 而F(x)=x2,有增有减 . 2.奇偶性对于 F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去 ,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇,偶*偶=偶,奇* 奇=偶除法
27、就不用说了 ,F(x)=g(x)/f(x) , 可以看成F(x)=g(x)1/f(x), 自己推 . 指数函数：定义：函数yaaax01且叫指数函数。定义域为R，底数是常数，指数是自变量。要求函数yax中的a必须aa01且。因为若a0时，yx4，当x14时，函数值不存在。a0，yx0，当x0，函数值不存在。a1时，yx1对一切x虽有意义，函数值恒为1，但yx1的反函数不存在，因为要求函数yax中的aa01且。1、对三个指数函数yyyxxx21210，的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x轴上方；（1）x取任何实数值时，都有ax0；（2）图象都经过点（0，1） ；（
28、2）无论a取任何正数，x0时，y1；（3）yyxx210，在第一象限内的纵坐标都大于 1， 在第二象限内的纵坐标都小于1，yx12的图象正好相反；（3）当a1时，xaxaxx0101，则，则当01a时，xaxaxx0101，则，则（4）yyxx210，的图象自左到右逐渐上升，yx12的图象逐渐下降。（4）当a1时，yax是增函数，当01a时，yax是减函数。对图象的进一步认识， （通过三个函数相互关系的比较）：所有指数函数的图象交叉相交于 点（ 0，1） ，如yx2和yx10相交于()01，当x0时，yx10的图象在yx2的图象的上方，当x0，刚好相反，故有10222及10222。yx2与yx
29、12的图象关于y轴对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页13 通过yx2，yx10，yx12三个函数图象，可以画出任意一个函数yax（aa01且）的示意图，如yx3的图象，一定位于yx2和yx10两个图象的中间，且过点()01，从而yx13也由关于y轴的对称性，可得yx13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果aN aab()01且，那么数b就叫做以a为底的对数，记作bNalog（a是底数，N 是真数，logaN是对数式。）由于Nab0故logaN中N必须大于0。当N为
30、零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：求log.0 325 24解： 设log.0 325 24x则即即0 325 24825825125 2412120 32.log.xxx评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。 如求35x中的x，化为对数式xlog35即成。（2）对数恒等式：由aNbNba( )log( )12将（ 2）代入（ 1）得aNaNlog运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。计算：3132log解：原
31、式313122221313loglog。（3）对数的性质：负数和零没有对数；1 的对数是零；底数的对数等于1。（4）对数的运算法则：logloglogaaaMNMNMNR，logloglogaaaMNMNMNR，logloganaNnNNRlogloganaNnNNR1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页14 3、对数函数：定 义 ： 指 数 函 数yaaax()01且的 反 函 数yxalogx( ,)0叫做对数函数。1、对三个对数函数yxyxloglog212，yxlg的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征
32、函数性质（1）图象都位于y轴右侧；（1）定义域：R+，值或：R；（2）图象都过点（1，0） ；（2）x1时，y0。即loga10；（3）yxlog2，yxlg当x1时，图象在x轴上方，当00 x时，图象在x轴下方，yxlog12与上述情况刚好相反；（ 3）当a1时，若x1，则y0，若01x，则y0；当01a时 ， 若x0， 则y0， 若01x时，则y0；（4）yxyxloglg2，从左向右图象是上升，而yxlog12从左向右图象是下降。（4）a1时，yxalog是增函数；01a时，yxalog是减函数。对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1
33、,0 ） ，但是yxlog2与yxlg在点（ 1,0 ）曲线是交叉的，即当x0时，yxlog2的图象在yxlg的图象上方；而01x时，yxlog2的图象在yxlg的图象的下方，故有：log.lg .21515；log.lg .20101。（2）yxlog2的图象与yxlog12的图象关于x 轴对称。（3） 通过yxlog2，yxlg，yxlog12三个函数图象， 可以作出任意一个对数函数的示意图，如作yxlog3的图象，它一定位于yxlog2和yxlg两个图象的中间，且过点（1,0 ） ，x0时，在yxlg的上方，而位于yxlog2的下方，01x时，刚好相反，则对称性，可知yxlog13的示意
34、图。因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式：loglogloglog(.)logbaanegNNbLNNeNLNN其中 称为的自然对数称为常数对数2 7182810由换底公式可得：L NNeNNnlglglg.lg043432 303精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页15 由换底公式推出一些常用的结论：（1）loglogloglogababbaba11或（2）loglogamanbmnb（3）loglogananbb（4）logamnamn5、指数方程与对数方程* 定义：在指数
35、里含有未知数的方程称指数方程。在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。指数方程的题型与解法：名称题型解法基本型同底数型不同底数型需代换型abfxaafxx()( )abfxxFax0取以a为底的对数f xbalog取以a为底的对数f xx取同底的对数化为fxaxblglg换元令tax转化为t的代数方程对数方程的题型与解法：名称题型解法基本题logafxb对数式转化为指数式f xab同底数型loglogaafxx转化为fxx（必须验根）需代换型Fax(log)0换元令txalog转化为代数方程幂函数的图像与
36、性质一、幂函数的定义一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数 . 如11234,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.分数指数幂正分数指数幂的意义是：mnmnaa（0a，m、nN，且1n）负分数指数幂的意义是：1mnnmaa（0a，m、nN，且1n）1、 幂函数的图像与性质幂函数nyx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握nyx，当112 ,1,323n的图像和性质，列表如下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19
37、页16 从中可以归纳出以下结论：它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限11,1, 2 , 332a时，幂函数图像过原点且在0 ,上是增函数1,1,22a时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数任何两个幂函数最多有三个公共点nyx奇函数偶函数非奇非偶函数1n01n0n例1、右图为幂函数yx在第一象限的图像，则, , ,a b c d的大小关系是（）()Aabcd()Bbadc()Cabdc()Dadcb解：取12x，由图像可知：11112222cdba，abdc，应选()C三两类基本函数的归纳比较： 定义对数函数的定义 ：一般地，我们把函数log
38、ayx（a0 且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y x O y ayxbyxcyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页17 数的定义域是（ 0，+） 幂函数的定义： 一般地，形如yx（xR ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数 . 性质对数函数的性质 ：定义域：（0，+） ；值域： R ；过点（1，0） ，即当x=1， y =0；在（0，+）上是增函数；在（ 0，+）是上减函数幂函数的性质： 所有的
39、幂函数在（ 0，+）都有定义，图象都过点（ 1，1）x0 时，幂函数的图象都通过原点，在0 ，+ 上， yx、2yx、3yx、12yx是增函数，在（0，+）上，1yx是减函数。例 1已知函数2531mfxmmx，当m为何值时，fx：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0,上的增函数； （3）是正比例函数； （4）是反比例函数； （5）是二次函数；简解： （ 1）2m或1m（2）1m（3）45m（4）25m（5）1m变式训练：已知函数2223mmfxmm x，当m为何值时，fx在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：220230mmmm解得：, 13,m小结与拓展： 要牢记幂函数的定义，列出等式或
40、不等式求解。例 2比较大小：（1）11221.5 ,1.7（2）33( 1.2) ,(1.25)（3）1125.25 ,5.26,5.26（4）30.530.5 ,3,log0.5解： （1）12yx在0,)上是增函数，1.51.7，11221.51.7（2）3yx在R上是增函数，1.21.25，33( 1.2)( 1.25)（3）1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，115.255.26；5.26xy是增函数，12，125.265.26；综上，1125.255.265.26（4）300.51，0.531，3log 0.50，30.53log 0.50.53例 1 求下列函数的单调区间
