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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考数学常考题型的总结（必修五）对高三理科来说,必修五是高考的必考内容,它不仅要考查基础学问点,而且仍要考查解题方法和解题思路的问题； 同学们在复习过程中,肯定要明白什么是重要,什么是难点, 什么是常考学问点；对重难点要了如指掌,能做到有的放矢；同学们不仅要把握课本上的学问点,更重要的要对学问点懂得的有深度,对经典题型或高考常考题型把握到相当娴熟的程度；人们常说, 只有你多于一桶水的才能,在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来,否就,基本不行能考出相对抱负的成果来；必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式；高考详细要考查那些内容呢？这是
2、我们师生共同争论的问题；虽然高考题不能面面俱到,但是我们在复习的时候,肯定要不留死角,对常考题型的学问点和方法能倒背如流；下面详细对必修五常考的型作一分解：解三角形解三角形是高考的必考学问点,每年都有考题,一般考查分数为 5-12 分；考查的时候,可能是挑选题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与三角函数,平面对量等学问点进行综合考查,难度一般不是很大,假如出解答题,一般是第17 题,属于拿分题；学问点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式；正弦定理：aAbBcC2 R（ R 为ABC 的外接圆半径 ）c2a22bccosAsinsinsin余弦定理：a2b2c22abcos C,a2c
3、2b22accosB,b2（变形后）a2b2c2cosC,a2c2b2cosB,c2b2a2cosA2ab2ac2cb三角形的面积的公式：S ABC1absinC1acsinB1bcsinA；222学问点分解：（1）两边一角,求另外两角一边,可以用正弦定理,也可以用余弦定理,特殊留意两种三角形的情形；（2）两角一边,求另外一角和两边,确定是正弦定理；（3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边,用正弦定理；（4）知道三边的关系用余弦定理；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - （5）求三角形的面积,或和向量结合用向量的余
4、弦公式；（6）正余弦定理与其他学问的综合；必需具备的学问点： 三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换；可能综合的学问点： 三角函数以及正余弦定理的模块内部综合；合、以及与基本不等式的综合；解三角形常考的题型有：考点一 正弦定理的应用例： 在ABC中,a15,b10,A60,就cosB答案：63学问点：正弦定理和三角同角关系和与数列的综合、 与平面对量的综思路：（方法不唯独）利用正弦定理先求出sinB,然后利用同角三角函数的关系可求出cosB；考点二 余弦定理的应用例： 在bABC 中,已知a23,c62,B60,求 b 的值答案：22学问点：余弦定理思路： 直接利用余弦定理a2c
5、2b22accosB,即可求出 b 的值；考点三 正、余弦定理的混合应用例： 设2ABC的内角A B C 所对边的长分别为a b c ；如bc2 a ,就 3sinA5sinB 就角 C_. 答案：3学问点：正余弦定理思路：（方法不唯独）先通过正弦定理求出三边的关系,然后再用余弦定理求角C ；考点四 三角形的面积问题例： 在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,如AC2 B,且a,1 b3,求SABC的值名师归纳总结 第 2 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：3 2学问点：三角形的面积思路： 先求出 B ,然后由三角形
6、面积公式即可；考点五 最值问题例： 在2ABC 中,Bo 60 ,AC3,就AB2BC 的最大值为答案：7学问点：正弦定理和三角恒等变换思路：（方法不唯独）先利用正弦定理,然后利用恒等变换,转化为正弦函数,求正弦函数的值域问题；考点六 三角形外形的判定例： 已知ABC中,acosAbcosB,判定三角形的外形答案： 等腰三角形或直角三角形学问点：正弦定理和二倍角公式思路： 先由正弦定理化解,然后利用二倍角公式争论即可；考点七 三角形个数的判定例： 在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,如A30,且a,1 b3,求 c的值答案： 1 或 2 学问点：正余弦定理思路： 分类争论B60
