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1、寒假课程 高一数学1 第十讲平面向量及其应用一、知识梳理1.向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的表示：用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向 .用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：ABuuu r；3.向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作ABuuu r. 4.几组特殊的向量：零向量：长度为零方向任意的向量叫做零向量，记作0 或0r. 单位向量：长度等于1 个单位长度的向量叫做单位向量. 平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作abrr. 相等向量：长度相等且方向相同的
2、向量叫做相等向量.若ar与br相等，记作abrr. 相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量ar的相反向量记为ar. 5. 向量加法：规定：0aarrr，0aaaarrrrr，即0ABBAu uu ru u u rr；向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则：6.向量加法的运算律：交换律：abbarrrr；结合律：abcabcrrrrrr. 7.向量减法：三角形法则即abrr表示从向量br的终点指向被减向量ar的终点的向量. 8.向量的数乘的定义：一般的，实数与向量ar的积是一个向量，记作ar，它的长度和方向规定如下： （1）aarrg； （2 ） 当0 时，ar与ar方向相同
3、，当0 时，ar与ar，方向相反，当0 时，ar0r.实数与向量ar相乘，叫做向量的数乘. 9.向量数乘的运算律： （1）()()aarr（结合律）；（ 2）()aaarrr（分配律）； （3）()ababru u rrr（分配律） . 10.向量共线定理： 一般地， 对于两个向量ar（0arr） ，br，如果有一个实数，使得(0)ba arr rr，那么br与ar是共线向量，反之，如果br与ar（0arr）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得barr. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
4、 - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学2 11.平面向量基本定理：如果1er，2er是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=11er+22er.我们把不共线的向量1eu r，2eu u r叫做表示这个平面内所有向量的一组基底. 12.向量的坐标表示：在直角坐标系内， 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量ir、jr作为基底，任取一个向量ar，有且只有一对实数x、y，使得axiyirrr，则把（ x，y）叫做向量的直角坐标，记作：ar=（x，y）. 13.向量坐标运算：已知),
5、(11yxa，),(22yxb，1212(,)a bxx yyrr，1212(,)abxxyyrr，),(11yxa.两个向量和（差） 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 14.共线向量坐标表示的一般性结论：设ar11(,)x y，br22(,)xy（ar0r） ，如果arbr，那么12210 x yx y；反过来，如果12210 x yx y，那么arbr. 结论（简单表示） ：向量a与b共线0b01221yxyxba. 15.向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作 OAu uu r=a， OBuuu r=b，则AOB（0 1
6、80）叫做向量a和b的夹角 .特别地，当 =0 时，ar与br同向；当 =180 时，ar与br反向；当 =90 时，则称向量ar与br垂直，记作arbr. 16. 平面向量数量积：已知两个非零向量ar和br，它们的夹角是 ，我们把数量 |ar|br|cos叫做向量ar和br的数量积，记作arbr，即：arbr=|ar|br|cos . 向量数量积的运算律：设向量ar，br，c和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）arbr=brar； （交换律）； （2） （ar）br=ar （b）= （arbr）=arbr； （结合律）；（3） （a+br）cr=arcr+brcr.（分配律） .
