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1、 寒假课程高一数学第十讲 平面向量及其应用一、知识梳理1.向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.2.向量的表示：用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；3.向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作.4.几组特殊的向量：零向量：长度为零方向任意的向量叫做零向量，记作0或.单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.若与相等，记作.相反向量：长度相等且方向
2、相反的向量叫做相反向量.向量的相反向量记为.5.向量加法：规定：，即；向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则：6.向量加法的运算律：交换律：；结合律：.7.向量减法：三角形法则即表示从向量的终点指向被减向量的终点的向量.8.向量的数乘的定义：一般的，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；（2 ） 当0时，与方向相同，当0时，与，方向相反，当0时，.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.9.向量数乘的运算律：（1） （结合律）；（2） （分配律）；（3） （分配律）.10.向量共线定理：一般地，对于两个向量（），如果有一个实数，使得，那么与是共线向量，反之，如果与（）是
3、共线向量，那么有且只有一个实数，使得.11.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使=+.我们把不共线的向量，叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.12.向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，任取一个向量，有且只有一对实数x、y，使得，则把（x，y）叫做向量的直角坐标，记作：=（x，y）.13.向量坐标运算：已知，.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.14.共线向量坐标表示的一般性结论：设，（），如果，那么
4、；反过来，如果，那么.结论（简单表示）：向量与共线.15.向量的夹角：对于两个非零向量和，作=，=，则（0180）叫做向量和的夹角.特别地，当=0时，与同向；当=180时，与反向；当=90时，则称向量与垂直，记作.16. 平面向量数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角是，我们把数量|cos叫做向量和的数量积，记作，即：=|cos.向量数量积的运算律：设向量，c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：（1）=；（交换律）； （2）（）=（b）=（）=；（结合律）；（3）（a+）=+.（分配律）.17.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为= （x1，y1），= （x2，y2），则=x1x2+y1y
5、2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.二、方法归纳（1）以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；（2）以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算.三、课堂训练例1.设向量a（1，0），b，则下列结论中正确的是 （）A.|a|b| B.abC.ab与b垂直 D.ab答案：C解析： A项，|a|1，|b| ，|a|b|
6、；B项，ab10；C项，ab（1，0），（ab）b0；D项，100，a不平行b.例2. 已知是夹角为的两个单位向量， 若，则的值为 .答案：解析：由得：，.例3.ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，则 （）A.ab B.abC.ab D.ab答案：B解析：由角平分线的性质得|2|，即有（）（ab）.从而b（ab）ab.故选B.例4.已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|_.答案：解析：|ab|.例5.如图，平面内有三个向量、，其中与 的夹角为120，与的夹角为30，且， 若 （，R），则+的值为 .ABCO答案：6解析：过C作与
7、的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由BOC=90，AOC=30，得平行四边形的边长为2和4，故+=2+4=6.例6.已知求； 当k为何实数时，k与平行， 平行时它们是同向还是反向？解析：= （1，0） + 3（2，1） = （ 7，3） ， = =.k= k（1，0）（2，1）=（k2，1）. 设k=（），即（k2，1）= （7，3）， . 故k= 时， 它们反向平行.例7.已知与的夹角为，若向量与垂直， 求k.解析：=21=1. 与垂直， （）=02 k =5.例8.已知平面向量，（0，）满足|1，且与的夹角为120，则|的取值范围是_.答案：解析：如图，数形结合知=，|AB|1，
8、C点在圆弧上运动，ACB60，设ABC，由正弦定理知，|sin ，当90时取最大值.|.例题9.如图，在直角梯形ABCD中，动点在内运动，（含边界）， 设，则的取值范围是 . 答案：解析：建立坐标系，则. .， .转化为线性规划问题.在C点， .在B或D点， .故 例10.设是内一点，满足.则的取值范围是 .答案： 解析：如图.若点在边上， 且.则当点在边上时，.点在三角形内时，01 .从而有， 从而 .四、课后作业1.已知向量和的夹角为1200，.2.已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2），若（ab）c，则m_.3.已知点是且试用4. 求向量=（1，2）在向量=（2，2）方向上的投
9、影.5.已知，则以，为基底，求.6. 已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角.7.已知ABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），C（3，1），BC边上的高AD，求及点D的坐标.8.已知向量，.若向量满足，则（ ）A. B. C. D. 9.如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力.10.设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e1k e 2，e13 e 2，2e1e 2，若A、B、D三点共线，求k的值.11. 已知O为ABC所在平面内一点，且满足 .求证：O点是ABC的垂心.12.已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，则（）
10、，（）的取值范围是 .13.如图，在直角ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.参考答案：1.解析：，故.2.解析：a（2，1），b（1，m），c（1，2），ab（1，m1），又（ab）c，2m10，m1.3.解析：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图所示的坐标系.由OA=2，所以，易求，设.4.解析：设向量与的夹角，有cos= =在方向上的投影=cos=（）=5.解析：令，则.， ， .6.解析：由题意，且与的夹角为，所以，同理可得.而，设为与的夹角，则.7.解析：设点D的坐标为（x，y），AD是边BC上的高，ADBC，又C、B、D三点
11、共线，又=（x2，y1）， =（6，3），=（x3，y2）解方程组，得x=，y=点D的坐标为（，），的坐标为（，）.8.解析：不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有9.解析：所求五个力的合力为，如图所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上.由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同.10.解析：（2 e 1e2）（e 13e2）e14e2，A、B、D三点共线，存在实数，使，2 e 1ke2（e 14e2）于是可得，解得k8.11.证明：设a，b，c，则cb，ac，ba.|2|2|2|2|2|2a2（cb）2b2（ac）2c2（ba）2即cbacba，故（ba）cbcac0.（cb）acaba0，点O是ABC的垂心.12.解析：设，因为是的重心，故，又，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.（），故；（），那么，当与重合时，当位于中点时，故，故但因为与不能重合，故13.解析：11