7、或B120两种情形；考点八 基本不等式在解三角形上的应用例： 在ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,如a4,b2,求ABC的面积的最大值；答案：21学问点：三角形面积公式、余弦定理和基本不等式思路： 先利用三角形面积公式,然后用余弦定理,最终基本不等式求最值；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例： 设ABC的内角 A, ,C所对的边长分别为a, ,c,且acosBbcosA3c ,求 tanAB 的最大5值；答案：3 4学问点：正弦定理、正切差公式和基本不等式思路： 先通过正弦定理,得到tanA4ta
8、nB,然后正切差公式,最终应用基本不等式；考点九 平面对量在解三角形上的应用例： 在ABC 中,uuur uuur AC AB6,ABC 的面积 3 3 ,求 A答案：3学问点：三角形面积公式和平面对量中的余弦公式思路： 先利用三角形面积公式,然后平面对量中的余弦公式即可；例：在ABC 中,边 c 所对的角为 C ,向量mcosC,sinC,ncosC,sinC,且向量 m 与 n 的夹角是3；2222求角 C 的大小答案：C3学问点：向量中的坐标运算和余弦公式思路： 先利用向量的坐标运算和余弦公式转化,然后求解；考点十 数列在解三角形上的应用例： 设ABC的内角 A, ,C所对的边长分别为a
9、, ,c,如 a, ,c依次成等比数列,角B 的取值范畴 . 答案：0,3学问点：余弦定理、等比数列和基本不等式思路： 先用等比数列,然后余弦定理,最终用基本不等式求最值；考点十一解三角形的实际应用B、D间距离与另外哪两点例：如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶；测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为75 ,30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为60 ,AC0 . 1 km；摸索究图中第 4 页,共 21 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 间距离相等,然后求B、
10、D的距离（运算结果精确到0 . 01 km,21. 414,62 .449）答案： 0.33km 学问点：正弦定理和三角形的相关学问思路： 先通过三角形的相关学问进行转化,然后利用正弦定理就可以求出长度；考点十二解三角形的综合题型3 sinCbc0例： 已知a b c 分别为ABC 三个内角A B C 的对边,acosC（1）求 A（2）如a2,ABC 的面积为3 ；求b c ；答案： 1A602bc2学问点：正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式思路：（1）先通过正弦定理和诱导公式转化,转化完之后,利用三角恒等变换求出 A ；（2）利用角 A ,再通过余弦定理,就可以求出 b c
11、 的值；数列数列是高考的必考学问点,每年都有考题,一般考查分数为10-17分；考查的时候,可能是挑选题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与不等式,函数等学问点进行综合考查；以前 考题比较难一些,现在多数比较简洁,但是常用的方法仍是比较经典的；学问点：数列的递推公式,数列的求通项公式,数列的求和,等差数列和等比数列 学问点分解：（1）递推公式：建立前n 项和S 和 na 的关系；nn 项和S 等问题；（2）等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前（3）等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前S 等问题；nn 项和（4）数列求通项公式的几种方法；（5）数列求和的几种方法；（6）数
12、列的综合问题必需具备的学问点： 函数、导数、不等式,平面对量、三角函数等相关学问；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可能综合的学问点： 数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合；数列的常见题型：考点一S 和a 的关系a n,S nS n1n2a 的值,以及数列 a n的表达式；a 1n1例： 数列 a n的前 n 项和为S n已知Sn2 n,求答案：a 815,a n2n1学问点：递推公式 思路： 已知项数 n ,求详细值；未知项数 n,求表达式；考点二 等差数列 1 等差数列的公差和通项