7、17.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为ar= （x1，y1） ，br= （x2，y2） ，则arbr=x1x2+y1y2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 二、方法归纳名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学3 （1）以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；（2）以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法
8、求解；在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算 . 三、课堂训练例 1.设向量 a（ 1，0） ， b12，12，则下列结论中正确的是（）A.|a|b| B.a b22C.ab 与 b 垂直D.ab答案： C 解析：A 项， |a|1，|b|12212222， |a| |b|；B 项， a b11201212；C 项， ab（ 1，0）12，1212，12，（ ab） b12，1212，1214140；D 项， 1120120 ， a 不平行 b
9、. 例 2. 已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,22121eekbeea若0ba，则k的值为. 答案：54解析：由0a b得：121212(2) ()2(12 )0eek eekk e e，1212e e，54k. 例 3.ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分 ACB.若CBa， CAb， |a|1，|b|2， 则 CD（）A.13a23bB.23a13bC.35a45bD.45a35b答案： B 解析：由角平分线的性质得|AD|2|DB|，即有 AD23AB23（CBCA）23（ab）. 从而 CDADb23（ab）23a13b.故选 B. 名师资料总结 - - -精品资
10、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学4 例 4.已知向量 a，b 满足 |a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为 60 ，则 |ab|_. 答案：3解析： |ab|2aba2b22a b12222 1 2cos 60 3. 例 5.如图，平面内有三个向量OAuu u r、OBuuu r、OCuuu r，其中OAuuu r与OBuuu r的夹角为120 ，OAuu u r与OCuuu r的夹角为 30 ， 且| OA |=|OB
11、 |= 1uuu ruuu r，| OC | 2 3uuu r，若OCOAOBuuu ruuu ru uu r（ ， R） ， 则 + 的值为. 答案： 6 解析：过C 作OAuu u r与OCuuu r的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由 BOC=90 ， AOC=30 ，|OC |23uuu r得平行四边形的边长为2 和 4，故 +=2+4=6 . 例 6.已知).1 ,2(),0, 1 (ba求|3|ba；当 k 为何实数时，kab与ba3平行，平行时它们是同向还是反向？解析：ba3= （1，0） + 3（2，1） = （ 7，3） ， |3|ba= 2237=58 . kab
12、= k（1，0）（ 2，1）=（k2，1）. 设 kab= （ba3），即（ k2， 1）= （7，3），3172k3131k. 故 k= 31时，它们反向平行 . 例 7.已知, 1| , 2|baa与b的夹角为3，若向量bka2与ba垂直，求 k. 解析：3cos|baba=2 121=1. bka2与ba垂直，（bka2）)(ba=0 ABCO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学5 2k =
13、5. 例 8.已知平面向量 ， （ 0 ， ） 满足 | |1， 且 与 的夹角为 120 ， 则| |的取值范围是 _. 答案：0，2 33解析：如图，数形结合知=AB， AC，|AB|1，C 点在圆弧上运动，ACB60 ，设 ABC ，由正弦定理知ABsin 60| |sin ，| |2 33sin 2 33，当 90 时取最大值 . | |0，233. 例题 9.如图，在直角梯形ABCD 中，,1,3ABAD ADDCAB，动点P在BCD内运动，（含边界）， 设,APABADRuu u ruuu ruuu r，则的取值范围是. 答案：41,3解析：建立xAy坐标系，则0,1 ,3,0AD
14、ABuuu ruuu r. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学6 ,APx yuuu r3 ,ABADuu u ruuu r.3xy，3xy. 转化为线性规划问题. 在 C 点，433xy.在 B 或 D 点，13xy. 故41,3例 10.设P是ABC内一点，满足21,APxy AByAC x yRuu u ru uu ruuu r.则x的取值范围是 . 答案：2,4解析：如图 . 若点P在B
15、C边上，且APxAByACuu u ruuu ruuu r. 则1APABBPABuBCABu ACABu ABuACuuu ruuu ruu u ruuu ruuu ru uu ruu u ruuu ru uu ruuu r当点P在BC边上时，1xy.点P在三角形内时，0 xy1 . 从而有，211211xyyxyy0001从而yx1 22 4. 四、课后作业1.已知向量ar和br的夹角为 1200， | a|=1 | b |= 3rr，|5ab |=rr. 2.已知向量a（ 2， 1） ，b（ 1，m） ，c（ 1，2） ，若（ ab） c，则 m_. 3.已知点O是，内的一点，0090B
16、OC150AOBABC,OAcOCbOBa设且, 3, 1,2cba试用.,cba表示和4. 求向量a=（1，2）在向量b=（2， 2）方向上的投影. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学7 5.已知(2,4)ar，( 1,3)br，(6,5)cr，2pabcu rrrr，则以ar，br为基底，求pu r. 6. 已知两单位向量ar与br的夹角为0120，若2,3cab dbar rrrrr，试求