41、： y=log4(x24x+3) 解法一：设 y=log4u,u=x2 4x+3. 由 u0, u=x2 4x+3，解得原复合函数的定义域为x1 或 x3. 当 x( ， 1) 时， u=x2 4x+3 为减函数，而y=log4u 为增函数，所以( ， 1) 是复合函数的单调减区间；当x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页18 (3 ， ) 时， u=x24x+3 为增函数y=log4u 为增函数，所以，(3，+) 是复合函数的单调增区间. 解法二： u=x2 4x+3=(x 2)2 1, x 3 或 x1，( 复
42、合函数定义域) x 2 (u减) 解得 x1. 所以 x (， 1) 时，函数u单调递减 . 由于 y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知： u=(x 2)2 1 的单调性与复合函数的单调性一致，所以 ( ，1) 是复合函数的单调减区间. 下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x24x+3=(x 2)21, x 3 或 x1，( 复合函数定义域) x 2 (u增) 解得 x3. 所以 (3 ，+ ) 是复合函数的单调增区间. 例 2 求下列复合函数的单调区间： y=log31 (2x x2) 解：设 y=log31u,u=2x x2. 由 u 0 u=2xx2解得原复合函数的定义域
43、为0 x2. 由于 y=log31u 在定义域 (0 ，+) 内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x x2的单调性正好相反. 易知 u=2xx2=(x 1)2+1 在 x1 时单调增 . 由 0 x2 （复合函数定义域） x 1，(u 增) 解得 0 x1, 所以 (0， 1是原复合函数的单调减区间. 又 u= (x 1)2+1 在 x1 时单调减，由 x 2， (复合函数定义域) x 1， (u减) 解得 1x2, 所以 1，2) 是原复合函数的单调增区间. 例 3、求 y=267xx的单调区间 . 解：设 y=u,u=7 6xx2, 由 u0, u=76xx2解得原复合函数
44、的定义域为7x1. 因为 y=u在定义域 0+内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=x26x+7 的单调性相同 . 易知 u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16 在 x-3 时单调增加。由 -7x1, （复合函数定义域） x-3, （u 增）解得 -7 x-3. 所以 -7，3 是复合函数的单调增区间. 易知 u=x26x+7=(x+3)2+16 在 x 3 时单调减，由7x1 (复合函数定义域) x 3， (u减) 解得 3x1，所以 3，1是复合函数的单调减区间. 例 4 求 y=122)21(xx的单调区间 . 解 ：设 y=u)21(. 由 u R, u=x22
45、x1, 解得原复合函数的定义域为xR. 因为 y=u)21(在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x22x1 的单调性与复合函数的单调性相反. 易知 ,u=x22x1=(x 1)22 在 x1 时单调减，由 x R, (复合函数定义域) x 1， (u减) 解得 x1. 所以 ( ， 1是复合函数的单调增区间. 同理 1，+) 是复合函数的单调减区间. 注意： 单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域. 另外，咱们刚刚学习复精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页19 合函
46、数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步. 练习求下列复合函数的单调区间. 1.y=log3(x22x);(答： ( ， 0)是单调减区间，(2，+) 是单调增区间 .) 2.y=log21(x23x+2) ；( 答： ( ， 1) 是单调增区间，(2 ，+) 是单调减区间.) 3.y=652xx,( 答： 2，25是单调增区间， 25，3是单调减区间.) 4.y=x17.0;( 答： ( ， 0)， (0 ，+ ) 均为单调增区间. 注意，单调区间之间不可以取并集.) 5.y=232x;( 答( ， 0) 为单调增区间，(0 ，+) 为单调减区间) 6.y=3)31(x,( 答( ， +) 为单调减区间 .) 7.y=x2log3；( 答： (0，+) 为单调减区间 .) 8.y=)4(1log2xx；( 答： (0 ，2) 为单调减区间，(2 ，4) 为单调增区间 .) 9.y=426xx； ( 答： (0 ，3) 为单调减区间，(3 ，6) 为单调增区间.) 10.y=227xx；( 答( ， 1)为单调增区间，(1 ，+) 为单调减区间.) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页