13、公式ana 1n1 d,（等差数列的通项公式,知三求一；假如已知a ,d,那么求的是数列a n的通项公式 ）anamnm d（等差数列通项公式的变形公式）an的通项公式；例： 已知等差数列an中,a 1,1a 33,求数列的公差d 以及数列答案：d2,an32n学问点：等差的公差和通项公式思路： 利用数列的通项公式先求出公差d ,然后求数列an的通项公式；2 等差数列的性质nmpq（都是正整数） ,ana mapaq,2npq（都是正整数） ,2anapaq,a 是 na 和a q的等差中项；例： 已知等差数列an中,a5,1a 97,求a 1a 13以及a 的值 7答案：a 1a 13a 7
14、36,学问点：等差数列的性质思路： 等差数列的性质和等差中项可得到；3 等差数列的求和名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - S nna1a nna 1n n21 d（知三求一,假如已知a ,d,那么求的是S 的表达式 ）,2S nnan1（ n 为奇数 ）或S 2m1 2m1 a m；2例： 设等差数列 a n的前 n 项和为S ,如 nS 33,S 624,就S 的值 9答案： 63学问点：等差数列的求和思路：（方法不唯独）通过等差数列前n 项和为S ,先求出a 和 d ,然后再利用等差数列前n 项和,求S ；4 等
15、差数列求和中的最值问题Snna 1nn21 ddn2a 1dn类似于二次函数, 当d0时,S 有最小值； 当 nd0时,S 有最大值；n22例： 设等差数列 a 的前 n 项和为S ,已知a 39 ,d2,求S 中的最大值答案： 49 .学问点：等差数列的和或二次函数的学问思路： 先利用等差数列的前 n 项和 S 表达式,然后利用二次函数的学问求最大值；例： 设等差数列 a 的前 n 项和为 S ,已知 a 3 9 , d 2,求 S 中的最小值 n答案： -36 学问点：等差数列的和或二次函数的学问思路： 先利用等差数列的前n 项和S 表达式,然后利用二次函数的学问求最小值5 等差数列的证明
16、anan1d（等差数列的定义表达式）,an19S n10,求证：lgan是等差数列；例： 设数列a n的前 n 项和为S ,na 110答案： 首项为 1,公差也为1 的等差数列学问点：对数函数的学问和等差数列思路： 先求出 lg a 1 1,然后利用等差数列的定义表达式 a n a n 1 d,证明等差数列；6 已知等差数列 a 中,a 3 a 7 16 , a 4 a 6 0 , 求数列 a 前 n 项和 S ；2 2答案：Sn n 9 n 或 Sn n 9 n学问点：解方程和等差数列的和名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - -
17、- - - 思路： 先利用等差数列的学问求出首项和公差,然后再求前n 项和S n考点三 等比数列1 等比数列的公比和通项公式ana 1qn1q0（等比数列的通项公式,知三求一；假如已知a ,q,那么求的是数列a n的通项公式 ）anqnm（等比数列通项公式的变形公式）anmq和数列a n的通项公式；例： 已知等比数列an中,a 12 ,a 38,求等比数列的公比答案：q2,an2n学问点：等比数列的公比和通项公式 思路： 利用等比数列的通项公式即可求出；2 等比数列的性质nmpq（都是正整数） ,anamapaq,2npq（都是正整数） ,a n2apa q,a 是a 和a 的等比中项；例：
18、设等比数列 a ,已知a 3a918,求a 值答案：32学问点：等比中项 思路： 利用等比中项即可；例： 设等比数列 a ,已知a 3,3a 712,求a4a5a 6值答案： 216 学问点：等比数列的性质 思路： 利用等比的性质即可；3 等比数列求和a 1 aqna na 1a nqq1（用错位相减法推导）S n1q1qna 1q q1的公比1,前 n 项和为S ,就S 4例： 设等比数列 2a 4答案： 15名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点：等比数列的求和 思路： 利用等比数列的求和和通项公式即可；4
19、等比数列的证明a n1q（等比数列的定义表达式）b na nn 3 ,证明：数列是nb等比数列；an例： 在数列a n中,1a1,a n12a nn 3,设答案： 数列b n是公比 2,首项 -2 的等比数列学问点：等比数列的定义 思路： 先化解,再利用等比数列的定义来证明；5 等比数列的综合例： 设S 为数列 na n的前 n 项和,S n2 knn ,n* N ,其中 k 是常数,如对于任意的m* N ,a ,ma 2m,a 4m成等比数列,求k 的值；答案：k0或k1学问点：等比数列的等比中项和递推公式 思路： 先通过递推公式化解,然后再利用等比数列的等比中项,即可求出；考点四 等差和等
20、比数列的综合问题例： 已知实数列 a n是等比数列 ,其中a7,1且a4,a51 ,a5成等差数列,求数列a n的通项公式；答案：a n27n学问点：等比数列的通项公式和等差中项 思路： 先利用等比数列的学问,然后再利用等差数列的等差中项,即可求出；例： 等比数列 a n中,已知a 12,a 416,如a a 分别为等差数列 b n的第 3 项和第 5 项,求数列 nb的通项公式及前 n 项和S ；22n答案：Sn6n2学问点：等比数列的通项公式和等差的通项公式思路： 通过等比数列的学问来转化为等差数列,即可；考点五 求数列的通项公式 1 观看法、等差数列和等比数列的通项公式（上述已有）名师归
21、纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 累加法形式为：a n1annfn ,利用累加法求通项,ana 1f 1 f2fn1 例： 已知数列 a n满意an 1an,a11求数列 an的通项公式；答案：ann2n22学问点：累加法求数列的通项公式思路： 由an 1ann得a n 1ann就a na nan1an1anan2n1a na2a 1a 1,即可；3 累乘法形式为：an1fnaa2,利用累乘法求数列通项,1a 1；ana na n2a 1答案：an23n学问点：累加法求数列的通项公式思路： 由条件知ann1nn1,a
22、 1a2a 3a4an1an,即可；aa 1a 2a3an4 待定系数法（1）an 1panq（其中 p, q 均为常数,pqp1 0）,把原递推公式转化为：an1tpant,均其中t1qp,再转化为等比数列求通项公式；（2）a n1pa nqn（其中p,q均为常数,pqp1 q1 0 ）；（或a n1pa nrqn,其中p ,q ,r为常数）等式两边同除以n q 得,an1pa n11,如pq,再利用上述的方法,转化为等比数列的形式,qnqqn利用等比数列通项公式；如pq,将转化为等差数列的形式,再利用等差数列求通项公式；例： 已知数列an中,a 11,an12 an3,求a . 答案：a
23、n2n13学问点：待定系数法求数列的通项公式思路： 设递推公式an12 an,3可以转化为3a n12an,然后利用等比数列求通项公式；例： 已知数列an312a n中,a 1a nn,求a ；答案：an3n2n学问点：待定系数法求数列的通项公式思路：（方法不唯独） 依据an12an3 n,两边除以n 3 得：a nn12an1,令b na n1,转化成上面例题的33n3n名师归纳总结 第 10 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 形式,然后再利用上面例题的方法求解；5 配凑法（构造法） ：建立等差数列或等比数列的形式例： 已知数列nna
24、1满意a 11,a23,an23a n12a nN*.求数列a n的通项公式；答案 ：a n2学问点：构造成等比数列思路：（方法不唯独,仍可以利用特点根的方法求解）构造等比数列,或利用特点根的方法,求出两根,Q a n 2 3 a n 1 2 a n , a n 2 a n 1 2 a n 1 a n ,然后利用等比数列的学问求解；6 递推法ana 1S n1n1,解决既有,a 又有 nS 的问题；n4a n2,求数列 a n的通项公式；S nn2例： 设数列 a n的前 n 项和为S n已知a 11,S n1答案 ：a n3 nn 1 22学问点：利用递推公式,再利用等比数列的通项公式思路：
25、 先利用递推公式化解,然后等比数列求通项公式；7 不动点法、换元法,数学归纳法等求通项公式（内蒙古高考现在已经不是重要的方法了）考点六 数列求和1 公式法、等差数列和等比数列求和（略）2 裂项相消法裂项相消的常见形式：11 1, Ln11,11 1 2 nn12,nnnn n22n12 n1 121111；1 2n2 n12求数列 an的求和S ；5,L,例： 已知数列 a n满意1 ,1 3 21, 4 31n n答案：Sn32n2 n32 41 n学问点：利用裂项相消求数列的和思路 ：利用ann 12 11n12求和即可；第 11 页,共 21 页n2n名师归纳总结 - - - - - -
26、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 例： 已知数列 a n满意：ann1n1,求数列 an的求和S n答案：Snn11学问点：分母有理化,利用裂项相消求数列的和思路： 进行分母有理化得,an n 1 n,然后裂项相消求和；3 错位相减法：（课本上推导等比数列求和公式的方法）由等差数列和等比数列构成的新数列,用错位相减；例： 已知数列 a n 满意：a n n 2 ,求数列 n a n 的求和 S nn 1答案：S n n 1 2 2学问点：错位相减法求和思路 ：错位相减法求和；例： 设数列a n满意a 113a 2132a3n 31a nn, a* N ,设b nn,求数列n
27、b的前 n 项和S ；3a n答案：S nnn 313n3244学问点：错位相减法求和思路 ：错位相减法求和；4 分组求和法（将新数列分成已学过的数列,然后求和）例： 设数列a n1的前 n 项和为S ,且a n2n3n,求S 的表达式答案：S n2n3 n23 n22学问点：利用等差数列和等比数列求和思路： 依据数列的特点,等差数列和等比数列的求和公式可以得到；5 相加求和法、数学归纳法求和（内蒙古高考现在已经不是重要的方法了）考点七 数列中的不等式问题例： 设数列a n的前 n 项和为S 已知1aa ,a n1S nn 3,n* N ,如a n1a n,n* N ,求 a 的取值范畴；答案
28、：9,a 的通项公式,数列的单调性；a 的取值范畴；第 12 页,共 21 页学问点：递推公式,构造法求思路： 通过递推公式,构造法求a 的通项公式,再利用数列的单调性求 n名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考点八 数列中的放缩法例： 已知数列a n,满意a 11 ,an13 an1,证明111L13a 1a2a 3a n2答案： 如下学问点：发缩放证明数列中的不等式1 2 1思路： 由构造法求 a 的通项公式,然后利用放缩法 n n-1,转化为等比数列求和,最终证明不等式；a n 3-1 3考点九 数列中的不等式问题（最值问题, n 是
29、正整数 ）例： 已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S ,如 S 10 0 , S 15 25,就 nS 的最小值为答案： -49学问点：等差数列的求和,导数思路： 通过等差数列的学问求出S ,然后再通过导数求出nS ；不等式不等式是高考的重要学问点, 但是它会和其他学问融合在一起考查,有时是一道小题, 有时会和其他学问综合在一起以大题的形式显现,分数范畴为（5-10 分）；现在线性规划, 几乎每年必考,虽然不是很难, 但是大家肯定要把握好, 不等式小题一般不会很难, 综合题重点主要是汇入其他知 识点进行,对数是取值范畴或值域问题；学问点：不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式
30、；不等关系：1. 不等关系与不等式比差法：abab,0abab0,abab0；问题的关键是判定差的符号（正, 负,零）,方法通常是配方或因式分解；2. 不等式的性质 基本性质有：（1）abba（对称性）（2ab,bcac传递性 3abacbc名师归纳总结 第 13 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4c0时,abacbc；c0时,abacbc；运算性质有：1ab,c0,dca0cbd2abd0c ,nanbbd3ab0danbnacbd. 45ab ,ac6ab0,c0 ,ababd,cd3 基本不等式a2b2ab,abb2aba,b同
31、号,当且仅当ab时成立等号 ；时成立等号 ；ab22ab（a,同号,等号成立 ）；aba2b2（当且仅当aba22 babab2 aba,bR当且仅当ab时成立等号 ；22ab必需具备的学问点： 函数、导数、三角函数、数列等相关学问；可能综合的学问点： 不等式的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合；不等式的常见题型：考点一 解一元二次不等式 解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来争论（争论a0的情形 ）b000ax2bxc0两不等实根x 1x2两相等实根x 1x 2无实根2aax2bxc0xxx 1或xx 2xxb）R2aax2bxc0xx 1xx 2（争论
32、a0的情形,只需将不等式两边同乘以-1 ,转变不等式方向加以争论1 最基本的一元二次不等式（略）2 含参数的一元二次不等式（需要分类争论）名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例： 解不等式ax1 x1 0（a0）答案： 当a0或a1时,解集为xx1或x1；当1a0时,解集为xx1 或x1；aa学问点：解含参数的一元二次不等式思路： 用分类争论法解一元二次不等式；3 高次不等式 数轴标根法,已不再是高考的重点 4 分式不等式（1 ）cx axd0axbcxd0（axb0）. axb0,即有b（2）cx axd1cxd10cxdaxb0（剩下的同上）留意,假如已经确定baxbaxbcxdaxb；5 单确定值不等式（1 ）axbc a0 axbc 或axbc；（2）axbc a0 caxbc6 双确定值不等式axbbcxdt设bd可分解为：当xb时,axbcxdt；当dxb时,acacaaxcxdt；当xd时,axbcxdt；详细解依据实际情形即可；留意：cababab；含参数的双确定值需要先确定参数的范畴再分类争论,或依据实际情形看是哪一类问题详细确定；含参数的双确定值不等式恒成立问题,会涉及到最值问题,需要依据函数的单调性求取值；例： 已知函数f