17、cr与dr的夹角 . 7.已知ABC 的顶点分别为A（2，1） ，B（3，2） ，C（ 3， 1） ， BC 边上的高AD ，求AD及点D 的坐标 . 8.已知向量(1,2)a，(2,3)b.若向量c满足() / /cab，()cab，则c（）A.7 7(,)9 3B.77(,)39C.7 7(,)3 9D.77(,)939.如图所示，正六边形PABCDE 的边长为 b，有五个力PDPCPBPA、PE作用于同一点P，求五个力的合力. 10.设 e1，e2是两个不共线的向量，已知AB2e1k e 2，CBe13 e 2，CD2e1e 2，若 A、B、D 三点共线，求k 的值 . 11. 已知 O
18、 为ABC 所在平面内一点，且满足2222|CAOBBCOA2|OC2| AB.求证： O 点是ABC 的垂心 . 12.已知ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设APQ的面积为1S，ABC的面积为2S，APpPBuuu ru uu r，AQqQCu uu ruuu r，则（）pqpq，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学8 （）12SS的取值范围是. 13.如图，在直角 ABC
19、中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值. 参考答案：1.解析：2222|5ab| = (5ab) = 25a10a b+brrrrrr rr，22125 110 1 3 ()3492，故| 5ab | 7rr. 2.解析： a（ 2， 1） ，b（ 1，m） ，c（ 1，2） ，ab（ 1，m1） ，又（ ab） c， 2m10， m 1. 3.解析：以O 为原点， OC，OB 所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
20、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学9 由 OA=2 ，0120AOx，所以,31-A,120sin2,120cos200，即A，易求3,0C1-0B，设.31-3-331-3,01-031-,OA21122121，即OCOBcba313. 4.解析：设向量a与b的夹角 ，有 cos =baba?=2222)2(221)2(221=1010a在b方向上的投影 =acos=5 （1010）=225.解析：令cabrrr，则(6,5)(2,4)( 1,3).(6,5)(2, 43 )，26435，2
21、3217， 23212171522pabababu rrrrrrr. 6.解析：由题意，1abrr，且ar与br的夹角为0120，所以，01cos1202a ba brrrr，2cc crr rQ(2) (2)ababrrrr22447aa bbrrrr，7cr，同理可得13dr. 而c drr2217(2) (3)7322abbaa bbarrrrrrrr，设为cr与dr的夹角，则. 7.解析：设点D 的坐标为（ x，y） ， AD 是边 BC 上的高， AD BC，ADBC又C、B、D 三点共线，BCBD又AD=（x2，y1） ，BC=（6， 3） ，BD=（x3，y2）0) 3(3)2(
22、60) 1( 3)2(6xyyx解方程组，得x=59，y=57名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学10 点 D 的坐标为（59，57） ，AD的坐标为（51，52）. 8.解析：不妨设(, )Cm nu r，则1,2,(3, 1)acmnabrrrr，对于/cabrrr，则有3(1)2(2)mn；又cabrrr，则有30mn，则有77,93mn9.解析：所求五个力的合力为PEPDPCPBPA，如图
23、所示，以 PA、PE 为边作平行四边形PAOE，则PEPAPO，由正六边形的性质可知b|PA|PO|，且 O 点在 PC 上，以 PB、PD 为边作平行四边形PBFD，则PDPBPF，由正六边形的性质可知b3|PF|，且 F 点在 PC 的延长线上 . 由正六边形的性质还可求得b2|PC|故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b6b3b2b，方向与PC的方向相同 . 10. 解析：BDCDCB（ 2 e 1e2）（ e 13e2） e14e2，A、B、D 三点共线，存在实数 ，使ABBD， 2 e 1ke2 （ e 14e2）于是可得42k，解得k 8. 11.证明：设OAa，OBb，OC
24、c，则BCcb，CAac，ABba. |OA|2|BC|2|OB|2|CA|2|OC|2|AB|2a2（ cb）2b2（ac）2c2（ba）2即 c ba cb a，故ABOC（ ba） cb ca c0. BCOA（ cb） ac ab a0，ABOC，BCOA，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 寒假课程 高一数学11 点 O 是ABC 的垂心 . 12.解析：设ABauuu rr，ACbu uu rr，1A
25、Pauu u rr，2AQbu uu rr，因为G是ABC的重心，故1()3AGabuuu rrr，又111()33PGAGAPabuuu ruu u ruu u rrr，21PQAQAPbauuu ruuu ruu u rrr，因为PGuuu r与PQuuu r共线，所以PQPGu uu ru uu r，即11211()()033abrrr，又ar与br不共线，所以111()3及213，消去，得12123. （）121111(1)(1)321pq，故1pqpq；（）12111()313，那么12| | sin| | sinSAPAQBACSABACBAC2112211113931()24，当
26、P与B重合时，11，当P位于AB中点时，112，故11,12，故12SS4 1,.9 2但因为P与B不能重合，故12SS4 1,).9 213.解析：,0.ABACAB ACuu u ruu u ruuu r uuu rQ,() ()APAQ BPAPAB CQAQACBP CQAPABAQACuu u ruuu r uu u ruuu ruu u r uuu ruuu ruuu rQuu u r uuu ruuu ru uu ruuu ruu u r.0.,)(0, 1cos其最大值为最大时方向相同与即故当CQBPBCPQ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -