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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高考数学挑选题简捷解法专题讲座高考数学挑选题,学问掩盖面宽,概括性强,小巧敏捷,有肯定深度与综合性,而且分值大,能否 快速、精确地解答出来,成为全卷得分的关键；挑选题的解答思路不外乎两条：一是直接法,即从题干动身,探求结果,这类挑选题通常用来考核考生最起码的基础学问和基本技能,这一般适用于题号在前16 的题目；二是间接法,即从选项动身,或者将题干与选项联合考察而得到结果；由于挑选题有备选项,又无须写出解答过程,因此存在一些特 殊的解答方法,可以快速精确地得到结果,这就是间接法；这类挑选题通常用来考核考生的思
2、维品质,包括思维的宽阔性和深刻性、独立性和批判性、规律性和严谨性、敏捷性和灵敏性以及制造性；同直接法相比,间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几特别之一,是节省解题时间的重要手 段；然而,有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心,认为这样做“ 不行靠”,以至于在用间接 法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的,认为这样做“ 不道德”,而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在,要手段；高考正是利用挑选题作为甄别不同层次思维才能的考生的一种重解挑选题常见的方法包括 数形结合、特值代验、规律排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判定、趋势判定、估量判定、退化判定、直接解
3、答、现场操作,等等；考生应当有意识地积存一些经典题型,分门别类,常常玩味,以提高自己在这方面的才能；下面主要就间接法分别举例说明之,并配备足够的对应练习题,每题至少供应有一种解法；例题与题组一、数形结合画出图形或者图象能够使问题供应的信息更直观地出现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得特别之多；【例题】、（07 江苏 6）设函数f x 定义在实数集上,它的图象关于直线x1对称,且当x1时,f x 3x1,就有（）；A、f 13f3f2 B、f2f3f 132332 C、f2 3f1 3f3 Df3 2f2f1 323【解析】、当x1时,f x 3x1,f x 的图象
4、关于直线x1对称,就图象如下列图；这个图象是个示意图,事实上,就算画出名师归纳总结 f x |x1|的图象代替它也可以；由图知,0AB的方程是（）第 1 页,共 15 页符合要求的选项是B,【练习 1】、如 P（2,-1 ）为圆x2 1y225的弦 AB的中点,就直线A、xy30 B 、 2xy30 C、xy10 D、 2xy5（提示：画出圆和过点P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选A）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【练习 2】、（07 辽宁）已知变量x 、 y 满意约束条件xy20,就y x的取值范畴是（
5、）x170xyA 、9,6 B、, 96, C、,3 6, D、 3,65 5（提示：把 y 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案,选 A；）x2【练习 3】、曲线 y 1 4 x x 2, 2 与直线 y k x 2 4 有两个公共点时,k 的取值范畴是（）A、0, 5 B、1 1 , 12 4 3 C 、 5, D、 5, 312 12 4（ 提 示 ： 事 实 上 不 难 看 出 , 曲 线 方 程 y 1 4 x 2 x 2 , 2 的 图 象 为2 2x y 1 4 2 x 2,1 y 3,表示以（1,0）为圆心,2 为半径的上半圆,如图；直线y k x 2 4 过定点
6、（ 2,4）,那么斜率的范畴就清晰了,选 D） 【练习 4】、函数 y | x | 1 x 在区间A 上是增函数,就区间 A 是（）A、0, B、0 , 12 C 、0 , D、1,2（提示：作出该函数的图象如右,知应当选 B）【练习 5】、曲线 | x | | y | 1 与直线 y 2 x m2 3有两个交点,就 m 的取值范畴是（）A、m 4 或 m 4 B、4 m 4C、m 3 或 m 3 D、3 m 3（提示：作出曲线的图象如右,由于直线名师归纳总结 y2xm与其有两个交点,就m4或m4,选 A）第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
7、- - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【练习6】、（06 湖南理8）设函数f x xa,集合Mx f x 0,Pax|f 0,如x1MP ,就实数 a 的取值范畴是（）A、 ,1 B、 0,1 C、 1, D、 1,（提示：数形结合,先画出f x 的图象；f x xax11a11 x；当a1时,图象x1x11如左；当a1时图象如右；由图象知, 当a1时函数f x 在 1, 上递增,f 0,同时f x 0的解集为 1, 的真子集,选C）0上 至 少 有 三 个 不 同 的 点 到 直 线【 练 习7 】、（ 06 湖 南 理10 ） 如 圆x2y24x4y10l:axby0的距离为
8、2 2 ,就直线l的倾斜角的取值范畴是（）A、, 12 4 B 、5 ,12 12 C 、6,3 D 、 0,2（提示：数形结合,先画出圆的图形；圆方程化为x22y223 22,由题意知,圆心到直线B；）的距离 d 应当满意 0d2,在已知圆中画一个半径为2 的同心圆,就过原点的直线l:axby0与小圆有公共点,选【练习 8】、（07 浙江文 10）如非零向量a,b 满意 | a-b |=| b | ,就（A、|2 b| | a- 2b | B、|2 b| | a- 2b | C、|2 a| |2a-b | D、|2 a| | 2a-b | （提示：关键是要画出向量a,b 的关系图,为此先把条
9、件进行等价转换；| a-b |=| b | a-b |2= | b |2 a2+b2- 2ab= b2 a （a- 2b）=0a（ a- 2b）,又 a- （a-2b ）=2b,所以 | a| ,| a- 2b | ,|2 b| 为边长构成直角三角形,|2 b| 为斜边,如上图,|2 b| | a- 2b | ,选 A；名师归纳总结 另外也可以这样解：先构造等腰OAB,使 OB=AB,第 3 页,共 15 页再构造 R OAC,如下图,由于OCAC,所以选 A；）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【练习 9】、方程
10、 cosx=lgx的实根的个数是（）A、1 B、2 C、 3 D、4 （提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx 与 lgx 的图象,如图,由两个函数图象的交点的个数为3,知应选 C）f x在区间【练习 10】、06 江苏 7 如 A、 B、C为三个集合,ABBC ,就肯定有（）A、 AC B 、 CA C 、 AC D 、 A（提示：如ABC,就ABA BCBA成立,排除C、D选项,作出Venn 图,可知 A 成立）【练习 11】、07 天津理 7 在 R上定义的函数f 是偶函数,且f x f2x ；如1 , 2 上是减函数,就f x（）B）A、在区间 -2 ,-1 上是增函数,在区间3 ,
11、4 上是增函数B、在区间 -2 ,-1 上是增函数,在区间3 ,4 上是减函数C、在区间 -2 ,-1 上是减函数,在区间3 ,4 上是增函数D、在区间 -2 ,-1 上是减函数,在区间3 ,4 上是减函数（提示：数形结合法,f x是抽象函数,因此画出其简洁图象即可得出结论,如下左图知选【练习 12】、（07 山东文 11 改编 ）方程x31x2的解0x 的取值区间是（）2A、（0, 1） B、（1,2） C 、（2, 3） D 、（3,4）1x2的图象, 就马上知选B,如上右图）（提示： 数形结合, 在同一坐标系中作出函数y3 x,y2二、 特值代验包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊
12、图形,代入或者比照选项来确定答案；这种方法叫做特值代验 法,是一种使用频率很高的方法；名师归纳总结 【 例 题 】、（ 93年 全 国 高 考 ） 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列a n中 , 如a a 69, 就第 4 页,共 15 页l o ga1l o g a2l o g1 0（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A、12 B、10 C、8 D、2log 5【解析】、思路一（小题大做） ：由条件有9a a 5 6a q 14a q 1 5a q 1 29,从而a a 6510 log 33,a
13、a a 3a 1010 a 11 2 q92 a q9510 3,a a 知原式 =log 所以原式 =log a a 2a 1010 log 310,选 B；思路二（小题小做） ：由9a a 6a a 7a a 8a a 9选 B；思路三（小题巧做） ：由于答案唯独,故取一个满意条件的特殊数列 a 5 a 6 3, q 1 即可,选 B；【练习 1】、（07 江西文 8）如 0 x,就以下命题中正确选项（）2A、sin x 2x B 、sin x 2x C 、sin x 3x D 、sin x 3x（提示：取 x , 验证即可,选 B）6 34 7 10 3 n 10【练习 2】、（06 北
14、京理 7）设 f n 2 2 2 2 2 n N ,就 f n （）A、2 8 n1 B、2 8 n 11 C 、2 8 n 31 D 、2 n n 417 7 7 7（提示：思路一：f （n）是以 2 为首项, 8 为公比的等比数列的前 n 4 项的和,n 4所以 f n 21 8 2 n n 41,选 D；这属于直接法；1 8 73 4思路 2：令 n 0,就 f 0 2 2 42 72 10 2 1 2 2 8 41,对比选项, 只有 D成立；）1 2 7【练习 3】、（06 全国 1 理 9）设平面对量 a1、a2、a3的和 a1+a2+a3=0,假如平面对量 b1、b2、b3满意|
15、b i|=2| a i | ,且 ai 顺时针旋转 30 以后与 bi 同向,其中 i=1 、2、3 就（）A、- b1+b2+b3=0 B、b1-b 2+b3=0 C、b1+b2-b 3=0 D、b1+b2+b3=0 （提示：由于 a1+a2+a3=0,所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形,不妨设其为正三角形,就 bi 实际上是将三角形顺时针旋转 30 后再将其各边延长 2 倍,仍为封闭三角形,应选 D；）【练习 4】、如 f x a x a 0, a 1,f 12 0, 就 f 1 x 1 的图象是（）A、 B、 C、 D、名师归纳总结 （提示：抓住特殊点2,f120,所以对数函数f1
16、x是减函数,图象往左移动一个单位得第 5 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思f1x1,必过原点,选A）y【练习 5】、如函数yf x1是偶函数,就yf2 x 的对称轴是（）,就yf2x 变为A、x0 B、x1 C、x1 D、x22（提示：由于如函数yfx1是偶函数,作一个特殊函数yx2 12 12 x 1,即知 y f 2 x 的对称轴是 x,选 C）2【练习 6】、已知数列 an 的通项公式为 an=2 n-1 ,其前 n 和为 Sn,那么Cn 1S1+ Cn2S2+ + Cn nSn,Cn 1S
17、1+ Cn2S2+ + CnnSn=（）A、2 n- 3 nB、3 n - 2 n C 、5 n - 2 n D 、3 n - 4 n（提示：愚蠢的解法是： 先依据通项公式 an=2 n-1 求得和的公式Sn,再代入式子再利用二项式绽开式的逆用裂项求和得解,有些书上就是这么做的！其实这既然是小题,就应当依据小题的解思路来求做：令n=2,代入式子,再对比选项,选B）kR k1）的公共点的个【练习 7】、（ 06 辽宁理 10）直线y2 k 与曲线2 29 k xy218 k2x （数是（）A、1 B、2 C、3 D、4 y2有 4 个公共点,选D）（提示：取k1,原方程变为x2 1y21,这是两
18、个椭圆,与直线9【练习 8】、如图左,如D、E、F 分别是三棱锥 S-ABC的侧棱 SA、SB、SC上的点,且 SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1,那么平面 DEF截三棱锥 S-ABC所得的上下两部分的体积之比为（）S-ABC是棱长为 3 的正三棱锥, K是 FC的中点,V V 2V V 分A、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：25 （提示： 特殊化处理, 不妨设三棱锥别表示上下两部分的体积名师归纳总结 就VS DEFS S DEF2 h2228,V 18444,选 C）第 6 页,共 15 页V SABCS SABC3 h3327V 227823【练习 9】、 ABC的外
19、接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OHm OAOBOC ,就 m 的取值是（）A、-1 B、1 C、-2 D、2 （ 提 示 ： 特 殊 化 处 理 , 不 妨 设 ABC 为 直 角 三 角 形 , 就 圆 心O 在 斜 边 中 点 处 , 此 时 有OHOAOBOC ,m1,选 B；）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【练习 10】、双曲线方程为k2 x252 yk1,就 k 的取值范畴是（）A、k5 B 、 2k5 C 、2k2 D 、2k2或k5（提示：在选项中选一些特殊值例如k6,0代入验证即可,选
20、D）三、挑选判定包括逐一验证法将选项逐一代入条件中进行验证,或者规律排除法,即通过对四个选项之间的内在规律关系进行排除与确定；【例题】、设集合A和 B 都属于正整数集,映射f ： AB 把集合 A 中的元素 n 映射到集合6B中的,0平元素,就在映射f 下,像 20 的原像是（）A、2 B、3 C、4 D、5 【解析】、经逐一验证,在2、3、 4、5 中,只有 4 符合方程 2 nn =20,选 C；【练习 1】、（06 安徽理 6）将函数ysinx0的图象按向量a=6,0平移以后的图象如下列图,就平移以后的图象所对应的函数解析式是（）A、ysinx6 B、ysinx6712C、ysin2x3
21、 D、ysin2x3（提示：如选A 或 B,就周期为 2,与图象所示周期不符；如选D,就与“ 按向量 a=移”不符,选 C；此题属于简洁题）【练习 2】、（06 重庆理 9）如图,单位圆中AB 的长度为 x ,f x 表示 AB 与弦 AB所围成的弓形的面的2 倍,就函数yf x 的图象是（）22222222名师归纳总结 A、 B1AOB、 C,、 D、第 7 页,共 15 页（提示：解法1 设,就 x就 S 弓形=S 扇形- S AOB=1 2x1sin2cos222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1 1 x
22、sin x sin x , 当 x 0, 时,2 2sin x 0,就 x sin x x ,其图象位于 y x 下方；当 x ,2 时, sin x 0,x sin x x,其图象位于 y x 上方；所以只有选 D；这种方法属于小题大作；解法 2 结合直觉法逐一验证；明显,面积 f x 不是弧长 x 的一次函数,排除 A；当 x 从很小的值逐步增大时,f x 的增长不会太快,排除 B；只要 x 就必定有面积 f x ,排除 C,选 D；事实上,直觉好的同学完全可以直接选 D）【练习 3】、（06 天津文 8）如椭圆的中心点为 E（-1 ,0）,它的一个焦点为 F（-3 ,0）,相应于焦7点的
23、准线方程是 x,就这个椭圆的方程是（）22 2 2 2 2 22 x 1 2 y 2 x 1 2 y x 1 2 x 1 2A、1 B 、1 C 、y 1 D 、y 121 3 21 3 5 52（提示：椭圆中心为（-1 ,0）,排除 A、C,椭圆相当于向左平移了 1 个单位长度, 故 c=2,a 1 7,c 22a 5,选 D）2【练习 4】、不等式 x 2 的解集是（）x 1A、 1,0 1, B、 , 1 0,1C、 1,0 0,1 D、 , 1 1, （提示：假如直接解, 差不多相当于一道大题！取 x 2,代入原不等式, 成立,排除 B、C；取 x 2,排除 D,选 A）【练习 5】、
24、（06 江西理 12）某地一年内的气温Q（t ）（）与时间 t （月份）之间的关系如右图,已知该年的平均气温为 10；令 C（t ）表示时间段0 ,t 的平均气温, C（t ）与 t 之间的函数关系如下图,就正确的应当是（）、 C、 D、A、 B名师归纳总结 （提示：由图可以发觉,t=6 时, C（t ）=0,排除 C；t=12 时, C（t ）=10,排除 D； t 6 时的某第 8 页,共 15 页一段气温超过10,排除 B,选 A；）【练习 6】、集合M2n1|nZ 与集合N4k1 |kZ之间的关系是（）A、 MN B 、 MN C 、 MN D、 MN- - - - - - -精选学习
25、资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（提示： C、D是冲突对立关系,必有一真,所以A、B 均假；2 n1表示全体奇数,4k1也表示奇数,故 MN 且 B 假,只有 C真,选 C；此法扣住了概念之间冲突对立的规律关系；当然,此题用现场操作法来解也是可以的,即令 就知道答案了； ）k=0, 1, 2, 3,然后观看两个集合的关系【练习 7】、当 x 4,0 时,a x 24 x 4x 1 恒成立,就 a 的一个可能的值是（）3A、5 B、5 C、5 D、53 3（提示：如选项 A 正确,就 B、 C、D也正确；如选项 B 正确,就 C、D也正确；如选项
26、C正确,就D也正确；选 D）【练习 8】、（01 广东河南 10）对于抛物线 y 2 4 x 上任意一点 Q,点 P（a, 0）都满意 PQ a ,就 a 的取值范畴是（）A、,0 B、 , 2 C、 0, 2 D、 0, 2（提示：用规律排除法；画出草图,知 a0 符合条件,就排除 C、D；又取 a 1,就 P 是焦点,记点 Q到准线的距离为 d,就由抛物线定义知道,此时 ad|PQ|, 即说明 a 1 符合条件,排除 A,选B；另外,许多资料上解此题是用的直接法,照录如下,供“ 不放心” 的读者比较2 2设点 Q 的坐标为 y 0 , y 0 ,由 PQ a ,得 y 0 2 y 0 a
27、2a ,整理得 2y 0 2 y 0 216 8 0,4 42 2y 0 20,y 0 216 8 a 0,即 a 2 y 0恒成立,而 2 y 0的最小值是 2,a 2,选 B）8 8【练习 9】、（07 全国卷理 12）函数 f cos 2x cos 2 x的一个单调增区间是（）2A、, 2 B、, C、0, D、,3 3 6 2 3 6 6（提示：“ 标准” 答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图象解得的,选 A；建议你用代入验证法进行挑选：由于函数是连续的,选项里面的各个端点值其实是可以取到的,由 f f ,显6 6然直接排除 D,在 A、B、C中只要运算两个即可,由于 B 中代
28、入 会显现,所以最好只算 A、C、现6 12在就验算 A,有 f f 2,符合,选 A）3 3四、等价转化解题的本质就是转化,能够转化下去就能够解下去；至于怎样转化, 要通过必要的训练,达到学问足、技能熟的境域；在解有关排列组合的应用问题中这一点显得特殊重要；名师归纳总结 系式【例题】、（05 辽宁 12）一给定函数yf 的图象在以下图中,并且对任意a 10,1,由关第 9 页,共 15 页a n1f a n得到的数列满意a n1a nN,就该函数的图象是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A、 B、 C、 D、
29、【解析】问题等价于对函数 y f 图象上任一点 , x y 都满意 y x ,只能选 A；3 3【练习 1】、设 t sin cos,且 sin + cos 0 ,就 t 的取值范畴是（）A、-2 ,0） B、 2 , 2 C、（-1 ,0） ,1 2 D、（-3,0） 3 , 3 3 2 2 2（提示 ：由于 sin + cos =（ sin + cos）（sin- sin cos + cos）,而 sin- sin cos +2 3 3 3 3cos0 恒成立,故 sin + cos 0 t 0, 选 A；另解：由 sin + cos 0 知 非锐角,而我们知道只有 为锐角或者直角时 t
30、sin cos 2 ,所以排除 B、 C、D,选 A ）2【练习 2】、F F 是椭圆 xy 2 1 的左、右焦点,点 P在椭圆上运动,就 PF PF 2 的最大值是（）4A、4 B、5 C、1 D、 2 （提示：设动点 P 的坐标是 2cos ,sin ,由 F F 是椭圆的左、右焦点得 F 1 3,0,2 2F 2 3,0,就 PF 1 PF 2 | 2cos 3,sin 2cos 3,sin | | 4cos 3 sin |2| 3cos 2 | 2 ,选 D；这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题；特殊提醒：以下“ 简捷” 解法是掉进了命题人的“ 陷阱” 的PF 1
31、 PF 2 | PF 1 | | PF 2 |a 24）2【练习 3】、如 log 2 a log 2 b 0,就（）；A、 0 a b 1 B 、 0 b a 1 C 、a b 1 D 、b a 1（提示：利用换底公式等价转化；log 2log 20lg 2lg 20lgblga00bba1,选 B）lgalgb【练习 4】、abcdR,且 dc ,abcd adc ,就（）A、 dbac B、 bcdaC、 bdca D、 bdac（提示：此题条件较多,又以符号语言显现,名师归纳总结 令人眼花缭乱；计策之一是“ 符号语言图形化”,第 10 页,共 15 页- - - - - - -精选学习
32、资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思如图,用线段代表a b c d 立马知道选C；当然这也属于数形结合方法；计策之二是“ 抽象语言详细化”, 分别用数字 1,4, 2,3 代表 a b c d 简洁知道选 C；或许你认为计策一的转化并不等价,是的, 但是作为挑选题, 可以事先把条件 “a b c d R”收严一些变为“a b c d R ”；【练习 5】、已知 0, 如函数 f sin x sin x在 , 上单调递增,就 的取值范2 2 4 3围是（）A、0, 2 B、0, 3 C、 0,2 D、 2,3 2（提示：化简得 f 1sin x , s
33、in x 在 , 上递增,2 2 2x x,而 f x 在 , 上单调递增2 2 2 2 4 3, , 0 3,又 0,选 B）4 3 2 2 2【练习 6】、把 10 个相同的小球放入编号为 它的编号数,就不同的放法种数是（）1,2,3 的三个不同盒子中,使盒子里球的个数不小于名师归纳总结 A、3 C B、2 C C、3 C D 、12 C 9第 11 页,共 15 页2（提示：第一在编号为1,2,3 的三个盒子中分别放入0,1,2 个小球,就余下的7 个球只要用隔板法分成3 堆即可,有2 C 种,选 B；假如你认犯难以想到在三个盒子中分别放入只0,1,2 个小球,而更简洁想到在三个盒子中分
34、别放入只1,2,3 个小球,那也好办：你将余下的4 个球加上虚拟的（或曰借来的） 3 个小球,在排成一列的7 球 6 空中插入 2 块隔板,也与本问题等价；）【练习 7】、方程x 1x 2x 3x 412的正整数解的组数是（）A、24 B、 72 C、144 D、165 （提示：问题等价于把12 个相同的小球分成4 堆,故在排成一列的12 球 11 空中插入 3 块隔板即可,答案为3 C 11165,选 D）【练习 8】、从 1,2,3, , 10 中每次取出3 个互不相邻的数,共有的取法数是（）A、35 B、56 C、84 D、120（提示：逆向思维,问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7 个数的 8 个空中,那么问题转化为求从8 个空位中任意选3 个的方法数,为3 C 856,选 B）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【练习 9】、（理科）已知lim x 1ax2xbx13,就 b = （）1A、4 B、-5 C、-4 D、5 （ 提 示 ： 逆 向 思 维 , 分 母 （x 1） 一 定 是 存 在 于 分 子 的 一 个 因 式 , 那 么 一 定 有ax 2 bx 1 x 1 ax 1 ax 2 1 a x 1,必 然 有 b 1 a ,且2lim x 1 axx bx1